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在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2．又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式bn=qn-1，∵bn=an+1-an，∴an-an-1=qn-2，…a2-a1=1，把上述各式相加，得到an-a1=qn-2+qn-3+…+q∴an=1+1-qn-11-q，q≠1n，q=1
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质数列的概念及简单表示法
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
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与“在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）..”考查相似的试题有：
293009819332330942821735481446746064当前位置：
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在数列{an}中，a1=2，当n为奇数时，an+1=an+2；当n为偶数时，an+1=2an-1，则a12等于（　　）A．32B．34C．66D．64
题型：单选题难度：偏易来源：不详
依题意，a1=2，当n为偶数时，an+1=2an-1；从而a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11=a1×25=64，当n为奇数时，an+1=an+2，令n=11，得a12=a11+2=66．故选C．
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=2，当n为奇数时，an+1=an+2；当n为偶数时，an+..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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与“在数列{an}中，a1=2，当n为奇数时，an+1=an+2；当n为偶数时，an+..”考查相似的试题有：
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已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为常数列；（3）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．若数列{ann}中必有某数重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当n≥2时，有an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+…+bn-1=2×1+2×2+…+2×（n-1）=2×(n-1)n2=n2-n，又当n=1时此式也成立．∴数列{an}的通项为an=n2-n．（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列又∵b1=1，b2=2，∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），所以数列{cn}为常数列．（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，∴b3=2，b4=1，b5=12，b6=12，且对任意的n∈N*，有bn+6=bn+5bn+4=1bn+3=bn+1bn+2=bn，设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=b1+b2+b3+b4+b5+b6=1+2+2+1+12+12=7（n≥0）．所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．记fn=ann，则fk=a6k+i6k+i=ai+7i+6k=76(i+6k)+ai-7i6i+6k=76+ai-7i6i+6k，（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当ai=7i6时，对任意的n=6k+i有ain=76；当ai≠7i6时，fk+1-fk=ai-7i66(k+1)+i-ai-7i66k+i=(ai-7i6)(16(k+1)+i-16k+i)=(ai-7i6)-6[6(k+1)+i](6k+i)，①若ai＞7i6，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，数列{a6k+i6k+i}为单调减数列；②若ai＜7i6，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，数列{a6k+i6k+i}为单调增数列；综上，当ai=7i6且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{ann}中必有某数重复出现无数次当i=1时，a1=76符合要求；当i=2时，a2=7×26=73符合要求，此时的a1=a2-b1=43；当i=3时，a3=7×36=72符合要求，此时的a2=a3-b2=32，a1=a2-b1=12；当i=4时，a4=7×46=143符合要求，此时的a1=a4-b3-b2-b1=-13；当i=5时，a5=7×56=356符合要求，此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-16；当i=6时，a6=7×66=7符合要求，此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=12；即当a1∈{76，43，12，-13，-16}时，数列{ann}中必有某数重复出现无数次．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
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与“已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0..”考查相似的试题有：
837299842864828790807116254199871880在数列{an}中，a1=2，a2=8，且已知函数f(x)＝13(an+2?an+1)x3?(3an+1?4an)x ，(n∈N*)在x=1时取得极值．_百度知道
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