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如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE
题型：解答题难度：中档来源：内蒙古自治区中考真题
解：（1）如图所示：
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平..”主要考查你对&&尺规作图，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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尺规作图等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形全等的判定
尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
发现相似题
与“如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平..”考查相似的试题有：
201299387519387806356036369524911862当前位置：
＞＞＞如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于D，试探求..
如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于D，试探求∠D与∠A的关系，并说明埋由.
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：∠D=∠A 如图
.因为∠ACE=∠A+∠ABC，又∠1= ∠ACE， 所以∠1= (∠A+∠ABC). 由于∠1=∠D+∠2， 因此(∠A+∠ABC)=∠D+∠2. 又∠2 = ∠ABC . 得 ∠A+∠ABC=∠D+∠ABC，所以∠D=∠A.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于D，试探求..”主要考查你对&&三角形的外角性质，三角形的内角和定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的外角性质三角形的内角和定理
三角形的外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。∠1是三角形的外角。三角形的外角特征：①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。&性质：①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。④. 三角形的外角和等于360°。设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。定理：三角形的三个内角和为180度。三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
发现相似题
与“如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于D，试探求..”考查相似的试题有：
380107127341115027918590356369299774阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+根号3，求这个三角形的面积．-乐乐题库
& 勾股定理的逆定理知识点 & “阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中...”习题详情
215位同学学习过此题，做题成功率71.6%
阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=12BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=12BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+√3，求这个三角形的面积．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠...”的分析与解答如下所示：
先阅读材料得出直角三角形判定定理，再根据判定定理解题．
解：（1）为题目信息，不用解答．（2）根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，设一边长为x，则另一边长为：[（1+√3）-x]，根据勾股定理，[（1+√3）-x]2+x2=4，解得x=1或√3，根据直角三角形的面积可得√32．
此题主要考查：（1）对材料的分析与研究并得出结论；（2）运用“新”结论解决问题；（3）方程思想与数形结合思想的有机结合．
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阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
错误详情：
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经过分析，习题“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠...”主要考察你对“勾股定理的逆定理”
等考点的理解。
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勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
与“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠...”相似的题目：
三角形的三边长是①0.3，0.4，0.5；②9，12，15；③13，14，15；④32，42，52；⑤13n，12n，5n（n为正整数）能构成直角三角形的有&&&&个．
已知三角形的三边a、b、c的长分别为√45cm、√80cm、√125cm，求这个三角形的周长和面积．
下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）2，3，45，3，44，6，95，11，13
“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中...”的最新评论
该知识点好题
1若△ABC三边的平方的连比为1：2：3，对于△ABC的中线、高线的垂直关系，正确的是（　　）
2如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（　　）
3下面几组数：①7、8、9；②12、9、15；③a2、a2+1、a2+2；④m2+n2、m2-n2、2mn（m、n均为正整数，m＞n）．其中能组成直角三角形的三边长的是（　　）
该知识点易错题
1将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（　　）
2如图，△DEF的边长分别为1，√3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（　　）
3以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+根号3，求这个三角形的面积．”的答案、考点梳理，并查找与习题“阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1/2BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=1/2BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+根号3，求这个三角形的面积．”相似的习题。[数学题]如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，延长AE交△ABC的外接圆于点D.....
如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E．延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE且∠BDA=60°．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形？说明理由．
（1）由角平分线定义和三角形内角和定理，可得∠1+∠3=1/2（∠ABC+∠BAC）=1/2（180°-∠ACB）．又由∠ACB=∠BDA=60°，得到∠1+∠3=60°，即∠BED=∠1+∠3=60°．所以△BDE为等边三角形．
（2）由题意易得△DEC为等边三角形，从而得出DC=EC=DE=BD=EB，则四边形BDCE为菱形．
（1）△BDE为等边三角形．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=1/2∠ABC，∠3=1/2∠BAC．
∴∠1+∠3=1/2（∠ABC+∠BAC）=1/2（180°-∠ACB）．
∵弧AB=弧AB，
∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），
∵∠BDA=60°
∴∠ACB=60°，
∴∠1+∠3=60°．
∴∠BED=∠1+∠3=60°．
∴△BDE为等边三角形．
（2）四边形BDCE为菱形．
∵△BDE为等边三角形，
∴BD=DE=BE．
∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，
∴∠EDC=60°．
又∵∠3=∠4，
∴△DEC为等边三角形．
∴DC=EC=DE=BD=EB．
则四边形BDCE为菱形
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错误详细描述：
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径．
【思路分析】
（1）由圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得△ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）先根据勾股定理求出AB的长，利用S△ABC=S△ACD+S△ADB可计算出CD的长，进一步利用勾股定理计算出直径AD，得到半径。
【解析过程】
（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACB为圆的圆周角∴AD为圆的直径∴∠AED=90°又∵AD是∠BAC的角平分线∴∠CAD=∠EAD∴CD=ED在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD
CD=ED∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，∴AB==13，∵S△ABC=S△ACD+S△ADB
CD=ED∴AC·BC=AC·CD+AB·ED×5×12=×5×CD+×13×CDCD=在Rt△ACD中AD= ∴r=AD=×= △ABC外接圆的半径r=
（1）证明：
∵∠ACB=90°，∠ACB为圆的圆周角∴AD为圆的直径∴∠AED=90°又∵AD是∠BAC的角平分线∴∠CAD=∠EAD∴CD=ED在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD
CD=ED∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（2）△ABC外接圆的半径r=
本题考查的是圆周角定理，涉及到勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，能够灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．
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