怎样在球坐标系下解拉普拉斯方程求解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-06-28 10:32 标签： 拉普拉斯方程求解
球坐标下拉普拉斯方程对应哪些地球物理问题_百度作业帮
球坐标下拉普拉斯方程对应哪些地球物理问题
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【精品】亥姆霍兹与拉普拉斯方程在柱球坐标系中的解法
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伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是上对如下形式解序列的称呼：
该方程是在下求解时得到的，在数学和中有重要的意义。
l=5时连带勒让德多项式的图像
因上述方程仅当
均为且满足
时，才在区间 [-1, 1] 上有非奇异解，所以通常把
均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把
为一般或时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。
当 、为整数时，方程的解即为一般的。
注意当 m 为时，连带勒让德多项式并不是。
与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是的：
正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。
连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到：
等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。
连带勒让德函数（即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯表达为：
注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。
显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：
容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。
注意在个别文献（如上面的图，以及一文）中会直接取
本文不采用这种定义。
球谐函数是下三维空间的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。
采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：
由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：
式中 dΩ 是元。
吴崇试. 16//数学物理方法（第二版）. . [2003].  .
Dunster, T. M., , (编) ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., , Cambridge University Press, 2010,  , 下载
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拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用
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