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排列组合基础知识
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你可能喜欢第65讲排列与组合；一、课题：排列与组合；二、教学目标：理解排列的意义，掌握排列数计算公式；问题；们解决一些简单的应用问题；三、教学重点：正确区分排列与组合,熟练应用公式计；四、教学过程：；（一）主要知识：；A排列；1、一般地说，从n个不同元素中，任取m(m?n)；排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二；2、从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的
排列与组合
题：排列与组合
二、教学目标：理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用
问题。理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它
们解决一些简单的应用问题。
三、教学重点：正确区分排列与组合,熟练应用公式计算排列数，组合概念的理解及应用
四、教学过程：
（一）主要知识：
1、一般地说，从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”。因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列。
2、从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。排列数公式
mAn?n(n?1)(n?2)??(n?m?1)
这里m?n，其中等式的右边是m个连续的自然数相乘，最大的是n，最小的是n?m?1。 3、n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示。 排列数的公式还可以写成Anm?n! n?m!
为了使这个公式在n?m时也能使用，规定0!?1
4、理解排列的概念，必须注意以下两点：
(1)定义中规定给出的n个元素各不相同，只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了。
(2)由于是从n个不同元素中取出m个不同元素，因此必有m?n。
1、一般地说，从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2、排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”。
从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示。 组合数公式Cnm?mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1) ?mAmm!
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是(n?m?1)，分母是m!，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式，mCn?n!它的分子是n!，分母是m!与(n?m)！的积。 m!n?m!
3、组合数性质：
①Cnm?Cnn?m ②Cnm?Cnm?1?Cnm??11
1(m?n) ④Cnm?Cnm??11?Cnm??21?Cnm??31???Cnm??m
11Cnm??r1?Cr0?Cnm?r ⑤Cnm?Crm?Cn0?r?Crm?1?Cn?r???Cr?
（二）例题分析：
排列 nm?1Cn?1 m
mmm?1例1： 求证:An. ?1?An?mAn
证法1:右边?n!m?n!n!(n?m?1?m)(n?1)!m????An?1=左边 (n?m)!(n?m?1)!(n?m?1)!(n?1?m)!
m?1m?1m?1m证法2:右边?(n?m?1)?An?m?An?(n?1)An?An?1?左边
思维点拨：应用排列数公式进行恒等式的证明. 本题是排列数的一个性质.
322xx?1练习一(变式)解方程:?1?3Ax?2Ax?1?6Ax；?2?3A8?4A9
解：（1）3?x?x?1??x?2??2x?x?1??6x?x?1?整理得3x?17x?10?0，解得x=5或2
（2）3?8?7????9?x??4?9?8????10?x?即x?19x?78?0，解得x=13（舍）2
例2：有7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法。
（1）甲、乙必须排在一起;
（2）若甲不在排头，乙不在排尾;
（3）甲、乙、丙互不相邻;
（4）甲、乙之间须隔一个人;
（5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？
（6）若将7人分成两排，前四后三，有多少种站法？
26765解：（1）(捆绑法)A2?A6?1440；
(2)A7?2A6?A5?3720；
43125(3)(插空法)A4A5?1440;
(4)C5A2A5?1200; (5)177A7?2520;
(6)A7?5040 2
思维点拨：解决相邻问题一般用捆绑法,解决不相邻问题一般用插空法,解决某些元素在某些位置考虑用定位法,而不在某些位置可考虑用间接法.
例3：由0,1,2,3,4共5个数字可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
（1）被4整除；（2）比21034大的偶数；（3）左起第二、四位是奇数的偶数。
解：被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：
3当末两位数是20，40，04时，其排列数为3A3?18，
当末两位数是12，24，32时，其排列数为3?A2A2?12。
故满足条件的五位数共有18+12=30（个）。
13（2）可分五类：当末位数是0，而首位数是2，或3或4，有A3A3?18；
13当末位数是2，而首位数是3或4，有A2A3?12；
21当末位数是4，而首位数是2或3，有A2?A1?3；
3当末位数是4，而首位数是3，有A3?6；
故有6+12+12+3+6=39（个）
2221（3）可分两类：0是末位数，有A2?A2?4，2或4是末位数，有A2?A2?4
故共有4+4=8（个）
（另解见成才之路考例3。）
练习:由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数,问其中小于50万又不是5的倍数的数共有几个?
24解:先将0和5放到中间4个数位上,然后再排其他数字,故共有A4A4?288个数符合要求.
例4用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数
（1）共有几个三位数?
（2）末位数字是4的三位数有多少？
（3）求所有三位数的和;
（4）四位偶数有多少？
（5）比5231大的四位数有多少？
12解：(1) 百位不能为 “0”,因此共有A9?A9?648个;
11（2）末位为4,百位不能为 “0”,因此共有A8×A8=64个
（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:
(1?2?????9)? A8A8(1?2?????9)?10?A9(1?2????9)?100?355680
3112（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。A9?A4A8A8?2296种；
3（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有A9个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各
有A8个; ③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有A7个; ④千位上是5,百
321?6A8?5A7?5?2392种。 位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有N?4A921
思维点拨:注意区分分类计数原理与分步计数原理的运用。
例5由数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为系数,可组成多少个不同的一元二次方程 ax2?bx?c?0?其中有实数的有几个?
12解:(1)先确定a,而后确定b,c.共有A4?A4?48个;
2(2)考虑??0.若c=0,则a,b可以任意,此时共有A4?12种;若c不为0,则b只能取5或7,
2 ①当b=5时,a,c只能取1或3,此时共有A2个;②当b=7时,a,c可取1,3或1,5,此时共有
2222种.因此,符合要求的方程共有N?A4?A2?2A2?18个. 2A2
思维点拨： 注意分类讨论应不重不漏.
例6：一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？ 解法一:（从数学课入手）
14（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得N1?A2A4?48
（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三
111节中的一节，其余三科任排，得A3A2A3?108
? 共有排法N?N1?N2?48?108?156（种）
解法二（从体育课入手）
1（第一类）体育课在上午
N1?P31?P31?P21?P33?108
（第二类）体育课在下午
N2?P22?P44?48
共有排法N?N1?N2?108?48?156（种）
思维点拨:特殊的位置和特殊的元素优先参与排列。
5?n9?n例1、（1）求值Cn?Cn?1
（2）已知117m，求 ??C8mmmC5C610C7
?5?n?n?5?n?0?解：（1）??4?n?5，?n?N，?n?4或5 9?n?n?1???9?n?0
15当n=4时，原式?C4?C5?5。
04当n=5时，原式?C5?C6?16。
（2）本题运用公式Cn?mn!，将已知等式转化为关于m的一元二次方程，解m!n?m!
m方程并结合m的取值范围确定m的值，最后计算C8
解：m的取值范围为m0?m?5,m?Z
由已知，??m!?5?m?!m!?6?m?!7??7?m?!m!?? 5!6!10?7!
2即60?10?6?m???7?m??6?m?m?23m?42?0，解得m=21或m=2但
mm??0,5?，?m?21，舍去?C8?C82?28
mmmm?1例2、证明恒等式Cm
n?1+Cn?2+?+Cm?1+Cm=Cn
rr?1解：由组合数性质知：Cr+C=Cnn?1 n
mmmmmm?1m∴Cm
n?1+Cn?2+?+Cm?1+Cm=Cn?1+Cn?2+?+Cm?1+Cm?1
mmm?1mmm?1m=Cm
n?1+Cn?2+?+Cm?2+Cm?2=Cn?1+Cn?2+?+Cm?3+Cm?3
m?1m?1=Cm+C=Cn?1n ∴左边=右边 n?1
[思维点拔]：组合数性质的应用
例3、空间十个点A1， A2， A3，? A10，其中A1， A2， A3，A4，A5在同一平面内，此外再无三点共线、四点共面，以这些点为顶点，一共可以构成几个四面体？
解法一：（间接法）C10-C5=205
解法二：（直接法）从A1， A2， A3，A4，A5中可取0，1，2，3个点，故有四面体
+C5=205 C54C5C5C52+C5C5
[思维点拔]组合中“含”与“不含”的问题通常用直接法或间接法。“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取或取出后再去掉含有不能含的元素的取法数。
例4、集合A和B分别有8个元素和7个元素，A?B有4个元素，集合C有3个元素且满足下列条件：C?A?B，A?C??，B?C??，满足这些条件的集合C共有多少个？
解，把A、B和A?B中的元素分解好右图
方法一、所求的集合C的个数为 ?C3?C4?C3?C4?C7?C4?C7?C4?160
方法二、C11?C4?C3?160 333
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2．在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共个点，以这12个点为顶点的三角形有
5．若C3?C4?C5???Cn?363,则自然数n?_____.
三、解答题
1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
数学选修2-3
[基础训练A组]
一、选择题
每个小球都有4种可能的放法，即4?4?4?64
分两类：（1）甲型1台，乙型2台：C4（2）甲型2台，乙型1台：C4C5；C5 1221
C4C5?CC?4570
5235233．C
不考虑限制条件有A5，若甲，乙两人都站中间有A3?A3A3为所求 A3，A521214．B
不考虑限制条件有A5，若a偏偏要当副组长有A4，A5?A4?16为所求 2135．B
设男学生有x人，则女学生有8?x人，则CxC8?xA3?90,
即x(x?1)(?
3?0?2?3x5,?
8?r?r8?rx8?rrr18?rrr18?rr33
Tr?1?C()( ?(?1)()Cx?(?1)()Cx88222
41?66r?0,r?6,T7?(?1)6()8C8?7 32
(1?2x)5(2?x)?2(1?2x)5?x(1?2x)5?...?2C5(?2x)3?xC5(?2x)2?... 23
?(4C5?16C53)x3?...??120x?...
只有第六项二项式系数最大，则n?10，
Tr?1?C二、填空题
34441．（1）10
C6?10；?5；?C4?14 4
先排女生有A6，再排男生有A4，共有A6?A4?8640
0既不能排首位，也不能排在末尾，即有A4，其余的有A5，共有A4?A5?480 466r10?r4．1890
Tr?1?C10 ,?4T9x0x(r，令10?r?6r5,?C10x?5305．4,?C20?C,4r?1?r??1x
55?r52r2rr
,?4C(2)?2C10x2，令5?r?0,r?2T 80310?1
2r0?,T41?,6C
0?x(2?1?)Cx2
先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A5，其余的A7，共有A5?A7?840 4
当x?0时，有A4?24个四位数，每个四位数的数字之和为1?4?5?
24(?2x8?8,；当x?0时，288不能被10整除，即无解
不考虑0的特殊情况，有C5若C4A4?960 ,C5A5?12000,0在首位，则C5325314
C5C5A5?C5C4A??96?0412000
三、解答题
221．解：（1）①是排列问题，共通了A封信；②是组合问题，共握手?110C1111?55次。
（2）①是排列问题，共有A10?90种选法；②是组合问题，共有C10?45种选法。 2（3）①是排列问题，共有A8?56个商；②是组合问题，共有C82?28个积。
2．解：（1）甲固定不动，其余有A6?720，即共有A6?720种；
116（2）甲有中间5个位置供选择，有A5，其余有A6?720，即共有A5 A6?3600种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有A3，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当
于5人的全排列，即A5，则共有A5A3?720种；
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有A5，甲、乙可以交换有A2，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，
则共有A5A2A4?960种；
4（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 334
这五个空位，有A5，则共有A5A4?1440种；
7（6）不考虑限制条件有A7，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
A7?2520种； 2
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A7，留下三个空位，甲、乙、丙
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A7?840 766
（8）不考虑限制条件有A7，而甲排头有A6，乙排当中有A6，这样重复了甲排头，
乙排当中A5一次，即A7?2A6?A5?3720
3．解：(1)A2 ?140A??x?1x
x?N???(2x?1)2x(2x?1)(2x?2)?140x(x?1)(x?2)
?(2x?1)(2x?1)?35(x?2)??x?3?
?4x2?35x?69?0?
(2)Cn?Cn,2Cn?2?Cn?3?Cn?1?Cn?12Cn??2Cn??2
?C,n?2?,n?4
1r1??r28?rrr16?3r
4．解：2?2?128,n?8，?x2??的通项Tr?1?C8(x)(?)?(?1)C8x
当r?4时，展开式中的系数最大，即T5?70x4为展开式中的系数最大的项； 当r?3,或5时，展开式中的系数最小，即T2??56x7,T6??56x为展开式中 的系数最小的项。
5．解：（1）由已知得Cn?Cn?n?7
（2）由已知得Cn?Cn?Cn?...?128,2n?1?128,n?8，而展开式中二项式
系数最大项是T4?1?C8(44
．解：设f(x)?(2)50，令x?
1，得a0?a1?a2???a50?(250
1，得a0?a1?a2???a50?(250
(a0?a2?a4???a50)2?(a1?a3?a5??
(a0?a1?a2???a50)(a0?a1?a2???a50)?(250(250?1
数学选修2-3
[综合训练B组]
一、选择题
个位A2，万位A3，其余A3，共计A2A3A3?36 32．D
相当于3个元素排10个位置，A10?720 153．B
从55?n到69?n共计有15个正整数，即A69?n
从c,d,e,f中选2个，有C4，把a,b看成一个整体，则3个元素全排列，A3 23
共计C4A3?36
先从5双鞋中任取1双，有C5，再从8只鞋中任取2只，即C8，但需要排除 12
4种成双的情况，即C8(C82?4)?120 ?4，则共计C5
T8?C10)3(?x)7?
Tr?1?C2n(2x)
1rr2n?2r)?22n?rC2，令2n?2r?2,r?n?1 nx2x
3C814x?2?2 ?56,n?4，再令8?2r??2,r?5,T6?4x
(1?x3)(1?x)10?(1?x)10?x3(1?x)10?(C10?C10)x5?...?207x5?...
二、填空题
每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2?2?...?n2个(
四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即C5C4?CC?
C3，其中(1,1重复了一次 C4A2?1?23
15?r15?r?5r
C(x?)(?1),(x?)的通项为 的通项为其中1r?xx?
C5，所以通项为(?1)rC5 C5?rx5?r?2r，令5?r?2?rx
5?r''
，当r?1时，r?2，得常数为?30；当r?3时，r?1，得常数为?20； 2
当r?5时，r?0，得常数为?1；??30?(?20)?(?1)??51
3件次品，或4件次品，C4C4?CC?
(x?1)[1?(x?1)5](x?1)?(x?1)6467．15
原式?，(x?1)中含有x的项是 ?
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