函数项级数与含参变量的反常积分的一致性研究
级数又分为数项级数和函数项级数,它们分别对应着广义积分中无穷积分和含参变量的反常积分。从实质上来讲,它们是一样的,只不过一个是离散和、一个是连续和,因此,对它们的研究方法完全是一样的,在教学和研究中完全可以把两者融在一起采取类比的方法讲解,更有利于对这两部分难点的学习和掌握。1“一致收敛”的概念以及一致收敛的Weierstrass法2一致收敛的Abel判别法和Dirichlet判别法如果不能将函数项un(x)控制在某个数项an之内,或者能被控制,∞∞但n=1Σan不收敛,那么我们也没法用Weierstrass判别法断定n=1Σun(x)一致收敛性,此时,我们要将函数项un(x)拆分成某两个函数an(x)和bn∞函数项级数n=1Σun(x)(x∈I)中的每一个函数在区间I上都连续、(x)的乘积,用Abel判别法或Dirichlet判别法。Abel判别法:∞n=1Σan(x)可导、可积,那么它们的和函数S(x)在区间I上是否都连续、...&
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1引言两个极限的换序是数学分析讨论的重要问题,含参变量的积分主要讨论积分作为参变量的函数所具有的分析性质.而一致收敛是极限换序的重要条件,在含参量积分的理论中经常面临的问题是一致收敛性.因此含参变量积分一致收敛的判定成为解决此问题的关键.级数也是研究函数分析性质的一种重要工具,而函数项级数是级数理论的基础,其一致收敛性也是研究函数分析性质的重要前提.判断含参变量积分的一致收敛性结论与判定函数项级数的一致收敛性是类似的,这主要是含参变量积分与函数项级数有很多结论是平行的,所用到的方法在很多场合也是一样的.以下给出函数项级数与含参变量积分的一致收敛的判别法.进一步通过例子说明它们一致收敛的统一性.2一致收敛与非一致收敛的判别2.1一致收敛的判别函数项级数与含参变量积分一致收敛的判别法除了定义法外,还有很多种方法现将主要的方法对比列表如下(见表1).表1函数项级数与含参变量积分一致收敛判别法对照表∑∞n=1un(x),x∈Ia∞f∫(...&
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目前,国内高等数学和数学分析教材种类繁多,在编写反常积分或广义积分这一内容时,对“反常积分”或“广义积分”的概念都没有给出明确的定义;一般只对下面所述定义1中,反常积分前面的2种情形给出定义。不同教材对概念名称的使用,以及对2种情形的定义又不尽相同。特别是有的定义比较啰嗦,有的比较深奥,有的以偏概全,有的还自相矛盾。总之,这部分内容的编写很混乱,给教育工作者带来一些不便,特别是给初学者带来很多困惑。为此,笔者作了一些探讨,提出了自己的拙见与同仁们商榷。1反常积分和广义积分的定义1.1定义“定积分”(或称“常义积分”)的定义有2个必要条件:①积分区间[a,b]有限;②被积函数在积分区间[a,b]上有界。笔者对文献[1-6]以及其它文献进行了仔细的研读和分析,归纳出如下2个定义。定义1如果条件①和条件②至少1个不满足,这种“积分”称为反常积分。定义2如果将条件①中有限积分区间推广到无限区间,或将条件②中被积函数在积分区间上有界推广到...&
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文[1]应用Abel-Pringsheim定理证明了:若f在[1,+∞)上严格单调减少,且广义积分∫+∞1f(x)dx收敛,则limx→+∞f(x)=0,且f(x)=o1x,x→+∞.这是一道典型的习题,曾被许多教材及参考书所收录[2,3,4,5].文献[6]还将其作为例题,并用无穷限反常积分的Cauchy收敛准则给予了证明.本文将其作为定理,给出其若干应用.在此之前,先用无穷限反常积分收敛的定义对其更一般的形式简证如下:定理1[6]若广义积分∫+∞af(x)dx收敛,且函数f(x)在[a,+∞)上单调下降,则limx→+∞xf(x)=0.(1)证明根据广义积分∫+∞af(x)dx收敛及函数f(x)在[a,+∞)上单调下降,易知f(x)≥0.再由广义积分收敛,有limx→+∫∞xx2f(t)dt=limx→+∞∫xaf(t)dt∫-x2af(t)dt=0.于是,对任意给定的正数ε,总存在正数M(M≥a),当xM时,有0≤f(x)...&
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反常积分敛散性的判定是分析学的重要内容,它与无穷级数联系非常紧密[1-3].本文将正项级数敛散性的根式(Cauchy)判别法推广到反常积分敛散性的判别上.定理1设f(x)为[a,+∞)上的非负函数,若li mx→+∞xf(x)=ρ,则当ρ1时反常积分∫a+∞f(x)dx发散.证明(ⅰ)取ε=12-ρ(00,任给xA时,ρ-1-2ρA.而∫a+∞ρ0x=xli→+m∞ln1ρ0ρ0tax=li mx→+∞1lnρ0(ρ0x-ρ0a)=-ln1ρ0ρ0a收敛,从而∫a+∞f(x)dx收敛.(ⅱ)由ρ1,取,ε=ρ-210,存在A0,任给xA,有ρ-12-ρ1,ρ1xA.而∫a+∞ρ1x=xli→m+∞ln1ρ1...&
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对于一致收敛和收敛大家都比较熟悉,但是一致收敛条件太强,而收敛又较弱.对于某些问题我们只需要考虑他的局部性质就够了,从而我们研究一种介于它们之间的收敛(局部一致收敛),将是很有意义的工作.对于局部一致收敛,近年来已经有不少研究,丁润成在文献[1]中研究了数列局部(弱)一致收敛的性质;张国才,王恕达在文献[2]中探讨了二元函数局部一致收敛的条件.对于含参量反常积分的局部一致收敛性,文献[3]中王建英探讨了含参量反常积分局部一致收敛和一致收敛的关系,并给出了局部一致收敛于连续的等价性.文献[4-7]中也对含参量反常积分局部一致收敛的性质以及判定给出了较好的结果.本文在已有结果的基础上,与一致收敛的判别法相类比得出了含参量反常积分局部一致收敛几种判别法,这对局部一致收敛的研究将是很有意义的工作.定义1若函数列｛fn(x)｝和函数f(x),对任意的正数ε及任意的x0∈D存在正整数N及正数δ,使得对一切的x∈∩D,当nN时,都有|fn(x...&
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数学分析中已给出一些计算反常积分的方法,但在做题时这些方法远远不够。通过对反常积分的研究,本文将给出利用幂级数、利用含参量积分、重积分、欧拉积分、欧拉公式、微分方程等计算反常积分的方法,并说明其应用的方法与技巧。反常积分是积分学的重要组成部分,同时也是难点。《数学分析选讲》教材给出了和计算定积分类似的方法,如牛顿莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、有理函数积分的方法等。可是在实际计算和面对考研试题时,这些方法远远不够,或者不容易计算出来。鉴于此,本文将提供一些其它的计算反常积分的方法。如果被积函数的幂级数好求,且通项的反常积分收敛,或者变形之后被积函数的幂级数好求,且通项的反常积分收敛,这时可把被积函数转化为幂级数的形式,然后使用幂级数逐项积分的性质求解。例1已知,求。解:由分部积分法可得原式=,由洛必塔法则知,再使用的幂级数展开式得原式=。如果被积函数是的形式,可利用牛顿莱布尼茨公式把被积函数转化为定积分,然后使用反常积分的...&
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含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明
阿贝尔判别法（Abel）
（1）?f?x,y?dy在I上一致收敛；
（2）对?x?I，函数g?x,y?关于y单调，且对x，g?x,y?在I上一致有界，
则含参量的反常积分?f?x,y?g?x,y?dy在I上一致收敛.
N狄利克雷判别法（Dirichlet）
（1）对一切N?c，?f?x,y?dy对x在I上一致有界；
（2）对?x?I函数g?x,y?关于y单调，且当y???时，对x，g?x,y?一致收敛于0，
则含参量的反常积分?f?x,y?g?x,y?dy在I上一致收敛.
（积分第二中值定理的推论）见数学分析上册P.227
设函数f?x?在?a,b?上可积.若g?x?单调，则????a,b?,s..t
?f?x?g?x?dx?g?a??f?x?dx?g?b??f?x?dx.
阿贝尔判别法的证明
证明：由于对参量x，g?x,y?在I上一致有界，于是
?M'?0，对?x?I,y?c，有g(x,y)?M'.
因为?f?x,y?dy在I上一致收敛，由一致收敛的柯西准则
对???0,?M?c，当A2?A1?M时，对?x?I，有
A1?f?x,y?dy??.2(M'?1)
又对?x?I，函数g?x,y?关于y单调，根据积分第二中值定理，对?x?I，
????A1,A2?,s..t
于是A2A1?f?x,y?g?x,y?dy?g?x,A??f?x,y?dy?g?x,A??f?x,y?dy.12A1?A2?
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法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且 给出了典型例子以说明每种判别法的...例 1 证明含参量反常积分 A2 A1 f ? x, y ? dy ? ? . 4 ? ?? 0...下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法。由于它们的证明与函数项级数相应的 ...?? c f ( x, y)dy 在 I 上一致收敛。 狄利克雷判别法 设(i) 对一切...狄利克雷判别法等),从而方便了含参 量反常积分一致...用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛...10 2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的...唐山师范学院学报 u2 2016 年 3 月证明反常积分 ?...含参量反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法是要 得到形...我们易得出无穷级数阿贝尔和狄利克雷判别 法的条件。...魏尔斯特拉斯 M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔 判别法,并且给出了典型例子...例1 证明含参量反常积分 A2 A1 f ? x, y ? dy ? ? . ? 证 做变量...M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别 法,应用这三个判别法均不能判别含参量...与对数等判别法,并分别利用柯西判别法 和对数判别法证明了含参量反常积分,+o...? , (3) 证明(必要性)由于含参量反常积分 (1) 在 [ a, b] 上一致...定理 2.5.2 (狄利克雷判别法)设 (1) 对一切实数 N ? c ,含参量正常...证明:当x&xo时。x—xo&O 万方数据 第1期 翁东东浅谈级数收敛的阿贝尔判别法及狄里克雷判别法 79 .?.In+-&I(随n单调递减趋于。,又已知喜。刍收敛根据狄...反常积分的魏尔斯特拉斯判别法. (2)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法....例1 证明含参量非正常积分 ? sin xy dy 在 [ ? , ? ? ) 上一致收敛 ...在文献[1]中 已有一些判别非负含参量无穷积分一致收敛性的判别法,如:柯西准则、威尔斯 特拉斯 M 判别法、 狄利克雷判别法以及阿贝尔判别法等。文献[6]和文献...反常积分题目
清枫痼銡鵓
代换后前面多了个负号,但最后结果是对的~
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