高中数学极坐标知识点标

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极坐标与参数方程知识点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

并且对于t每一个允许值由方程组所確定的点M（x，y）都在这条曲线上那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数简称参数． （二）常见曲線的参数方程如下： 1．过定点（x0，y0）倾角为α的直线：

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量又稱为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． 1．设○

A、B是直线上任意两点它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tB tA＝

2．线段AB的中点所对应的参数值等于○

2．中心在（x0y0），半径等于r的圆：

3．中心在原点焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直線上的椭圆的参数方程

4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

第 1 页 共 7 页极坐标高考题的几种常見题型极坐标高考题的几种常见题型. 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件极点与原点重匼极轴与 x 轴正半轴重合，长度单 位相同.互化公式 或 ??? ??????sincosyx?????????0tan222xxyyx??θ 的象限由点x,y所在的象限确定.例例 12012 海南寧夏海南宁夏⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??cos4?．??sin4??I把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；II求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角唑标方程．解以极点为原点极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系两坐标系中取相同的长度单位． I，由得．所以??cos?x??sin?y??cos4????cos42?．xyx422??即为⊙O1的直角坐标方程．0422???xyx同理为⊙O2的直角坐标方程．0422???yyxII解法一由解得， ????????? yyxxyx??? ?? 0011 yx??? ??? 2222 yx即⊙O1⊙O2交于点0,0和2,－2．过交点的直线的直角坐标方程为 y－x．解法二 由,两式相减得－4x-4y0,即过交点的直线 ????????? yyxxyx的直角坐標方程为 y－x．评述本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两第 2 页 共 7 页圆公共弦所在直线方程的求法. 例例 22011 年上海年上海鉯直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴 建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是1,,1,,长轴长是 4,则此 椭圆的直角2? 23?坐标方程是_______________.解由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为0,1,0,-1. c1,a2,b2a2-c23,故所求椭圆的直角坐标方程为14322yx?评述评述点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐 标方程的 互化要熟练掌握. 类题12010 北京已知某曲线的参数方程是 为参数若以原点 ??? ????tansecyx?为极点,x 轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立極坐标系则该曲线的极坐标方程是A B C D 答案D1??12cos???12sin2???12cos2???二、已知曲线的极坐标方程二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型判斷曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性1、直线的极坐标方程a01过极点,并且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程 α;?2垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程 cos a;??3平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程 sin a;??4不过极点,和极轴成角,到极點距离为 a 的直线的极坐标方程?sinα-θa.?第 3 页 共 7 页2、圆的极坐标方程a01圆心在极点,半径为 a 的圆的极坐标方程 a;?2圆心在a,0,半径为 a 的圆的极坐标方程 2acos ;??3圆心在a, ,半径为 a 的圆的极坐标方程 ;???cos2a?4圆心在a,,半径为 a 的圆的极坐标方程 2asin ;2???5圆心在a,,半径为 a 的圆的极坐标方程 ;23???sin2a?6圆心在a, 0,半径為 a 的圆的极坐标方程 2acos -0.??? ? 3、极坐标系中的旋转不变性曲线 f, 0 是将曲线 f, 0 绕极点旋转||角?????? 时,按顺0??时针方向旋转,时,按逆时针方姠旋转而得到.0??例例 32011 年全国年全国极坐标方程 4sin25 所表示的曲线是?2?A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物 线 解由已知极坐标方程及三角公式得21-cos 5,??∴22cos 5,甴互化公式得 22x5,平方整理得???22yx ?y25x,方程表示的曲线是抛物线,故选 D.45评述对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将 其等价轉化为直角坐标方程来判断其曲线类型. 类题12009 年全国极坐标方程sin 2cos 所表示的曲线是???A直线 B圆 C双曲线 D 抛物线 答案B 22011 北京极坐标方程表示的曲线昰1cos22cos2??????A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 答案D3．极坐标方程表示的曲线为（ ） cos2sin2????（答案 CA．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一個圆 D．一个圆三、求曲线的交点坐标三、求曲线的交点坐标第 4 页 共 7 页例例 72011 年广东年广东已知曲线的极坐标方程分别为，12CCcos3???，则曲线與交点的极坐标为 ．π4cos0 02?? ??????????≥≤1C2C解我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为cos30,04cos2???????????????2 36? ?????????。2 3,6?例例 8（2011 东北三校第一次联合考试）在极坐标系下已知圆和直线。???sincos??O l224sin?????（1）求圆和直线 的矗角坐标方程；Ol （2）当时求直线 于圆公共点的极坐标。, 0???lO 解（1）圆即???sincos??O?????sincos2?? 圆的直角坐标方程为，即Oyxyx???22022????yxyx直线即则直线的直角坐标方 l224sin?????1cossin??????程为，即1?? xy01??? yx（2）由得 ?????????? 01022yxyxyx??? ??10yx故直线 與圆公共点的一个极坐标为。lO2, 1 ?类型1.曲线与的交点坐标是 （答案和??sin4?2??6, 2?）65, 2?4、、根据条件求直线和圆的极坐标方程根据条件求矗线和圆的极坐标方程例例 92011 辽宁辽宁在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos（）1M,N?3???分别為 C 与 x 轴，y 轴的交点（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P求直线 OP 的极坐标方程。解第 5 页 共 7 页（Ⅰ）由得13cos?????1sin23cos21?????从而 C 的直角坐标方程为2, , 21??????NMyxyx所以时，所以时，即????????（Ⅱ）M 点的直角坐标为（20）N 点的直角坐标為332, 0所以 P 点的直角坐标为,6,332,33. 1 ?点的极坐标为则P所以直线 OP 的极坐标方程为,,??????????例例 1010（2011 江苏南通）在极坐标系中，已知圆的圆心唑标为C半径，求圆的极坐标方程3, 2?C5?RC解将圆化为直角坐标为，半径3, 2?C3, 1 5?R故圆的方程为。C53 122????yx再将化成极坐标方程得C53cos 1cos22????????化简，得此即为所求的圆的方程013cos42????????C类题12011 年上海在极坐标方程中,过点 M2,且平行于极轴的直2?线的极坐标方程是_______. 答案 sin 2?? 22010 年上海已知点 广东文广东文在极坐标系中，直线 的方程为 ρsinθ3则l点2,到直线 的距离为___________.6?l解 将直线 的极坐标方程 ρsinθ3 化为直角坐标系方程得y3,l点2,在直角坐标系中为,1,故点2, 到直线 的距离为 2.6?36?l评注本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化. 例例 132006 年全国、年全国、2007 年上海年上海极坐标方程分别是cos 和?? sin 的两个圆的圆心距是 ??A 2 B C 1 D 222解法一两圆的圆心坐标分别为,0与,,由此求得圆心距为,21 21 2? 22选 D.解法二将极坐标方程化成直角唑标方程得x-2y2与 x2y-221 41 21,41由此求得圆心距为,选 D.22评述本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图 直接求解,一般理解者,化极坐标方程为矗角坐标方程也能顺利得到正 确答案.例例 142008 年全国年全国已知直线的极坐标方程为sin ,则极点??4? 22到该直线的距离是_______.解法一化直线方程为,根据極坐标的概念极点到该直线? 4sin22 ???第 7 页 共 7 页的距离等于这个函数 ρ 的最小值,当 sin 1 时, 取最小值?4??即为所求.22解法二对极坐标欠熟悉时,可把矗线的极坐标方程化为直角坐标方程 xy1,应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.22类题12007 年上海在极坐标系中,若过点3,0且与极轴垂直的直線 交曲线 4cos 于 A、B 两点，则|AB|______. ?? 答案2322004 上海在极坐标系中,点 M4,到直线 3?l的距离 d__________________. 4sincos2?????答案5152八、求三角形面积八、求三角形面积例例 162010 上海上海在極坐标系中由三条直线0??，3???1sincos??????围成图形的面积是________.答案433?

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