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联系站长：2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
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一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（&&& ）．
（A）&&&&&&& （B）&&&&&& （C）&&&&&& （D）
解：&&& 由题设得．
代数式变形，同除b
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（&&&& ）．
（A）a&&& （B）a4&&& （C）a≤或 a≥4&& （D）≤a≤4
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式 &&≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（&& ）．
（A）&&& &&&&& （B）
（C）&&&& && （D）
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=，CF＝，DF＝2，
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，
（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（&&& ）．
(A) 1&&& &&&&&&(B) 2&&&& &&&&&&(C) 3&&&&&& &&&&&(D) 4
因为2+2，所以=2．
高斯函数；找规律。
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ &&&）．&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（A）（2010，2） （B）（2010，）
（C）（2012，）& （D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），
由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于&&&&&& &&&&&&．
& 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝&&&&&&&&&&&& ．
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
，&&&&&&&&&&&&&& ①
，& &&&&&&&&&&&&②&&&&&& ． &&&&&&&&&&&&&&③
由①②，得，所以，x=30．&&&&&& 故 （分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是&&&&&&&&&&&&& ．
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则&&&&&&&& ．&
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 &&&&，
解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以，& 即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为&&&&&&&&&& &&．
解：&&&&& 因为为的倍数，所以的最小值满足
其中表示的最小公倍数．
因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证：
（第12A题）&．
（第12B题）&
（第12B题）&证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，&& FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线.&& …………（5分）
连接AE，AF，则
所以，△ABC∽△AEF.&&& …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，&&&&&&&&
所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& .&&&& …………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
&&& 解得，.
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得&& …………（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.&&&&&&&& …………（20分）
&&13．求满足的所有素数p和正整数m.
．解：由题设得，
所以，由于p是素数，故，或.& ……（5分）
&&& （1）若，令，k是正整数，于是，
所以解得&&&&&&&&&&& …………（10分）
（2）若，令，k是正整数.
当时，有，
故，从而，或2.
&&& 由于是奇数，所以，从而.
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.&&&&&&&&&& &&&&&&…………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………（5分）
&&& 另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为
所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.&&&&&&& …………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.
所以，，即≥11.&&&&&&&&&&&&&&&& …………（15分）
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………（20分）
（64至91为荆州市全国三等奖至一等奖）
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五月 5, 2015
如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 （）个．
四月 28, 2015
如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=1/4BD
其中正确结论的为——（请将所有正确的序号都填上）
四月 28, 2015
如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为(
四月 19, 2015
用 1 2 3 4 5 6 7 8 填入下列括号中使等式成立（提示：每个数字只能运用一次， 切记 不然木有奖励）
（ ）—（ ）=1
（ ）—（ ）=2
（ ）+（ ）=7
（ ）+（ ）=9
此题答出有奖 站长亲自监督 如有答出者联系
四月 16, 2015
一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
三月 28, 2015
化简m-n-（m+n）的结果是（　　）
三月 27, 2015
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=?，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不可能成 立的是（　　）
三月 26, 2015
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6o1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（　　）
A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87
B．1.2×0.8x+2×0.9（60-x）=87
C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87
D．2×0.9x+1.2×0.8（60-x）=87
三月 24, 2015
某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（　　）
A．分层抽样法、系统抽样法
B．分层抽样法、简单随机抽样法
C．系统抽样法、分层抽样法
D．简单随机抽样法、分层抽样法
三月 24, 2015
已知全集A={x∈N|x2+2x-3≤0}，B={y|y?A}，则集合B中元素的个数为（　　）
数学学习QQ群
数学学习群：首先，欢迎您的加入！！在这里，每个人都是你的老师，在这里每个人都没有任何必要帮助你的任务，只是大家为了一个自己心中的夙愿，我们都在无私的奉献。有人说：“送人玫瑰，收留余香”，还有人告诉我们：“帮助别人就等于帮助自己”，生活至今，我也领悟出：“我得到此时的帮助是因为我彼时帮助过别人。”！
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∷ ∶ ∫ ∮ ∝ ∞ ∧ ∨ ∑ ∏ ∪ ∩ ∈ ∵ ∴ ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ √∟⊿ ㏒ ㏑ ％ ‰ △ ⊿ ℃ √﹣　﹦　≡　｜　∥　–　　? ˉ　￣　﹉　﹊　﹍　﹎　﹋　﹌　﹏　︴　 ﹨　∕　╲　╱　＼　／　↑　↓　←　→　↖　↗　↙　↘（）［］｛｝—÷ ×
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