设n为设n是正整数数，规定:fn(x)=f{f...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-29 11:41 标签： 设n是正整数
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已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；（2）对任意n≥a，证明f′n+1（n+1）＜（n+1）fn′（n）
题型：解答题难度：中档来源：杭州二模
（1）fn（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，∵a＞0，x＞0，∴fn′（x）＜0，∴fn（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，∴当n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n＜nn-（n+a）n（2分）又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]，∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n]=(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分)（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[（nn-n（n+a）n-1]，（2分）∵（n+2）＞n，∴f′n+1（n+1）＜（n+1）f′n（n）（2分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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与“已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1..”考查相似的试题有：
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设n为正整数，n!=1x2x3x4x…xn，求一个最小的正整数P，使得：(1)Px10!是完全平方数。(2)P是9!的倍数，且P÷9!是一个完全立方数。问：当P最小时，P的首位是多少？
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Copyright & 2008- All Rights Reserved设n为正整数，规定：n(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知，（1）解不等式f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；（3）求2007(89)的值；（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．
（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得，∴．②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2．&由①②得f（x）≤x的解集为．（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．&&（3）1(89)=2(1-89)=29，2(89)=f(f1(89))=f(29)=149，3(89)=f(f2(89))=f(149)=149-1=59，4(89)=f(f3(89))=f(59)=2(1-59)=89，一般地，4k+r(89)=fr(89)，（k，r∈N*），∴2007(89)=f3(89)=59．&（4）由（1）知，，∴n(23)=23，则12(23)=23，．由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f3（x）=x，∴f12（x）=f4×3（x）=x，则0，1，2∈B．由（3）知，对，恒有f12（x）=f4×3（x）=x，∴．综上所述：，∴B中至少包含8个元素．
为您推荐：
（1）分类讨论解出即可；（2）利用分段函数的意义得出函数值即可；（3）利用已知得出其周期即可；（4）利用（2）（3）即可找出几何B中至少含有8个元素．
本题考点：
一元二次不等式的解法；函数的值．
考点点评：
熟练掌握分类讨论思想方法、分段函数的意义、函数的周期性等是解题的关键．
扫描下载二维码已知n为正整数，规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），已知，（1）解不等式f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x．
小颜803xEu
（1）当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x有，故，当1＜x≤2时，由x-1≤x求得x∈R，故1＜x≤2，综上讨论可知：；（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，在x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，同理可求x=1时，f3（1）=1，x=2，f3（2）=2，故x∈A时，恒有f3（x）=x．
为您推荐：
（1）利用所给分段函数，分别解不等式，再求它们的并集；（2）由集合A={0，1，2}，x∈A，利用函数迭代式，分别代入，即可证得．
本题考点：
函数迭代．
考点点评：
本题考查的重点是对函数表达式的理解，考查分段函数，考查函数的迭代，属于基础题．
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