8/3与它的倒数的和乘12/73，乘积是多少？（列综合式）_百度知道
8/3与它的倒数的和乘12/73，乘积是多少？（列综合式）
24×12&#47（8/73=73/3+1÷8/3）×12&#47
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24)×12/73=73/24×12/73=12/24=1&#47(8/3+3/8)×12/73=(64/24+9&#47
(8/3+3/8)×12/73=1/2
(8/3+3/8)*12/73
（8/3+3/8）X12/73=1X12/73=12/73
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1到5五个自然数写成一个三位数乘二位数的算式.这两个数分别是（）和（）时,它们的乘积最大?
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52 * 431 = 22412 ( 53 * 421 = 22313 )
嗯，我再等等，有没有更高的
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53*421=22843
大哥，你算错了
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小学常见奥数题型分析汇总
1、最值问题 【最小值问题】 例 1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一 位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间 的距离都相等。现知甲乙相距 5000 米，乙丙相距 8000 米，丙丁相距 4000 米，那么至少要增加______位民警。（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图 5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有 7 位民警。他们将 上面的线段分为了 2 个 2500 米，2 个 4000 米，2 个 2000 米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两 人之间距离相等，这实际上是要求将 、2000 分成尽可能长的同样长的小路。 由于 、2000 的最大公约数是 500，所以，整段路最少需要的民警数是（＋4000）÷500 ＋1=35（名）。 例 2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在 A、B、C 的位置上，如图 5.92 所示，它们爬行的速度相等。 若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相 等。 我们可将正方体表面展开，如图 5.93，则 A、B、C 三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内 找出一点 O，使 O 到这三点的距离相等且最短。所以，连接 A 和 C，它与正方体的一条棱交于 O；再连接 OB，不难得出 AO=OC=OB。 故，O 点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 例 1 有三条线段 a、b、c，并且 a＜b＜c。判断：图 5.94 的三个梯形中，第几个图形面积最大？1讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定 值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c 这组数的 值最接近。 故图（3）的面积最大。 例 2 某商店有一天，估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能卖出 500 个。已知这种商品每个 涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。 （台北市数学竞赛试题） 讲析：因为按每个 100 元出售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以，这种商品按单价 90 元进货，共进了 600 个。 现把 600 个商品按每份 10 个，可分成 60 份。因每个涨价 1 元，销量就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减 价 1 元，销量就增加 1 份。 所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为 60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份，此时有最大的利润。 因此，每个售价应定为 90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。 2、最值规律 【积最大的规律】 （1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是 如果 a1+a2+?+an=b（b 为一常数）， 那么，当 a1=a2=?=an 时，a1×a2×?×an 有最大值。 例如，a1+a2=10， ????→????； 1+9=10→1×9=9； 2+8=10→2×8=16； 3+7=10→3×7=21； 4+6=10→4×6=24；24.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75； 5+5=10→5×5=25； 5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75； ????→????； 9+1=10→9×1=9； ????→???? 由上可见，当 a1、a2 两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为 0，即 a1=a2 时，它们的积就会变 得最大。 三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。 由“积最大规律”，可以推出以下的结论： 结论 1 所有周长相等的 n 边形，以正 n 边形（各角相等，各边也相等的 n 边形）的面积为最大。 例如，当 n=4 时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。 例题：用长为 24 厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？ 解 设长为 a 厘米，宽为 b 厘米，依题意得 （a+b）×2=24 即 a+b=12 由积最大规律，得 a=b=6（厘米）时，面积最大为 6×6=36（平方厘米）。 （注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。） 结论 2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。 例题：用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？ 解 设长方体的长为 a 米，宽为 b 米，高为 c 米，依题意得 （a+b+c）×4=12 即 a+b+c=3 由积最大规律，得 a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为 1×1×1=1（立方米）。 （2）将给定的自然数 N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是 2 或 3，并且 2 至多 为两个时，这些自然数的积最大。 例如，将自然数 8 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？ 我们可将各种拆法详述如下： 分拆成 8 个数，则只能是 8 个“1”，其积为 1。3分拆成 7 个数，则只能是 6 个“1”，1 个“2”，其积为 2。 分拆成 6 个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是 3 和 4。 分拆成 5 个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别 为 4，6，8。 分拆成 4 个数，可得 5 组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2， 2，2，2）。它们的积分别为 5，8，9，12，16。 分拆成 3 个数，可得 5 组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们 的积分别为 6，10，12，16，18。 分拆成 2 个数，可得 4 组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为 7，12，15，16。 分拆成一个数，就是这个 8。 从上面可以看出，积最大的是 18=3×3×2。 可见，它符合上面所述规律。 用同样的方法，将 6、7、14、25 分拆成若干个自然数的和，可发现 6=3+3 时，其积 3×3=9 为最大； 7=3+2+2 时，其积 3×2×2=12 为最大； 14=3+3+3+3+2 时，其积 3×3×3×3×2=162 为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。 【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果 a1×a2×? ×an=c（c 为常数）， 那么，当 a1=a2=?=an 时，a1+a2+?+an 有最小值。 例如，a1×a2=9， ????→????1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；4????→???? 由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为 0 时，它们的和为最小。 例题：用铁丝围成一个面积为 16 平方分米的长方形，如何下料，材料最省？ 解 设长方形长为 a 分米，宽为 b 分米，依题意得 a×b=16。 要使材料最省，则长方形周长应最小，即 a+b 要最小。根据“和最小规律”，取 a=b=4（分米） 时，即用 16 分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。 推论 由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。 例如，面积均为 4 平方分米的正方形和圆，正方形的周长为 8 分米；而的周长小于正方形的周长。 【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为 0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面积。 推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论： 在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。 例如，周长为 4 分米的正方形面积为 1 平方分米；而周长为 4 分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。 【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正 n 边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数 越多，体积越大。 例如，表面积为 8 平方厘米的正四面体 S―ABC（如图 1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为 2 平方厘米，它的体积约是 1.1697 立方厘米。而表面积为 8 平方厘米5长约为 1.1546 厘米，体积约为 1.539 立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论： 在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。 例如， 表面积为 8 平方厘米的正四面体， 体积约为 1.1697 立方米； 表面积为 8 平方厘米的正六面体 （正方体） ， 体积约为 1.539 立方厘米；而表面积是 8 平方厘米的球，体积却约有 2.128 立方厘米。可见上面的结论是正确的。 【排序不等式】 对于两个有序数组： a1≤a2≤?≤an 及 b1≤b2≤?≤bn， 则 a1b1+a2b2+??+anb _ n（同序） T≥a1b _ 1+a2b _ 2+??+anb _ n（乱序）≥a1b n+a2bn-1+??+a&nb1（倒序）（其中 b _ 1、b _ 2、??、b _ n 为 b1、b2、??、bn 的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当 a1=a2=?=an，或 b1=b2=?=bn 时，式 中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有 10 个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。 水龙头注满第一、第二、??九、十个人的桶，分别需要 1、2、3、??、9、10 分钟。问：如何安排这 10 个人 的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，??，9，10。 打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成 1，2，3，??，9，10。 根据排序不等式，最小积的和为倒序，即 1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1 =（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2 =（10+18+24+28+30）×2 =220（分钟） 其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。 3、最优方案与最佳策略6【最优方案】 例 1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在 A、B、C、D 四台不同设备上加 工 2、1、4、0 小时；每件乙产品需分别在 A、B、C、D 四台不同设备上加工 2、2、0、4 小时。已知 A、B、C、D 四台设备，每天最多能转动的时间分别是 12、8、16、12 小时。生产一件甲产品该厂得利润 200 元，生产一件乙 产品得利润 300 元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？ （中国台北第一届小学数学竞赛试题） 讲析：设每天生产甲产品 a 件，乙产品 b 件。由于设备 A 的转动时间每天最多为 12 小时，则有：（2a＋2b） 不超过 12。 又（a＋2b）不超过 8， 4a 不超过 16， 4b 不超过 12。 由以上四个条件知， 当 b 取 1 时，a 可取 1、2、3、4； 当 b 取 2 时，a 可取 1、2、3、4； 当 b 取 3 时，a 可取 1、2。 这样，就是在以上情况下，求利润 200a＋300b 的最大值。可列表如下：所以，每天安排生产 4 件甲产品，2 件乙产品时，能得到最大利润 1400 元。 例 2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子 生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。 （1989 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）的时间生产上衣。所以， 甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。 如果甲厂全月生产裤子，则可生产7如果乙厂全月生产上衣，则可生产把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成 2100 套成衣， 这时甲厂生产 150 条裤子的时间可用来生产成套的成 衣故现在比过去每月可以多生产 60 套。 【最佳策略】 例 1 A、B 二人从 A 开始，轮流在 1、2、3、??、1990 这 1990 个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互 质，那么 B 胜，否则 A 胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？ （《中华电力杯》少年数学竞赛试题） 讲析：将这 1990 个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），?，（）。 当 A 任意在括号中划去一个时，B 就在同一个括号中划去另一个数。这样 B 就一定能获胜。 例 2 桌上放有 1992 根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为 1 根或 2 根，规定取得最后一根火柴 者胜。问：谁可获胜？ （1992 年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题） 讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取 3 根。谁要抢到第 1992 根，谁就必须抢到第 1989 根，进而 抢到第 、1980、?、6、3 根。 谁抢到第 3 根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。 后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等 于 3。 例 3 有分别装球 73 个和 118 个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问： 若要先取者为获胜，应如何取？ （上海市数学竞赛试题） 讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持 相等。这样，先取者一定获胜。 4、直接思路 “直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。8【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求 出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求 的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。 例 1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟 200 米，弟弟出发 5 分钟后，哥哥带一条狗出发，以 每分钟 250 米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟 300 米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又 立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？ 分析（按顺向综合思路探索）： （1）根据弟弟速度为每分钟 200 米，出发 5 分钟的条件，可以求什么？ 可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。 （2）根据弟弟速度为每分钟 200 米，哥哥速度为每分钟 250 米，可以求什么？ 可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。 （3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000 米，每分钟可追上的距离为 50 米，根据这两个条件， 可以求什么？ 可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。 （4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？ 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。 （5）已知狗以每分钟 300 米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟 所需的时间，可以求什么？ 可以求出这时狗总共跑了多少距离？ 这个分析思路可以用下图（图 2.1）表示。例 2 下面图形（图 2.2）中有多少条线段？分析（仍可用综合思路考虑）：9我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可 以这样来计数。 （1）左端点是 A 的线段有哪些？ 有 AB AC AD AE AF AG 共 6 条。 （2）左端点是 B 的线段有哪些？ 有 BC、BD、BE、BF、BG 共 5 条。 （3）左端点是 C 的线段有哪些？ 有 CD、CE、CF、CG 共 4 条。 （4）左端点是 D 的线段有哪些？ 有 DE、DF、DG 共 3 条。 （5）左端点是 E 的线段有哪些？ 有 EF、EG 共 2 条。 （6）左端点是 F 的线段有哪些？ 有 FG 共 1 条。 然后把这些线段加起来就是所要求的线段。 【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一 个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到 所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。 例 1 两只船分别从上游的 A 地和下游的 B 地同时相向而行，水的流速为每分钟 30 米，两船在静水中的速度 都是每分钟 600 米，有一天，两船又分别从 A、B 两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的 2 倍，所以两船相 遇的地点比平时相遇点相差 60 米，求 A、B 两地间的距离。 分析（用分析思路考虑）： （1）要求 A、B 两地间的距离，根据题意需要什么条件？ 需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。 （2）要求两船的速度和，必要什么条件？ 两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟 600 米，那么不论其水速是否改变，其速度 和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和 为：船速+水速+船速-水速=2 个船速（实为船在静水中的速度） （3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？10两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一 次每分钟增加了 30 米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点 60 米，由此可知两船相遇的 时间为 60÷30=2（小时）。 此分析思路可以用下图（图 2.3）表示：例 2 五环图由内径为 4，外径为 5 的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相 等（如图 2.4），已知五个圆环盖住的总面积是 122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π 取 3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）： （1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？ 曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道 8 个小曲边四边形的总面积，则只要用 8 个曲边四边形总面积 除以 8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。 （2）要求 8 个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？ 8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖 住的总面积就可以了。 （3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？ 求出一个圆环的面积，然后乘以 5，就是五个圆环的总面积。 （4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？ 已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。 圆环面积公式为： S 圆环=π （R -r ） =π （R＋r）（R－r） 其思路可用下图（图 2.5）表示：112 2【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运 用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推 思路”。这种思路简明实用。 例 1 一只桶装满 10 千克水，另外有可装 3 千克和 7 千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把 10 千克 水分为 5 千克的两份？ 分析（用一步倒推思路考虑）： （1）逆推第一步：把 10 千克水平分为 5 千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？ 因为有一只可装 3 千克水的桶，只要在另一只桶里剩 2 千克水，利用 3＋2=5，就可以把水分成 5 千克一桶， 所以关键是要先倒出一个 2 千克水。 （2）按条件顺推。第一次：10 千克水倒入 7 千克桶，10 千克水桶剩 3 千克水，7 千克水倒入 3 千克桶，7 千 克水桶剩 4 千克水，3 千克水桶里有水 3 千克；第二次：3 千克桶的水倒入 10 千克水桶，这时 10 千克水桶里有水 6 千克，把 7 千克桶里的 4 千克水倒入 3 千克水桶里，这时 7 千克水桶里剩水 1 千克，3 千克水桶里有水 3 千克； 第三次： 3 千克桶里的水倒入 10 千克桶里， 这时 10 千克桶里有水 9 千克， 7 千克桶里的 1 千克水倒入 3 千克桶里， 这时 7 千克桶里无水，3 千克桶里有水 1 千克；第四次：10 千克桶里的 9 千克水倒入 7 千克桶里，10 千克水桶里 剩下 2 千克水，7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里（原有 1 千克水），只倒出 2 千克水，7 千克桶里剩水 5 千克，3 千克桶里有水 3 千克，然后把 3 千克桶里的 3 千克水倒 10 千克桶里，因为原有 2 千克水，这时也正好是 5 千克水 了。 其思路可用下图（图 2.6 和图 2.7）表示： 问题：12例 2 今有长度分别为 1、2、3??9 厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成 正方形？ 分析（仍可用一步倒推思路来考虑）： （1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？ 根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。 （2）从条件顺推。 ①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要 7 条，最多用了 9 条，这样就可以求 出正方形边长的长度范围为（1+2+??②当边长为 7 厘米时，各边分别由 1+6、2+5、3+4 及 7 组成，只有一种组成方法。 ③当边长为 8 厘米时，各边分别由 1+7、2+6、3+5 及 8 组成，也只有一种组成方法。 ④当边长为 9 厘米时，各边分别由 1+8、2+7、3+6 及 9；1＋8、2＋7、4+5 及 9；2＋7、3＋6、4+5 及 9；1＋ 8、3＋6、4＋5 及 9；1＋8、2+7、3＋6 及 4＋5 共 5 种组成方法。 ⑤当边长为 10 厘米时，各边分别由 1+9、2＋8、3＋7 及 4＋6 组成，也只有一种组成方法。13⑤当边长为 11 厘米时，各边分别由 2+9、 3＋8、4＋7 及 5+6 组成，也只有一种组成方法。 ⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。 此题的思路图如下（图 2.8）： 问题：【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫 还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。运 用还原思路解题的方法叫“还原法”。 例 1 一个数加上 2，减去 3，乘以 4，除以 5 等于 12，你猜这个数是多少？ 分析（用还原思路考虑）： 从运算结果 12 逐步逆推， 这个数没除以 5 时应等于多少？没乘以 4 时应等于多少？不减去 3 时应等于多少？ 不加上 2 时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。 其思路图如下（图 2.9）： 条件：例 2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多 少酒？ 分析（用还原思路探索）：14李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提壶上街买酒、喝酒， 每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添 1 倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒 1 斗。这样他遇店、见花经过 3 次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？ 下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。 见花前――有 1 斗酒。 第三次：见花后――壶中酒全喝光。 第三次：遇店前――壶中有酒半斗。第一次：见花前――壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 斗。 遇店前――壶中有酒为第一次见花前的一半。 其思路图如下【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后 再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如 能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题 思路，叫假设思路。 例 1 中山百货商店，委托运输队包运 1000 只花瓶，议定每只花瓶运费 0.4 元，如果损坏一只，不但不给运 费，而且还要赔偿损失 5.1 元。结果运输队获得运费 382.5 元。问：损坏了花瓶多少只？ 分析（用假设思路考虑）： （1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？ 0.4×（元）。 （2）而实际只有 383.5 元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔 偿损失 5.1 元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？ 0.4＋5.1=5.5（元）15（3）总差额中含有一个 5.5 元，就损坏了一只花瓶，含有几个 5.5 元，就是损坏了几只花瓶。由此便可求得 本题的答案。 例 2 有 100 名学生在车站准备乘车去离车站 600 米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆 45 分钟以 后，再去离纪念馆 900 米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟 300 米和 150 米， 而中巴和大巴分别可乘坐 10 人和 25 人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？ 分析（用假设思路思索）； 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。把在最后 1 人到达纪念馆后停留 45 分钟， 假设为在公园停留 45 分钟，则问题将大大简化。 （1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？ 中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟） 大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟） （2）中巴和大巴在 20 分钟内共可运多少人？ 中巴每次可坐 10 人，往返一次要 10 分钟，故 20 分钟可运 20 人。 大巴每次可坐 25 人，往返一次要 20 分钟，故 20 分钟可运 25 人。 所以在 20 分钟内中巴、大巴共运 45 人。 （3）中巴和大巴 20 分钟可运 45 人，那么 40 分钟就可运 45×2=90（人），100 人运走 90 人还剩下 10 人， 还需中巴再花 10 分钟运一次就够了。 （4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运 90 人所需的时间，运 10 人所需的时间，和在纪念馆停 留的时间相加即可。 【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而 消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方 程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。 例 1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6 小时，师傅做了 8 小时，一共做了 312 个零件，徒弟 5 小时的工作 量等于师傅 2 小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？ 分析（用消去思路考虑）： 这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为 1 份，把师傅的工作量用徒弟 的工作量来代替，那么师傅 8 小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅 2 小时的工作量相当于徒弟 5 小 时的工作量，那么 8 小时里有几个 2 小时就是几个 5 小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量， 题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看 312 个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒 弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量 了。16例 2 小明买 2 本练习本、2 枝铅笔、2 块橡皮，共用 0.36 元，小军买 4 本练习本、3 枝铅笔、2 块橡皮，共 用去 0.60 元，小庆买 5 本练习本、4 枝铅笔、2 块橡皮，共用去 0.75 元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少 钱？ 分析（用消去法思考）： 这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应 该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。 如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干 倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下： 小明 2 本 2 枝 2 块 0.36 元 小军 4 本 3 枝 2 块 0.60 元 小庆 5 本 4 枝 2 块 0.75 元 现在把小明的各数分别除以 2，可得到 1 本练习本、1 枝铅笔、1 块橡皮共 0.18 元。 接着用小庆的各数减去小军的各数，得 1 本练习本、1 枝铅笔为 0.15 元。 再把小明各数除以 2 所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到 1 块橡皮 0.03 元，采用 类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。 【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度， 或转化为另外一种问题，这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。各养兔多少只？ 分析（用转化思路思索）： 题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16×3=52（只）分析（用转化思路分析）：17本题求和，题中每个分数的分子都是 1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相 减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化 为两个连续自然数积的形式。所以例题可以转化为：然后再相加，抵消中间的各个分数即可。 【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式， 从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。 例 1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲 6 下，5 秒钟敲完；钟敲 12 下，几秒敲完？ 分析（用类比思路探讨）： 有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为 10 秒钟敲完，那就完全错了。其实此题只要运用类比思路，与植树 问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果 包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。 例 2 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。 分析（用类比思路讨论）： 本题可以与行程问题进行类比。如图 2.11，如果用时针 1 小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新 叙述为：已知分针与时针相距 4 格，分18如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。4 为 距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就 是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。 例 1 如图 2.12，共有多少个三角形？分析（用分类思路考虑）： 这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有 三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件，可以分为五类（如图 2.13）。例 2 如图 2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？ 分析（运用分类思路分析）： 小卒过河后，首先到达 A 点，因此，题目实际上是问：从 A 点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将” 处，所谓最短，是指不走回头路。19因为“将”直接相通的是 P 点和 K 点，所以要求从 A 点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从 A 到 P 和 从 A 到 K 各有多少种走法。分类。一种走法：A 到 B、C、D、E、F、G 都是各有一种走法。 二种走法：从 A 到 H 有两种走法。 三种走法：从 A 到 M 及从 A 到 I 各有三种走法。 其他各类的走法：因为从 A 到 M、到 I 各有 3 种走法，所以从 A 到 N 就有 3＋3＝6 种走法了，因为从 A 到 I 有 3 种走法，从 A 到 D 有 1 种走法，所以从 A 到 J 就有 3＋1=4 种走法了；P 与 N、J 相邻，而 A 到 N 有 6 种走法， A 到 J 有 4 种走法，所以从 A 到 P 就有 6+4=10 种走法了；同理 K 与 J、E 相邻，而 A 到 J 有 4 种走法，到 E 有 1 种走法，所以 A 到 K 就有 4+1=5 种走法。 再求从 A 到“将”处共有多少种走法就非常容易了。 【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求 出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关 系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。 例 1 如图 2.15 的正方形边长是 6 厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大 6 平 方厘米，求 CE 长多少厘米？分析（用等量代换思路思考）： 按一般思路，要求 CE 的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。用等量 代换思路，我们可以求出三角形 ABE 的面积，从而求出 CE 的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙： 已知 乙=甲+6 丙+甲=6×6=36 用甲+6 代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42 即三角形 ABE 的面积等于 42 平方厘米，这样，再来求 CE 的长就简单了。20例 2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？ 分析（用等量代换的思路来探讨）： 这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。 出现了下面这个等式。 第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子） =第三堆（白子+黑子） （这里指的棋子数）份，则第二堆（全部黑子）为 3 份，这样就出现了每堆棋子为 3 份，3 堆棋子的总份数自然就出来了。而第三堆 黑子占了 2 份，白子自然就只有 3―2=1 份了。第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。最后去解 决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。 【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几 分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。 例 1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 91 公亩，麦地的一半和菜地的三分 之一放在一起是 84 公亩，那么，菜地是几公亩？ 分析（用对应思路分析）： 这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索。如能找出 91 公亩、84 公亩的对应分率，此题就 比较容易解决了。但题中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几呢？这是解题的关键。而我们一时还 弄不清楚，现将条件排列起来寻找。可求出总公亩数是求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。 但我们把条件稍作组合，就可以求出21分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。 例 2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需 要 5 小时，要排完一池水，单开乙管顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 分析（用对应思路考虑）： 本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。 首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之 几，然后才能计算。 一池水→“1”通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开 1 小时，共开 4 小时，池 内灌进的水是全池的：加上池内原有的水，池内有水：22也就是 20 小时以后，池内有水水池了，因此 20 小时后，只需再灌水所以这时甲管不要开 1 小时，只要开总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？ 5、整数的拆分 【不连续加数拆分】 例 1 将一根长 144 厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的 是哪一种长方形？ （1992 年“我爱数学”邀请赛试题） 讲析：做成的长方形，长与宽的和是 144÷2=72（厘米）。 因为 72=1+71=2+70=3+69=??=35+37=36+36， 所以，一共有 36 种不同的做法。 比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是 36 厘米时，面积最大。 例 2 将 1992 表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。 （1992 年武汉市小学数学竞赛试题） 讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于 4 的数，则把大于 4 的这个数再分成一个 2 与另一个大于 2 的自然数之和，则这个 2 与大于 2 的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有 1，则与“乘积最大”不 符。 所以，要使加数之积最大，加数只能是 2 和 3。 但是，若加数中含有 3 个 2，则不如将它分成 2 个 3。因为 2×2×2=8，而 3×3=9。 所以，拆分出的自然数中，至多含有两个 2，而其余都是 3。 而 。故，这些自然数是 664 个 3。23例 3 把 50 分成 4 个自然数，使得第一个数乘以 2 等于第二个数除以 2；第三个数加上 2 等于第四个数减去 2， 最多有______种分法。 （1990 年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：设 50 分成的 4 个自然数分别是 a、b、c、d。 因为 a×2=b÷2，则 b=4a。所以 a、b 之和必是 5 的倍数。 那么，a 与 b 的和是 5、10、15、20、25、30、35、40、45。 又因为 c＋2=d-2，即 d=c＋4。所以 c、d 之和加上 4 之后，必是 2 的倍数。 则 c、d 可取的数组有： （40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。 由于 40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7， 得出符合条件的 a、b、c、d 一组为（8、32、3、7）。 同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。 所以，最多有 4 种分法。 【连续加数拆分】 例 1 把 945 写成连续自然数相加的形式，有多少种？ （第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 945=3 ×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。 所以，945 共能分拆成 16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。 例 2 几个连续自然数相加，和能等于 1991 吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说 明理由。 （全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：1，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。 所以，1991 可以分成几个连续自然数相加，并且有 3 种答案。 由 91 得： 6。 由 1 得：5?+（80+101）24=80＋81＋??＋100＋101。6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例 1 42□28□是 99 的倍数，这个数除以 99 所得的商是__。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：能被 99 整除的数，一定能被 9 和 11 整除。 设千位上和个位上分别填上数字 a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被 9 整除，必须使 [16+（a+b）]是 9 的倍数，即（a+b）之和只能取 2 或 11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是 （8+a-b） 或 （b-a-8） ， 要使原数能被 11 整除， 必须使 （8+a-b） 或（b-a-8）是 11 的倍数。经验证，（b-a-8）是 11 的倍数不合。 所以 a-b=3。 又 a+b=2 或 11，可求得 a=7，b=4。 从而很容易求出商为 =4316。 例 2 某个七位数 1993□□□能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位数字依次是__。 （1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为 2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数是 2520。 而 20=790 余 2200。 于是再加上（）=320 时，就可以了。所以最后三位数字依次是 3、2、0。 例 3 七位数 175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是 0 到 9 中的哪一个数字，这个七位数都不是 11 的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析： 设千位上和个位上的数字分别是 a 和 b。 则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+ （b-a） ] 或[（a-b）-3]。 要使原数是 11 的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是 11 的倍数。 则有 b-a=8，或者 a-b=3。 ①当 b-a=8 时，b 可取 9、8； ②当 a-b=3 时，b 可取 6、5、4、3、2、1、0。 所以，当这个七位数的末位数字取 7 时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是 11 的倍数。 例 4 下面这个四十一位数2555??5□99??9 （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是__。 （1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：注意到 =15873，所以 555555 与 999999 也能被 7 整除。则 18 个 5 或 18 个 9 组成的数，也 能被 7 整除。 要使原四十一位数能被 7 整除，只需 55□99 这个五位数是 7 的倍数。 容易得出，中间方格内的数字是 6。 【整除】 例 1 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，适合这些条件的最小数是______。 （天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题） 讲析：所求这个数分别除以 3 和 7 时，余数相同。 3 和 7 的最小公倍数为 21。所以这个数是 23。经检验，23 除以 5 商 4 余 3，23 是本题的答案。 例 2 一个整数在 3600 到 3700 之间，它被 3 除余 2，被 5 除余 1，被 7 除余 3。这个整数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：所求整数分别除以 3、5、7 以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上 4 以后，它就 能同时被 3、5、7 整除了。 因为 3、5 和 7 的最小公倍数是 105。
余 30，105-30=75， 所以，当 3600 加上 75 时，就能被 3、5 和 7 整除了。即所求这个整数是 3675。 例 3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如 52 中间插入 4 后变成 542。有些两位数中间 插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的 9 倍。这样的两位数共有__个。 （中南地区小学数学竞赛试题） 讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的 9 倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一 定是 0 或 5。 又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的 9 倍了。因此原二位数的个位不能 为 0，而一定是 5。 结合被 9 整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有 45、35、25 和 15 共 4 个。 例 4 a 是一个自然数，已知 a 与 a+1 的各位数字之和都能被 7 整除，那么这样的自然数 a 最小是__。（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 讲析：a 与 a+1 的各位数字之和都是 7 的倍数。则 a 的个位数字一定是 9。因为如果个位上不是 9 时，若 a 的 各位数字之和是 7 的倍数，则 a+1 的各位数字之和除以 7 以后，肯定余 1。26只有当 a 的个位上是 9 时，a+1 之后，个位上满十后向前一位进一，a+1 的个位数字和才有可能是 7 的倍数。 联想到 69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数 a 是 69999。 例 5 一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到的一个商 是 a[见图 5.43（1）]，又知这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到一个商是 2a[见图 5.43 （2）]，求这个自然数。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：可从最后的商步步向前推算。 由图 5.43 （1） 可得： 第二次商是 （8a+7） ； 第一次商是 8× （8a+7） +1=64a+57； 所求的自然数是 8× （64a+57） +1=512a+457 由图 5.43（2）得，所求的自然数是 578a+259 所以，512a+457=578a+259。 解得 a=3。 故，这个自然数是 512×3+457=1993。 例 6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是 1、2、3、??、12。他们的电话号码依次是十二个连续 的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于 6，并且门 牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除。问这一家的电话号码是什么数？ （1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题） 讲析：设这十二家住户的电话号码依次是 a+1、a+2、a+3、??，a+12。 因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数 a 能同时被 1、2、3、??、12 整除。 而 1、2、3、??、12 的最小公倍数是 27720，所以六位数中，能同时被 1、2、3、??12 整除的最小自然 数是 2880 现在考虑第九户人家的电话号码能被 13 整除问题。 因为 ，余数是 12；27720÷13，余数是 4。 也就是在 110889 的基础上，再加上 n 个 27720 之后的和，能被 13 整除的数，就是所求的数。 即 12+4n，是 13 的倍数。 显然，当 n=10 时，12+4n 是 13 的倍数。 所以，门牌号码是 9 的这家电话号码是： 20×10=388089。277、运用图形间的等量关系 【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图” （如图 4.56 所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾 股定理”。我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题： 有一块长方形田，面积为 864 平方步（“步”是古代长度单位，1 里=300 步，1 步=5 尺），已知长比宽少 12 步，问：它的长、宽共是多少步？ 杨辉在该书上出示了一个弦图（如图 4.57），他是用四个面积为 864共是 60 步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！28有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其 是那一道决赛题：平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”仿杨辉的解法，可假定剩下 4 块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图 4.58。于是可知，大正方 形的面积为【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找 出等量关系来解答题目。例如如图 4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽 12 厘米，求阴影部分的总面积。 由图可知，5 个纸片的长=3 个纸片的长+3 个纸片的宽，所以 2 个纸片长=3 个纸片宽 1 个纸片长=12×3÷2 =18（厘米） 进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为 18-12=6（厘米） 阴影部分的总面积便是296×6×3=108（平方厘米） 又如，“有 9 个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图 4.60）的面积是 45 平方厘 米，求大长方形的周长。”解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由 5 个小长方形的宽等于形重新分割为 5 个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图 4.61）。所以，5 个小正方形面积之 和，就是四个小正方形的面积之和，即 5 个小正方形面积为 45÷9×4=20（平方厘米） 每个小正方形的面积为 20÷5=4（平方厘米） 显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为 2 厘米，小长方形的长便是进而便可求得大长方形的周长为 ［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。 此外，题目还可这样解答：因为小长方形宽的 5 倍等于长的 4 倍，所以，可用（4 与 5 的最小公倍数）20 个小长方形拼成一个大的正方 形（如图 4.62）。大正方形面积是它的边长便是 10 厘米，则小正方形的长为 10÷4=2.5（厘米） 小正方形的宽为3010÷5=2（厘米） 于是，原来的大长方形的周长就是 （2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。 【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如为什么成立？ 由图中可以看出，△PBC 和△ABC 是同底的两个三角形，所以又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：“如图 4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是 20 公亩、25 公亩和 30 公亩， 另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？” 图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是 长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。 设阴影部分面积为 x 公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以31即另一个（阴影部分）长方形面积为 37.5 公亩。8、运算法则或方法 【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。 【四则运算顺序】见小学数学课本，略。 【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。 （1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。32（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。 例如【求连分数的值的方法】由数列 a0，a1，??及 b1，b2，??所组成的表达式称为“连分数”。它可简记为为连分数的值。 连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如，求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是从最下面的分母 运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：33求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它的值。 注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：的任意两个约数 a1，a2； （2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。注意：（1）因大于 1 的自然数的约数有时不止 2 个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次 取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。 例如，15 的约数有 1，3，5，15 四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、 （3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约 数的 2 倍或乘以 2 即可。34拆成 n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同 乘以分母 A 的 n 个约数的和（a1+a2+?+an）。解∵15=3×5 ∴15 的约数有 1，3，5，15。有限个分数的和的形式。 【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相 同。计算法则有以下三条： （1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个 数位）； （2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位； （3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。 例如，求近似数 25.4、0.456、8.738 和 56 的和。3525.4+0.456+8.738+56≈91 又如，求近似数 0.095 减 0.002153 的差。 解：0.095-0..093 【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的 相同。具体法则有以下三条： （1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）； （2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个； （3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。 例如，（1）求近似数 26.79 与 0.26 的积。（2）求近似数 9.7 除以近似数 25.78 的商。因 24 只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有 效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。再如，量得一个圆的周长约是 3.73 厘米，求这个圆的直径。36题目要求直径长度，需用“3.73÷π ”去计算。其中 3.73 是近似数，有三个有效数字；π 是个准确数，它有 任意多个有效数字，计算时，π 取四个有效数字： 解 3.73÷π ≈3.73÷3.142≈1.19（厘米） 答：这个圆的直径约是 1.19 厘米。 【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比 加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算： 57.71÷5.14+3.18×1.16-4.。 解原式=11.23+3.689-7.41 ≈7.5 说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.，所得的中间结果 11.23，3.689，7.41，都比法则规 定应当取的有效数字多取了一个。 （2）11.23+3.689-7.41 是加减法，各数中精确度最低的是 7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只 精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得 7.5。 又如，“有一块梯形土地，量得上底约为 68.73 米，下底约为 104.20 米，高约为 9.57 米。求这块土地的面 积。≈86.47×9.57 ≈828（平方米）（答略） 说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果 172.93，精确到 0.01，没有多取的数位。果四舍五入到三个有效数字，得 828。 【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为 “预定精确度的计算”。 预定精确度的计算法则，一般有： （1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。 如果预定结果有 n 个有效数字，那么原始数据一般取到 n+1 个有效数字。 例如，圆形面积大约是 140 平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径 r 应达到怎样的精确 度？π 应取几个有效数字的近似值？37解：为了使面积 S 具有两个有效数字，π 和 r 就都要有三个有效数字。因为r 应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到 0.01 米。 π 应该取三个有效数字的近似值--3.14。 （2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数 字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。 例如，梯形上底 a 约 50 米，下底 b 约 60 米，高 h 约 40 米。测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面 积 S 有两个有效数字？要使 S 有两个有效数字，则（a+b）与 h 都应该有三个有效数字。所以，测量 h 应精确到 0.1 米，而测量上底 和下底，只需要精确到 1 米（因 a+b 有三个整数数位。） 在实际测量时，a、b、h 都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。 【一般验算方法】 （1）加减法的验算方法。 加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须与原计算的结果相 同，说明计算才是正确的。二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另 一个加数，计算才是正确的。 减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加，所得的和必须等于 被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果 必须等于减数，计算才是正确的。 （2）乘除法的验算方法。 乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计 算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计 算才是正确的。 除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果 必须等于被除数，计算才是正确的。②利用被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没 有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。 （3）四则混合运算式题的验算。38四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常麻烦，不如采用重 算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：①检查运算顺序；②检查分 小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。 （4）解方程、解比例的验算方法。 解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。 （5）应用题的验算方法。 应用题的验算可以采用下面三种方法： ①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的结果一致，说明解法 是正确的。 ②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都 是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。 ③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求人数、植树棵树等， 得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于 100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应 基本符合实际情况；??否则，题目的解答便可能是错误的。 不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验算。 【弃九验算法】利用被 9 除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃九验算法”，简称 “弃九法”。 用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。把一个数各位数字相加，如果和 大于 9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是 9 的要减去 9 得 0），这个数我们便称它为原数的 “去九数”。例如 +9+3=26-→2+6=8（去九数是 8）； 721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是 1）。 去九数也可以这样得到：把一个数中的数字 9，或者相加得 9 的几个数字都划去，将剩下来的数字相加，得 到一个小于 9 的数，这个数就是原数的去九数。 例如：“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。例如，验算下面的加减法， 可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减，若去九数的和（或差），与等号右边和（或 差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错误的。例如39（如果两个加数的去九数之和大于 9，则应减去 9） 所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是 70168。 假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况下，可以认为原来 的计算大致没有错误。例如所以，可以认为原来的计算大致没有错误。 减法的验算如所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是 146410。 用弃九法验算乘法如下面的两个例子： （1）可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是 716478。 （2）可以认为，这道题大致没有错误。 用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行：40除数×商=被除数； 除数×商+余数=被除数。 例如： （1）可以认为，这道题的计算大致没有错误。 （2）可以认为，这道题的计算，大致没有错误。 不难发现，弃九验算法是既方便，又有趣的。但当弃九数的等式相等时，为什么要说“在一般情况下”， “可 以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数：这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是 0 的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小数点的位置不同时， 它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数虽相同，而数的实际大小却并不相同的情 况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别注意。 尽管有以上这种情况，但一般说来，弃九验算法还是一个有特色、有趣味的和比较好的验算方法。 【速算方法】（见第一部分“（五）数学公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。） 【名数化、聚方法】 （1）名数的化法。把高级单位的单名数或复名数，化成低级单位的单名数的方法，叫做“名数的化法”。计 算时，用进率乘以高级单位的数，再加上低级单位的数。 例如，把 6 米 32 厘米化成以厘米为单位的数： 因为厘米和米之间的进率是 100，所以，解法是 100×6+32=632（厘米），41即 6 米 32 厘米=632 厘米。 （2）名数的聚法。把低级单位的单名数聚成高级单位的单名数或复名数的方法，叫做“名数的聚法”。计算 时，用低级单位的数除以进率，所得的商就是高级单位的数，余数就是低级单位的数。 例如，把 5700 千克聚成以吨和千克为单位的复名数。 因为吨和千克之间的进率是 1000，所以解法是 =5??700 ∴5700 千克=5 吨 700 千克。9、约数与倍数 【约数问题】 例 1 用 1155 个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛 试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是 1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将 1155 分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数 都是成对地出现。 1155 的约数共有 16 个。 16÷2=8（对）。 所以，有 8 种不同的拼法。42例 2 说明：360 这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将 360 分解质因数，得 360=2×2×2×3×3×5=2 ×3 ×5。 所以，360 的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这 24 个约数的和是：3 2例 3 一个数是 5 个 2，3 个 3，2 个 5，1 个 7 的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数 中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是 2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从 99、98、??开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7； 97 是质数； 96=2×2×2×2×2×3。 发现，96 是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是 96。 例 4 有 8 个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数 N，当分解质因数为：因为 8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或 2 ×3，或 2×3×5，?? 不难得出，最小的一个是 24。 【倍数问题】 例 1 6 枚 1 分硬币叠在一起与 5 枚 2 分硬币一样高，6 枚 2 分硬币叠在一起与 5 枚 5 分硬币一样高，如果分 别用 1 分、 2 分、 5 分硬币叠成的三个圆柱体一样高， 这些硬币的币值为 4 元 4 角 2 分， 那么这三种硬币总共有______ 枚。433（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6 枚 1 分的硬币与 5 枚 2 分的一样高，所以 36 枚 1 分的硬币与 30 枚 2 分的一样高。 6 枚 2 分的硬币与 5 枚 5 分的一样高，所以 30 枚 2 分的硬币与 25 枚 5 分的一样高。 因此，36 枚 1 分的硬币高度等于 30 枚 2 分的高度，也等于 25 枚 5 分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4 元 4 角 2 分=442（分），442÷221=2。 所以，1 分的硬币共 36×2=72（枚），2 分的硬币共 30×2=60（枚），5 分的硬币共 25×2=50（枚），即总 共有 182 枚。 例 2 从 1、2、??、11、12 中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的 2 倍。 （1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：1、3、5、7、9、11 是奇数，不可能是任何整数的 2 倍。剩下的数有 2、4、6、8、10、12 六个数，且 6 是 3 的 2 倍，10 是 5 的 2 倍。如取 2，则 4、8、12 就都不能取；如取 4，则 2、8 不能取，故只可取 12；如取 8， 则 2、4 不能取，故只可取 8。所以至多能选取 8 个数。 例 3 小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1、2、3、??13。如果从这两个口袋中各 拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积， 可以得到许多不相等的乘积， 那么， 其中能被 6 整除的乘积共有______ 个。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 6=2×3，所以能被 6 整除的因数中，至少含有一个 2 和一个 3。 当一边取 6，另一边取 1、2、??、13 时均成立，有 13 个积； 当一边取 7、8、9、10、11、12、13，另一边取 12 时，有 7 个积； 当一边取 10，另一边取 9 时，有 1 个积。 所以，不相等的乘积中，被 6 整除的共有： 13+7+1=21（个）。 例 4 设 a 与 b 是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是 72，那么 a 与 b 之和可以有______种不同的 值。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为 72=2 ×3 ，它共有约数 （3+1）×（2+1）=12（个） 这 12 个约数，每个约数与 72 的最小公倍数都是 72，a、b 之和有 12 种不同的值； 当 a=2 ×3 =36 时，b 可取 2 =8 或 2 ×3=24，a、b 之和有 2 种不同的值；442 2 3 3 3 2当 a=2 ×3=24 时，b 可取 3 =9 或 2×3 =18，a、b 之和有 2 种不同的值。 当 a=2×3 =18 时；b 可取 2 =8，a、b 之和有 1 种不同的值。 所以，满足条件的 a 与 b 之和共有 17 种不同的值。2 332210、余数问题 【求余数】（1990 年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）一组，就可得到 331 组，尚余 4 个 6。 而 ??2。所以，原式的余数是 2。 例 2 9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被 9 除的余数是一样的。 9437569 各位数字之和除以 9 余 7；8057127 各位数字之和除以 9 余 3。 7×3=21，21÷9=2??3。 所以，9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是 3。 例 3 在 1、2、3、4、??、 这 1994 个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被 26 整除，那么这样的数最多能选出_______个。 （1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将 1、2、3、??、1994 这 1994 个数，分别除以 26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是 26 的倍数，则必须使这两个数分别除以 26 以后，所得的余数之和等于 26。 但本题要求的是任意两个数的和都是 26 的倍数，故 26 的倍数符合要求。这样的数有 （个）?? 余 18（个）。但被 26 除余 13 的数，每两个数的和也能被 26 整除，而余数为 13 的数共有 77 个。 所以，最多能选出 77 个。45【同余问题】 例 1 一个整数，除 300、262、205，得到相同的余数（余数不为 0）。这个整数是_____。 （全国第一届“华杯赛”初赛试题） 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此， 问题可转化为求（300―262）和（262―205）的最大公约数。 不难求出它们的最大公约数为 19，即这个整数是 19。 例 2 小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数恰巧相同。那么该 题的余数是多少？（1989 年上海市小学数学竞赛试题） 讲析：被除数增加了 131-113=18，余数相同，但结果的商是 3，所以，除数应该是 18÷3=6。又因为 113÷6 的余数是 5，所以该题的余数也是 5。 例 3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来， 吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃 子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问： 最初至少有______个桃子。 （哈尔滨市小学数学竞赛试题） 讲析：因为第一只猴子把桃 5 等分后，还余 1 个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的 4 等份再 分成 5 等份，且每次余 1 个桃子。于是，我们可设想，如果另加进 4 个桃子，则连续五次可以分成 5 等份了。 加进 4 个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需 5 等份后，拿走一份。 因为 4 与 5 互质，每次的 4 份能分成 5 等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成 5 等份。这样， 这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以，这堆桃子至少有 5×5×5×5×5-4=3121（个）。 例 4 在 1、2、3、??、30 这 30 个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同 的数的和都不是 7 的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以 7，然后按余数分类。 余数是 0：7、14、21、28 余数是 1：1、8、15、22、29 余数是 2：2、9、16、23、30 余数是 3：3、10、17、24 余数是 4：4、11、18、25 余数是 5：5、12、19、26 余数是 6：6、13、20、2746要使两数之和不是 7 的倍数，必须使这两个数分别除以 7 所得的余数之和不等于 7。 所以，可以取余数是 1、2、3 的数，不取余数是 4、5、6 的数。而余数为 0 的数只取一个。 故最多可以取 15 个数。11、有关数的法则或方法 【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本， 此处略。） “成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折” 等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方 法去读。47“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“?”来写千分数，如某地人 口出生率为千分之七，写作“7?”，读作“千分之七”。 【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以 10 的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。 利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10 （1≤a≤10，n 是整数）”的形式。 例如： 25700，把小数点向左移动四位，得 1＜2.57＜10，但 2.57 比 25700 小了 10000 倍，所以 ×10 。 0.00867，把小数点向右移动三位，得 1＜8.67＜10，但 8.67 比 0.00867 大了 1000 倍，所以4 n【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。 四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是 4， 或者是比 4 小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是 5，或者是比 5 大的数，把尾数舍去以 后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。 例如，把 8，654，000 四舍五入到万位，约等于 865 万；把 7.6239 四舍五入保留两位小数约等于 7.62；把 2， 873，000，000 四舍五入到亿位，约等于 29 亿；把 32.99506 四舍五入精确到百分位约等于 33.00。 去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数 的方法，叫做“进一法”。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法 截取的近似值，叫做“不足近似值”。 值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把 1.5972 四舍五入，保 留两位小数得 1.60，即 1.，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。 【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。48（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的 质数表上没有这个数，那它便是个合数。 （2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。 例如，要判定 161 和 197 是不是质数，可以把这两个数依次用 2、3、5、7、11、13、17、19??等质数去试 除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若 161 或 197 不能被这个合数的质因数整除，那么也一定 不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。 由 161÷7=23，可知 161 的约数除了 1 和它本身外，至少还有 7 和 23。所以，161 是合数，而不是质数。 由 197 依次不能被 2、3、5、7、11、13 整除，而 197÷17=11??10，这时的除数 17 已大于不完全商 11，于 是可以肯定：197 是质数，而不是合数。因为 197 除了它本身以外，不可能有比 17 大的约数。假定有，商也一定 比 11 小。这就是说，197 同时还要有比 11 小的约数。但经过试除，比 11 小的质数都不能整除 197，这说明比 11 小的约数是不存在的，所以 197 是质数，不是合数。 【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。 例如，求
和 168 的最大公约数： ∵ 2940=2 ×3×5×7 ， 756=2 ×3 ×7， 168=2 ×3×7； ∴（，168）=2 ×3×7=84。 注：“（，168）=84”的意思，就是“ 和 168 的最大公约数是 84”。 （2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。 （3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较 小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。 例如，求 792 和 594 的最大公约数。 ∵（792，594）=（792-594，594） =（198，594）=（594-198，198） =（198，396）=（198，396-198） =（198，198）=198， ∴（792，594）=198。 用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求 n 个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑 选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是 这些数的最大公约数。492 3 2 3 2 2例如，求 、882 和 1008 的最大公约数。 ∵（，882，1008） =（，882，34-882） =（126，126，882，252） =（126，126，882-126×6，252-126） =（126，126，126，126）=126， ∴（，882，1008）=126。 （4）辗转相除法（欧几里得算法）。 用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下： 光用较小数去除较大的数，得到第一个余数； 再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数； 又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数； 这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个 数的最大公约数。 求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求， 就简便、快速得多了。 例如，求 437 和 551 的最大公约数。具体做法是：先将 437 和 551 并排写好，再用三条竖线把它们分开。然 后依下述步骤去做： （1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为 114。（2）用余数 114 去除 437，把商数“3”写在比 114 大的数（437）的线外，并求得余数为 95。（3）用余数 95 去除 114，把商数“1”写在 114 右边的直线外，并求得余数为 19。（4）用余数 19 去除 95，把商数“5”写在 95 左边的直线外面，并求得余数为 0。50（5）当余数为 0 时，就可断定余数 0 前面的那一个余数 19，就是 437 和 551 的最大公约数。 又如，求 67 和 54 的最大公约数，求法可以是由余数可知，67 和 54 的最大公约数是 1。也就是说，67 和 54 是互质数。 辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的《九章算术》 上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方 人欧几里得等人的发现要早 600 年以上。 辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其 中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。 最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。 【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数， 而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。 求一组分数的最大公约数的方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分母的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分子的最大公约数 b；再求出三个分母的最小公倍数，得 72； 然后求出三个分子 35、21 和 56 的最大公约数，得 7；51【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的 质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。 例如，求 120、330 和 525 的最小公倍数。 ∵120=2 ×3×5， 330=2×3×5×11， 525=3×5 ×7； ∴[120，330，525]=2 ×3×5 ×7×11=46200 注：“[120，330，525]=46200”表示“120、330 和 525 三个数的最小公倍数是 46200”。 （2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的 一般方法，此处略。 （3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即 a?b=（a，b）?[a，b] 所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即3 2 2 3例如，求[42，105]。若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三 个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，??，如此依次做下去，直到最后一个数为 止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。 例如，求[300，540，160，720]52∴[300，540，160，720]=21600 【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分 数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。 求一组分数的最小公倍数，方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分子的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分母的最大公约数 b；再求各分数分子的最小公倍数，得 [35，21，56]=840； 然后求各分数分母的最大公约数，得 （6，8，9）=1【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、 分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。 化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如53由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下： （1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的 各位数字都是 9，“9”的个数同循环节的位数相同。 （2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节 的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是 9，末几位数字是 0，“9” 字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。 【分数化有限小数判断法】若进一步研究，它又有以下的三种情况：545（即与 10 互质），或者除 2 和 5 以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能 化成无限循环小数。 这里，又有以下的两种情况：和 5 时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，?? 各项中，能被分母 b 整除的最小的数所含“9”字的个数相同。分母 37 去除 9，99，999，9999，??，能整除的 最小的数是 999，即 99937（即“999 能被 37 整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37 能整除 999”） 也可以表示为 37｜999（即“37 能整除 999”，“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999 能被 37 整除”。） 这里“999”，含有 3 个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是 3 个：=0.513以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟 2 和 5 在分母内最高乘 方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，?? 各项中，能被分母内 2 和 5 以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。55质因数 11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是 3 个（最高乘方 2 的指数为 3），循环部 分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为 2 个）：3概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种： （1）若分母只含质因数 2，5，则化得的小数是有限小数； （2）若分母不含质因数 2，5，则化得的小数是纯循环小数； （3）若分母既含质因数 2，5，又含 2 和 5 以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。 注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。 【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是例如，用白糖（溶质）1 千克，开水（溶剂）4 千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是用对称关系找约数 【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决 这一问题。方法是： （1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数” 小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出 36 的全部约数： 因为 36=6 ，6 是所有约数的“中心数”。比中心数 6 小的约数很容易找到，它们是 1、2、3、4 四个，于是 比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是 36（与 1 对应）、18（与 2 对应）、12（与 3 对应）和 9（与 4 对应）。如下图（图 4.7）：2（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出 102 的全部约数： 因为 10 ＜102＜11 ，所以可选 10 或 11 为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数――1、 2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数――102、51、34、17。如下图（图 4.8）：2 256（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。） 【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如 求 24 和 36 的最小公倍数。如图 4.9：24 和 36 的最小公倍数是 24×3=72，或 36×2=72。 这样做的道理很简单。因为所以，用 24 乘以 36 独有的质因数 3，或者用 36 乘以 24 独有的质因数 2，都能得到 24 与 36 的最小公倍数 72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”，把它们分别与原来的两个数相乘，就 都会得到它们的最小公倍数。 又如，求 20、12 和 18 三个数的最小公倍数。如图 4.10：∵20 和 12 的最小公倍数是 20×3=60， 60 和 18 的最小公倍数是 60×3=180， ∴20、12 和 18 三个数的最小公倍数便是 180。 如果先求 20 和 18 的最小公倍数，再用这个最小公倍数与 12 去求三个数的最小公倍数；或者先求 12 和 18 的 最小公倍数，再用这个最小公倍数与 20 去求三个数的最小公倍数，也是可以的。12、用补充数速算 末尾是一个或几个 0 的数，运算起来比较简便。若数末尾不是 0，而是 98、51 等，我们可以用（100―2）、 （50＋1） 等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。 一般地我们把 100 叫做 98 的 “大约强数” ， 2 叫做 98 的“补充数”；50 叫做 51 的“大约弱数”，1 叫做 51 的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补 充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如57（1）