高中解析几何 双曲线的几何意义

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-03 13:45 标签： 双曲线的几何意义
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（文数一轮复习）立体几何、解析几何 7-1解析几何--双曲线
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朴实中孕育基础常规中彰显能力--2014年高考解析几何试题分析
中学数学杂志　２０１４年第１１期　　　　　　　　　　　
　　　　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　
朴实中孕育基础　常规中彰显能力
―――２０１４年高考解析几何试题分析
湖北省武穴市实验高中　　４３５４００　　刘胜林
　　２０１４年高考虽已悄然离去，但留给我们无尽的思索．相比前几届的高考试题，２０１４年高考数学试题双曲线如下一个重要几何性质下孕育而生的．性质：ｘ２ｙ２
－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上任意一点作其
整体难度略有所降低．笔者特别关注了一下今年的高考解析几何试题，其试题设计的问题情境熟悉，问题设置常规，给人一种“似曾相识燕归来”的感觉，但若真正动笔具体操作起来时不时有些“咔”，一不留神，还会陷入泥潭，不能自拔．下面邀大家一起从试题设计的背景、试题考查的基本数学思想、基本技能等角度来对２０１４年高考解析几何试题进行剖析，期望对２０１５年高考解析几何的备考复习工作带来些启发与帮助．
１　试题设计的背景深刻、内涵丰富
高考试题是高考命题专家、一线优秀教师团队经过几个月的精心准备、苦心钻研命制而成，其试题设计的背景常通过不同的载体来实现和依托不同的方式来呈现，常见的有：以课标为背景，以往年高考试题为背景，以国外高考试题为背景，以经典的数学名题为背景，以重要的数学结论为背景等．许多试题是可进行横、纵向的拓展与延伸，其内涵颇为丰富
如（２０１４年福建高考数学理科卷第１９题）已知双曲线Ｅ：
０）ａ２－ｙ２ｂ２
＝１（ａ＞０，ｂ＞
＝２的两条渐近线分别为ｘ，ｌ线Ｅ的离心率２：ｙ＝－２；ｘ．（２）（１）求双曲
ｌ１：ｙ图１
示，Ｏ为坐标原点，动直线ｌ分别交直线ｌＯＡＢ１，ｌ２于Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ分别在第一、四象限），且△的面积恒为８．试探究：是否存在总与直线ｌ有且只有一个公共点的双曲线Ｅ？如存在，求出双曲线Ｅ的方程；如不存在，说明理由．
本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线位置关系，其第二问是一道开放型试题，自主探究是否存在双曲线Ｅ，使得总有动直线ｌ与Ｅ有且只有一个交点，且ＳＥ：ｘ４２－
△ＯＡＢ恒为８．通过探究最终求得双曲线＝１，深入挖掘可以发现，该问的设置是在过双曲线ａ２ｂ２切线，则切线与双曲线两渐近线所围成的三角形的面积恒为ａｂ．利用上述性质易知ａｂ＝８，又
＝２，从而得ａ２
＝４，ｂ２
＝１６，即得双曲线Ｅ的方程为ｘ２ｙ２
＝１．至此可以发现，在该问题的求解过程中，若能理４－
解并掌握双曲线的这一重要结论，进而就可洞察出试题的设计背景，站在一个高观点下审视此题，继而问题求解起来就会游刃有余．２　
试题考查的数学思想鲜明
所谓解析几何即是通过将平面中的点坐标化，继而利用数量关系来刻画平面中的直线、曲线及其几何关系，进而将几何问题转化为相应的代数问题，并最终通过纯粹的代数运算来解决平面几何问题．因此解析几何问题的求解常常会渗透函数与方程、不等式等重要的数学思想．如（２０１４年辽宁高考数学理科卷第２０题）：圆ｘ２＋ｙ２＝４的切线与ｘ轴正半轴，ｙ轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小
时，切点为Ｐ（如图２）．双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２
２＝１过点Ｐ且
离心率为（Ⅰ）求Ｃ且与Ｃ，１的方程；（Ⅱ）椭圆Ｃ直线ｌ过Ｃ２过点Ｐ交于Ａ１有相同的焦点，Ｂ两点．若以线段ＡＢ为直径的圆过点２的右焦点且与ＣＰ，求２ｌ的方程．
本题第一问要求双曲线ＣＰ的坐标．利用圆的切线及直角三角形的性质１的方程，需先求出切点，借助重要均值不等式ＯＰ２＝ＰＤ·ＰＥæçＰＤ＋ＰＥö２
è２÷ø
（当且仅当ＰＤ＝ＰＥ时取“＝”
号），可得当点Ｐ为ＤＥ中点，即Ｒｔ△ＤＯＥ为等腰
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中学数学杂志 2014 年第 11期 ZHONGXUESHUXUEZAZHI 朴实中孕育基础 常规中彰显能力― ――2014 年高考解析几何试题分析湖北省武穴市实验高中 435400 刘胜林 2014 年... 常规中重基础朴实间见真功――2014年高考数学广东卷...立体几何、数列、不等式、函数与方程、解析几何等高 ...常规中彰显能力.平实间甄别素养 今年高考试题进一步... 2014年高考文综(天津卷)政治主观试题及答案解析_...(1)根据材料一,运用《经济生活》知识分析我国发展...唐宋的文人荟萃,悠久的历史孕育出一个“文化湖州” ... 2014年高考浙江卷文数试题解析与点评_高考_高中...题先分析后估 算手段新颖,理科第15题可几何可代数...试卷贴近高中数学教学的实际,试题突出表现为,常规而 ... 2014年山东高考数学解析几何研讨---解析几何_高考_高中教育_教育专区。2014年...在每年的高考试题中 , 必有一道解答题,综合考查学生分析问 题解决问题的能力,... 2014年高考文综(天津卷)政治试题及答案_高考_高中...(1)根据材料一,运用《经济生活》知识分析我国发展...文化到唐宋的文人荟萃, 悠久的历史孕育出一个“文化...2014 年三校生高考数学试题出题方向解析一、2014 年...(12.2) 平面解析几何双曲线(7.8) 平面向量及...基础知识 思维能力 分析决策 分析决策 7 简单题 7... 2014年高考文综(天津卷)政治试题及答案_高考_高中...(1)根据材料一,运用《经济生活》知识分析我国发展...唐宋的文人荟萃,悠久的历史孕育出一个“文化湖州” ... 2013年新课标高考文科数学试题分析及2014年复习策略...“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数...真正体现了“以学生为本”“在基础中 考察能力”的... 2014年高考文数试题解析与点评【浙江武义一中】 龚...题先分析后估 算手段新颖,理科第15题可几何可代数...试卷贴近高中数学教学的实际,试题突出表现为,常规而 ...高考数学解析几何 第6讲 双曲线教案 理 新人教版_百度文库
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