高中数学概率问题问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-03 15:18 标签：
高中数学问题_百度知道
高中数学问题
已知函数f（x）＝lnx+a/(x+1),a属于R1当a＝4.5时，如果函数g（x）＝f（x）－k仅有一个零点，求实数k的取值范围2当a＝2时，试比较函数f（x）与1的大小3求证：ln（n+1）大于1/3+1/5+1/7+……1/(2n+1)，（n属于正整数）前两问没什么问题，求解第三问
提问者采纳
g(x)=lnx+a/(x+1)-k=0
x&0g(x)=lnx+4.5/(x+1)-k=0g(x)'=1/x-4.5/(x+1)^2=04.5x=x^2+2x+12x^2-5x+2=0x=1/2
x=2 两个极值点。g(x)'&0时，x&2或0&x&1/2为增。g(x)'&0时，1/2&x&2为减。x=1/2时取极大值,x=2时取极小值。请画图，要使g(x)=0只有一个解（x&0),必须，两个极值同号：g(1/2)g(2)&0(ln1/2+4.5/(1/2+1)-k)(ln2+4.5(2+1)-k)&0(3-ln2-k)(27/2+ln2-k)&0K&27/2+ln2
k&3-ln2n=1时，ln2&1/3n=k时成立ln（k+1）&1/3+1/5+1/7+……1/(2k+1)，n=k+1时，需要证明：ln（k+1+1）&1/3+1/5+1/7+……1/(2k+1)+1/（2K+3)，即ln(K+1+1)-1/(2K+3)&1/3+1/5+1/7+……1/(2k+1)只要证明：ln(K+1+1)-ln(K+1)-1/(2K+3)&0即可。k&=1设t(x)=ln(x+1)-lnx-1/(2x+1)
x&=1t'=1/(x+1)-1/x+2/(2x+1)^2=[-(2x+1)^2+2x(x+1)]/K
其中K=(x+1)x(2x+1)^2&0-(2x+1)^2+2x(x+1)=-4x^2-4x-1+2x^2+2x=-2x^2-2x-1&0
)所以t'&0
为减。x趋于无穷大时，t(x)取最大值：limln(x+1)-lnx-1/(2x+1)
(x趋于无穷大）=limln(x+1)/x
-lim1/(2x+1)=0-0=0所以t(x)&0t(k+1)&0ln(K+1+1)-ln(K+1)-1/(2K+3)&0所以n=k+1时成立。原式成立。
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ln(n+1)=ln(2/1*3/2*4/3*……*(n+1)/n)=ln(2/1)+ln(3/2)+……+ln((n+1)/n)只需要证明ln((n+1)/n)&1/(2n+1)即 ln(n+1)-ln(n)-1/(2n+1)&0构造函数 f(x)=ln(x+1)-ln(x)-1/(2x+1) (其中x&=1)f'(x)=1/(x+1)-1/x+2/(2x+1)^2&0恒成立。当x趋向于去穷大是，f(x)取最小值。f(x)=ln(1+1/x)-1/(2x+1) 当x趋向于无穷大时，f(x)趋向于零。所以f(x)&0即ln(n+1)-ln(n)-1/(2n+1)&0用累加法即可得到答案。
证明：记f(x)=ln(1+x)-x/(2+x),x&0f'(x)=[(x+1)²+1]/[(x+1)(2+x)²]&0,f(x)↑又f(x)可在x=0处连续则f(x)&f(0)=0即 ln(1+x)&x/(2+x)取1/n(&0)替换x有ln[(n+1)/n]&1/(2n+1)将此不等式中的n依次从1取到n累加有ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln[(n+1)/n]&1/3+1/5+...+1/(2n+1)即 ln(n+1)&1/3+1/5+...+1/(2n+1)
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