[理学]矩阵求逆和线性方程组线性方程组有解的判定条件
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[理学]矩阵求逆和线性方程组
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3-3线性方程组的解|
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基于MATLAB求解非齐次线性方程组
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3秒自动关闭窗口关于用“算子法”解非齐次常系数线性方程组的一个问题--《抚州师专学报》1983年01期
关于用“算子法”解非齐次常系数线性方程组的一个问题
【摘要】：正 用“算子法”解非齐次常系数线性方程组,把D看成常数,象解线性代数方程组一样来解,比较通用,且方法好记,(见[Ⅰ]P_(193)例11)。但我们发现象[1]中那样求特解可能会产生解不配对的问题,即求出的x,y、分别是各自的特解,但归在一起可能不是原微方程组的一组特解。下以[1]P_(196)习题3(2)说明之。
【关键词】：
【正文快照】：
用“算子法"解非齐次常系数线性方程组,把D看成常数,象解线性代数方程组一样来解,比较通用,且方法好记,(见[I]P。9。例11)。但我们发现象[I]中那样求特解可能会产生解不配对的问题,即求出的x、y、分别是各自的特解,但归在一起可能不是原微方程组的一组特解。下以[I]P。。s习题
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解非齐次线性方程组的C语言程序设计43
安徽广播电视大学学报$’’&年第!期；!&#$%&’()*!+,-.；智东杰；（焦作工学院计算机系，河南焦作&#&am；要：采用阶梯矩阵找出非齐次线性方程组的增广矩阵的；未知量与非自由未知量，并给出在微机上运行的模拟人；关键词：非齐次线性方程组；通解；程序中图分类号：；文献标识码：-文章编号：（$’’&）!’；众所周
安徽广播电视大学学报$’’&年第!期!&#$%&’()*!+,-./0智东杰（焦作工学院计算机系，河南焦作&#&’’’）摘要：采用阶梯矩阵找出非齐次线性方程组的增广矩阵的秩，用大小为未知量个数的双向栈存栈储自由未知量与非自由未知量，并给出在微机上运行的模拟人工解题的(语言计算程序。关键词：非齐次线性方程组；通解；程序中图分类号：)*+!!,!文献标识码：-文章编号：（$’’&）!’’.%/’$!’!%’!$#%’&众所周知，非齐次线性方程组在线性代数中占有重要地位，现在就来研究非齐次线性方程组0!1的计算机解法。!程。&2!!#!,$!-0$136&%2#,$!-0$$,…，(0#1!#%2&$&&&2!$$2!3$3…3’0!1!,$求解将方程组的自由未知项移到等号右边，得0/1式，此时我们得到了新的方程组，为使用方便写成081式(!!设计方法!,!判断是否有解…，(根据线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等来判断方程组是否有解，若无解程序运行结束，若有解则进行求解。增广矩阵的秩)(方法是将增求系数矩阵的秩(，广矩阵化成阶梯形，观察方程组中的哪些未知量是一般未知量，哪些是自由未知量，并赋一个相应的标记对第$个未知量（此处设想常数项所对应的未知量*+，为第!4!个未知量）来说，标志函数的定义可写成下这样方程组系数的矩阵的秩就可由下面面的0$1式，的0+1式计算，增广矩阵的秩可由下面的0&1计算得到。&2!!#(,$!-0$1*#(%0&1*#(%0&1%2!0%#,$!-0$1*#(%0&1%*#(%0&114#,$!-0$13!4!$2!3$,&2(4!0/1&2!!.%其中$&*#(%0&12!.$&%*#(%0&14.$/!4!$2!3$,…，(&2(4!!081#,$!-0$1*#(%0&1!!&!(3#%%#,$!-0$1*#(%0&1(4!!&!!3$2!3$…3(0$&2$%#,$!-0$19#(%0&1&&2!4!*50$12!&’!由于自由未知量个数有!1(个，故上述方程组等价于下面的!1(4!个方程组成的方程组第$个未知量是一般未知量第$个未知量是自由未知量$2!3$，0$10+10&1…，!4!0!!%2/*#(%0!14…40!(%2/*#(%0(120!3(32’%(2!*+0$1&2!…………………………22!3…3!%(4!,$%0:3!%2/*#(%0!14…30((%2/*#(%0(120(/(42&当22!3…3(时求得的是基础解系，当22!%(4!时求得的是特解。第2个解的分量%239#(%0&12423*#(%0&1;4)(2(4*+0!4!1若系数矩阵的秩(等于增广矩阵的秩)(，则方程组有解，否则无解。当方程组有解时从原方程组（!）中选出(个方程组成新的方程组0#1。这里,$!-0$1$2!3$3…3(，$代表新方程组的第$个方程，,$!-0$1指出新方程组中的第$个方程是原方程组中的第,$!-0$1个方收稿日期：!&&#―$!―$%&2!3$3…3(322!3$3…3!%(4!34是上式的系数行列式3上式中用等号4239&:=0&1右边的常数项代替第6列元素后所得到的行列式。$实现方法作者简介：智东杰（!&#$%），男，河南伊川人，焦作工学院计算机科学与技术系工程师，中国科技研究交流中心理事，研究员，世界华人交流协会国际专家，研究计算机在数学中的应用。!$#安徽广播电视大学学报!&&#年第$期!&%#&的值在将增广矩阵化成阶梯形的过程中实现，其初值!&%#&’&(#’$(!(…($)$。交换两个行的函数-4($5&该函数有四个整型参数。第一个参数%*21#&与第三个参数%*21/&是要交换的两个行的行号。第二个参数给出开始交换的位置，减少交换次数。第四个参数的作用同7829*:;&&的第四个参数。该函数在交换两个行时还给%#$&数组赋相应的新值。计算行列式的函数6&7与6&7&)此二函数联合使用完成行列式的计算。6&7&)函数是中心部分，,;1函数是用户接口。6&7函数有三个整型参数：第一个参数%*21$&是要计算的行列式的阶数，第二个参数%*21(34&是二维数组的地址，第三个参数%*21=./0&2&是第二个参数在主程序中的列数。该函数调用6&7&)函数完成行列式的计算。%#$&%#&的值也在将增广矩阵化成阶梯形的过程中实现，其初值为%#$&%#&’#(*’$(!(…(’。!()*%#&指%+&式中第#个未知量*!()*%#&是%$&式中的第!()*%#&个未知量。!&+%#$&+!()*在程序中为一维数组。系数矩阵与增广矩阵都用数组(表示，在求矩阵的秩时使用数组,%由(拷贝得到&(-为二维数组(./+!()*%0&(0’$(…()(/’$(…($1))$的值存于二维数组,-./01*.2中，获得的解分量*/+!()*%0&的分子，分母分别存与二维数组存储单元*$3/43!()*3044与*!3/43!()*最后根据数组*$与*!的存储情况给出方程组3044中，%$&的通解。5主要函数介绍将增广矩阵化成阶梯形函数2($,#0&3&该函数有四个整型参数。第一个参数%*21#&是增广矩阵的行号，初始值为增广矩阵的首行标%在6语言中为&&。第二个参数%*210&是增广矩阵的列，初始值为增广矩阵第一列元素的列下标%在6语言中为&&。第三个参数%*21’&与第四个参数%*21$&分别为增广矩阵的行数和列数。该函数在完成将增广矩阵化成阶梯形的同时还完成未知量是一般未知量还是自由未知量的确定。该函数的特点是递归调用，适合任意大小的矩阵。6&7&)函数有七个整型参数?第一个是行列式的阶数(第二个指二维数组的行(第三个在函数中做循环变量(第四个是行列式的累加值(第五个是行列式定义3$4中计算一个项的累乘器(第六个与6&7的第二个相同(第七个与,;1的第三个相同。函数6&7与6&7&)共同起作用完成任意阶行列式的计算(是文献3$4中计算部分的推广(从理论上讲(行列式的定义已完全搬上了计算机。#计算非齐次线性方程组的计算程序程序中@是方程的个数(A是方程中未知量的个数(可以任意取值%这里暂定为$&&。B,;C*2;@$&B,;C*2;A$&*2183@43A)$4(/*2;3@4D*21EC3A)$4(E8FG3A)$4DC/.8193@43A)$4D*21H=,%*210(*21E&D*21,;1;F%*212(*21*(*21:34(*21,(*211(*21834(*21=./0&2&D*21,;1%*212(*21834(*21=./0&2&DE.*,7829*:;&&%*21*(*21:(*21&(*212&DE.*,=I82H;%*21*(*21:(*21J(*212&DB*2=/0,;K-1,/*9LIKDE.*,&8*2%&M*21*(:(&(2(F(NF(/0(/C(,(J(H(=3@43A)$4(=I82H;=./3@4(,-./01*.23A43A4(G$3@43A4(G!3@43A4D7F*21C%K&’$(!(LLL(!,O2K(@&D7F*21C%K&’K&D-=82C%K!,K(P&&D7F*21C%K2’$(!(LLL(!,O2K(A&DC.F%*’&D*Q&D*))&7F*21C%K2’K&D-=82C%K!,K(P2&DC.F%:’&D:Q2)$D:))&M7F*21C%K8!,!,’K(*)$(:)$&D-=82C%K!,K(P83*43:4&D93*43:4’83*43:4D*C%:’’2&7F*21C%KO2K&DRC.F%*’&D*Q&D*))&$!S/*2;3*4’*DC.F%:’&D:Q2)$D:))&EC3:4’&D智东杰：解非齐次线性方程组的S语言程序设计!&#$%&’()*)+)+,+#-./0).12/*%0).%3#.%44-/40516%7.8/0/*/38/-’9%:*)-.;&0).;10/.12/*%0).%3#.%44-%1*516%700=-&5&/96;&70%.;&44.?’;@’&5&/96;170%.;144.?12/*%0).%3/.%44-&12/*&0).&3/.&44-A6%76&70&6;%#’6%.12/*&0/.&3#.&44-A6%76&70B&6;%#’6%.A6%76#70&6;%#’6%776#7.?C0C’:*/+A6)7+D4=-.!/%#:1*EC0!CF#E+C-.12/*%0).%30#B/.%44-12/*&0).&3#.&44-C@2;&:%2#6%76&70).12/*&0).&3/.&44-&12/*%0).%3/.%44-AG&#H’A2;6%70A6%76&7.12/*I0/.I30#.I44-&12/*%0).%3/.%44-A6%76&70A6%76I7.C@2;&:%2#6IB/765&/96&770C’:*/+A6)7+D4=-.?12/*%0).%3/.%44-A6%76&70AG&#H’A2;6%7.?12/*%0).%30#B/.%44-12/*&0).&3/.&44-&H0HAC*C@2;&:%2#6%765&/96&77+C-.9=6%765&/96&770C@2;&:%2#6%765&/96&77JH.9K6%765&/96&770CJH.?12/*%0).%30#B/.%44-12/*&0/.&3#.&44-&9K6%765&/96&770=.%1*&00%4/-9=6%765&/96&770=.’;@’9=6%765&/96&770).?!/%#:1*EH’#’/&;@2;&:%2#F#0E-.12/*%0).%30#B/.%44-&%1*%3#B/-!/%#:1*EI!C*E+%4=-.’;@’!/%#:1*E*E-.12/*&0).&3#.&44-%1*9K6%76&700=-!/%#:1*E!CE+9=6%76&7-.’;@’!/%#:1*E!CJ!CE+9=6%76&7+9K6%76&7-.%1*%3#B/-!/%#:1*E-LF#4E-.’;@’!/%#:1*E-LF#E-.?12/*%0).%3#B/.%44-!/%#:1*EI!CE+%4=-.%1*%M)-!/%#:1*E$’;2#H*@-:2NF#E-.?52%C!&#$%&’()*%#:%+%#:&+%#:,+%#:#-&%#:I+@+1%#C.1;2&:A.%1*$6%76&7O0)-&516&70=.JP5&/%&$;’1;&HPJ12/*I0%4=.I3,.I44-%1*$6I76&7O0)-&A0$6I76&7J$6%76&7.$6I76&70).12/*@0&4=.@3#4=.@44-$6I76@7B0$6%76@7PA.?%44.&44.%1*%3,QQ&3#4=-!&#$%&’()*%+&+,+#-.?’;@’&1%#C0).I0%4=.RG%;’**1%#C00)-QQ*I3,--%1*$6I)-1%#C0=.%1*1%#C00=-&AG&#H’*%+&+I+#-.!&#$%&’()*%+&+,+#-.?’;@’&&44.%1*&3#4=-!&#$%&’()*%+&+,+#-.???52%CAG&#H’*%#:%+%#:&+%#:I+%#:#-&%#:@.1;2&:&.@0;%#’6%7.;%#’6%70;%#’6I7.;%#’6I70@.12/*@0&.@3#4=.@44-&&0$6%76@7.$6%76@70$6I76@7.$6I76@70&.??%#:C’:*%#:#+%#:&67+%#:A2;&,#-&%#:C0)+:0=.%#:&6D7.C0C’:’/*#+)+&+C+:+&+A2;&,#-./’:&/#*C-.?%#:C’:’/*%#:#+%#:%+%#:&67+%#:C+%#::+%#:&67+%#:A2;&,#-&%#:I+@%H#+1;&H.=KT安徽广播电视大学学报!&&#年第$期%&’%()*&+,’-.%/0&1-.%/()1-.%/22*3&%4:’’&45600&*;;’7(%**%&’-.%/00-.722/*&4560$1%&’&45600$*&+)=%)&:1%&’5.%?&+4&@)2-.%//00&*&+)=%)&:1A%6)0$1&+,’70&17(%1722*%&’-.%/(-.7/*A%6)0BA%6)1C0C:=:,’)D%2$D-DCD=?A%6)?5.%?&+4&@)2-.%//D5D&+4&@)*1E:4A:C20=1,:=&,)’C*1E%)=6&C’%)=&D%)=F*3%)=,D=0F1%&’&(&*&0B&1%&’F(&*F0BF1,:=&,)’=H&I&JB&*1EK程序运行时的屏幕信息及运行示例在运行中D计算机屏幕上显示L@0$D!DMMMD$&L与L89%4:’FG0&*3,0&!F1&0F1!0$D!DMMMD$&!0N’输入*&0$D!DMMMD$&&0#’输入*$$$0$$!$0$$N$0!5$!0B$5!!0B$$N!0B!$$N0B$$!N0$$NN0B#F0,1E)0$D!DMMMD$&L的信息是告诉用户程序预定义!D&的值为$&D可计算含有$&个方程$&个未知量的线性方程组D若!或&大于$&时只要修改预定义的值即可。L@0L与L)0L的信息是请用户输入具体的方程数与未知量数D这里为$到$&的任何整数M现以下面的方程组为例进行说明。例##$$#0$$!#0BN$$K0&$!K0$$N#0O5NK0B$$&&*P2&!’$&%0!’新方程的系数行列式*6:):,54A+4&=%+)’通解*0&$’$!&$$*P2’$Q!&$Q!&!R:4+)6’A*=+’&*P求解方程组#$B#!B#N2##0&D!#$B#!2#NBN##0$D&!#$B!#!B##N2O##0B$$运行如下参考文献：其中分数写成“分子Q分母”的形式D撇号代替转置D&$D&!是实数。.$/智东杰M用定义计算行列的S语言程序设计.T/M雷式祖D杨绍先D王爱民D薛瑞丰M中国高等教育研究论丛’第四卷*.S/M成都J成都科技大学出版社D$UUNMO&OBO&UM.!/智东杰M用S语言设计克莱姆法则的计算程序.T/M张正新D薛瑞丰D黄天民D徐扬D王爱民M中国高等教育研究论丛’第六卷*.S/M成都J西南交通大学出版社D$UU#M!ONB!OOM!&#$%&’()&(#*+,(+&--.’(,/0,12.’(3&#4’&,-,(#’#,)5%.’#&+67)&3.,’0853#-VWXY+)6B-%:（Y:Z5,=@:)=+&S+@Z&=:,[&%:)&:;\:&9)+4+6]D^%5+_&+X)A=%=&=:+&\:&9)+4+6]，^%5+_&+#K#&&&，S9%)5*9:53+&;3&\9%AZ5Z:,&%)CA=9:,5)7+&5&6@:)=:C@5=,%‘+&5%)9+@+6:):+&A4%):5,:a&5=%+)A]A=:@\9:S&A%)6A=:Z@5=,%‘5)CA=+,%)65)=%B&,::&)7)+8)5)C&,::&)7)+8)F5,%5R4:A%)=+5C+&R4:C%,:&=%+)A=5&789+A:A%_::a&54A=+=9:)&@R:,+&&)7)+8)F5,%5R4:A+&=9:%)9+@+6:):+&A4%):5,:a&5=%+)A]A=:@MA+4F%)6%AZ,:A:)=:C%)=9%A5,=%&4:M%)9+@+6:):+&A4%):5,:a&5=%+)A]A=:@；6:):,54A+4&=%+)；Z,+6,5@.责任编辑$!b李潜生/45)6&56:&54&&45=%)6Z,+6,5@89%&9&5)R:+Z:,5=:C+)@%&,+&+@Z&=:,5)C&5)@+C:45,=%&%&%54Z,+R4:@=#8&,+?5&解非齐次线性方程组的C语言程序设计作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：智东杰焦作工学院,计算机系,河南,焦作,454000安徽广播电视大学学报JOURNAL OF ANHUI TV UNIVERSITY2004，&&(1)1次 1.智东杰 用定义计算行列的C语言程序设计 19932.智东杰 用C语言设计克莱姆法则的计算程序 1994 1.期刊论文 胡先富.HU Xia-fu 非齐次线性方程组通解的一种简便求法 -廊坊师范学院学报(自然科学版))给出一种只需用矩阵的初等行变换求非齐次线性方程组的通解的一种简便方法.2.期刊论文 智东杰 解非齐次线性方程组的Java Application图形界面程序设计 -平顶山师专学报)采用阶梯矩阵找出非齐次线性方程组的增广矩阵的秩,用大小为未知量个数的双向栈存储自由未知量与非自由未知量,并给出在微机上运行的模拟人工解题的Java语言计算程序.3.期刊论文 薛春艳.刘德明.隋文陶 几类常系数线性非齐次方程组特解的求法 -辽宁教育学院学报)本文介绍了三种常系数线性非齐次方程组特解的求法,并且给出了它们的求解公式.4.期刊论文 孙长军 消去常数项法解非齐次线性方程组 -河北理工学院学报)消去AX=B常数项,使方程的个数减少一个,得到一个齐次线性方程TX=O,通过解齐次线性方程组TX=O,从而得到非齐次线性方程组AX=B的通解.5.期刊论文 朱.郑小燕.周芳芹 巧解非齐次线性方程组 -中国科技信息2007,&&(11)设计的算法是,在约当消元法的基础上对行最简矩阵进行删除行、增加行等运算,即可得到线性方程组的通解.本算法的独特之处是,不需指出自由变量与非自由变量,不需写出自由变量表示非自由变量的具体表达式,利用行最简形矩阵求通解时,不需进行乘法和加法运算,因而简单易懂.6.期刊论文 杨桂元.YANG Gui-yuan 线性方程组解的有关问题 -大学数学)首先讨论了两个齐次线性方程组有非零公共解的充分必要条件并给出了非零公共解的一般形式,然后讨论了两个线性方程组同解的一个充分必要条件和非齐次线性方程组的线性无关解向量的个数以及非齐次线性方程组通解的表达式,最后证明了非齐次线性方程组有解的一个充分必要条件.7.期刊论文 陈建莉.CHEN Jian-li 线性方程组解法新探 -纺织高校基础科学学报)通过引入拓展矩阵和转解运算,根据分块矩阵理论及矩阵初等变换,分别用2种方法求出了当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数时,非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程的特解.从而直接从矩阵中求出线性方程组的通解,给出了求解线性方程组的一种思路.8.期刊论文 张三强.张绍平.周永正.胡 线性流形及其有关问题 -高等数学研究)线性流形与线性方程组之间存在着一一对应关系,从线性流形的性质可得出了非齐次线性方程组解的线性运算法则及通解结构定理.9.期刊论文 吴世\.杜红霞.WU Shi-gan.DU Hong-xia 关于线性方程组的一个注记 -江西理工大学学报)论证了n元齐次线性方程组的解向量空间与Rn的子向量空间的等价性,并讨论了n元非齐次线性方程组通解结构的反问题.10.期刊论文 赵坚 线性代数复习与典型例题2 -当代电大2002,&&(11)3线性方程组3.1主要内容3.1.1主要概念齐次线性方程组,非齐次线性方程组,方程组的矩阵表示,系数矩阵,增广矩阵,一般解,通解,全部解,特解,基础解系,自由元(自由未知量),n维向量,线性组合(线性表出),线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组的秩,向量空间,向量空间的基和维数. 1.魏凤梅.胡文 基于模拟退火算法营养膳食优选的研究[期刊论文]-哈尔滨商业大学学报（自然科学版） 2006(6) 本文链接：.cn/Periodical_ahgbdsdxxb.aspx授权使用：大连大学图书馆(dldx)，授权号：7f5301dc-c77b-41cd-adf8-9dbc016cec1b下载时间：日包含各类专业文献、高等教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、应用写作文书、行业资料、各类资格考试、外语学习资料、解非齐次线性方程组的C语言程序设计43等内容。
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