关于裂项求和相消法的一些问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-20 08:14 标签： 分数裂项
　　【摘 要】数列求和是数列的重要内容，错位相减法与裂项相消法都是数列求和的重要方法，数列求和能体现学生对数列知识的掌握情" />
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错位相减法与裂项相消法
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　　【摘 要】数列求和是数列的重要内容，错位相减法与裂项相消法都是数列求和的重要方法，数列求和能体现学生对数列知识的掌握情况，同时也是数学思想应用的一种体现，本文就这两种方法本质作进一步探讨。 中国论文网 /9/view-5391902.htm　　【关键词】错位相减法；裂项相消法；前n项和 　　错位相减法是高中新教材中介绍的一种很重要的数列的求和方法，它适用于{anbn}类型数列的前n项求和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列。它的目的在于把非等差非等比的数列转化成等比数列再进行求和。然而很多学生都很容易在计算上犯错，导致解题失败。对这种类型的题目是否还有其它的解法可寻呢？ 　　裂项相消法就是把数列的一项裂成一个数列相邻两项的差，从而在求和中使许多中间项相互抵消，从而达到求和的目的。这种方法的关键在能把通项裂开达到前后相消，它的运算过程相对简单，而且不易出错。那我们能否用裂项相消法来解决错位相减法的问题呢？先看下面一个例子： 　　例1：已知an=n?2n，求数列{an}的前n项和sn。 　　解法一：错位相减法 　　sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n ① 　　2sn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1 ② 　　①-② 得 　　-sn=（2+22+…+2n）-n?2n+1 　　=2n+1-2-n?2n+1 　　∴sn=（n-1）?2n+1+2 　　解法二：裂项相消法 　　∵an=n?2n 　　=[（n+1）?2n+1-n?2n]-2n+1 　　∴sn=[（2?22-1?2）-22]+[（3?23-2?22）-23]+[（4?24-3?23）-24]+…+[（（n+1）?2n+1-n?2n）-2n+1] 　　=[（2?22-1?2）+（3?23-2?22）+（4?24-3?23）+…+（（n+1）?2n+1-n?2n）]-（22+23+24+…+2n+1） 　　=[（（n+1）2n+1-2）]-（22+23+24+…+2n+1） 　　=（n+1）2n+1-（2+22+23+24+…+2n+1） 　　=（n+1）2n+1-■ 　　=（n-1）?2n+1+2 　　从以上可以看出两种解法实质都是转化为等比数列的求和问题。但对求一般的数列{anbn}的前n项和（其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列）的问题，能否都可以用裂项相消法呢？ 　　设数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d。数列{bn}为等比数列，首项为b1公比为q，求数列{anbn}的前n项和sn。 　　解：（1）当d=0或q=1时，{anbn}为等比数列或等差数列，故不必讨论。 　　（2）当d≠0且q≠1时 　　∵an+1bn+1-anbn=（an+d）bnq-anbn 　　∴=（q-1）anbn+dqbn 　　∴anbn=■[an+1bn+1-anbn]-■bn 　　sn=a1b1+a2b2+…+anbn 　　=■[（a2b2-a1b1）+（a3b3-a2b2）+…+（an+1bn+1-anbn）]-■（b1+b2+…+bn） 　　=■（an+1bn+1-a1b1）-■?■ 　　=■-■ 　　从而达到数列求和的目的。例如： 　　例2：求数列1，3a，5a2，7a3，……，（2n-1）an-1的前n项和sn（a≠0，a≠1）。 　　解：∵（2n-1）an-1=■{（2n+1）an-（2n-1）an-1}-■an-1 　　∴1?a0=■{3a1-a0}-■a0 　　3?a1=■{5a2-3a1}-■a1 　　5?a2=■{7a3-5a2}-■a2 　　… … 　　Sn=1?a0+3?a1+5?a2+…+（2n-1）an-1 　　=■{{3a1-a0}+{5a2-3a1}+{7a3-5a2}+…+{（2n+1）an-（2n-1）an-1}}-■（a0+a1+a2+…+an-1） 　　=■{（2n+1）an-a0}-■×■ 　　=■ 　　由此可以看出对数列{anbn}的前n项和（其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列）问题，既可用错位相减法，又可用裂项相消法。它们在本质上是相同的，都是转化成等比数列的求和问题来解决，它们之间有异曲同工之妙。但裂项相消法与错位相减法也有不同之处，能用错位相减法的一定能用裂项相消法，能用裂项相消法的不一定能用错位相减法。如an=n（n+1）就可以用裂项相消法变成an=■[n?（n+1）?（n+2）-（n-1）?n?（n+1）]很快就可求前n项和，此题就不能错位相减法来完成。所以我们可以认为错位相减法是特殊方法，而裂项相消法才是通法。
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裂项相消法在数列求和问题中的应用
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每日一题及答案解析：裂项相消法求和（10月25日）
来源：智康1对1 文章作者：刘业瀚
　　以下是日每日一题及答案解析：
&　　小编提示：以上为试题难度中等，主要考察了裂项相消法求和。
本文作者： 智康1对1高考研究中心研究员，知名高中数学老师
智康讲师团核心讲师，对于志愿填报、高考冲刺有深入研究，举办过多场公益讲座。所教多名高三学生在高考中均取得较大提升，如马同学（文）以北京市西城区文科前十进入北京大学光华管理学院。
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