已知关于x的方程mx2-（m2+2）x+2m=0．（1）求证：当m取非零实数时，此方程必有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求m的值．【考点】．【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于等于0，即可得证；（2）利用根与系数的关系，求得两根的和与积，进一步利用解为整数求得答案即可．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴关于x的方程mx2-（m2+2）x+2m=0为关于x的一元二次方程，∵△=（m2+2）2-4m×2m=（m2-2）2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：设x1、x2是方程mx2-（m2+2）x+2m=0的两个根，则x1+x2=2+2m=m+，x1ox2=2，∴m能被2整除，m为±1或±2．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：73zzx老师　难度：0.68真题：0组卷：2
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已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
题型：解答题难度：中档来源：四川省中考真题
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等..”主要考查你对&&一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程根的判别式一元二次方程的解法勾股定理
根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。定理1& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；定理2& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；定理3& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；定理5& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；定理6& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。③证明字母系数方程有实数根或无实数根。④应用根的判别式判断三角形的形状。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。⑧利用根的判别式解有关抛物线（△&0）与x轴两交点间的距离的问题。一元二次方程的解： 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解一元二次方程方程： 求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。 韦达定理：一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= -b/ax1·x2=c/a一元二次方程的解法： 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b&0时，方程没有实数根。 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 的求根公式：求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
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已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则丨m－n丨＝？要过程～...
知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为1&#47？要过程～谢谢;4的等差数列，则丨m－n丨＝
可见x1与x2的和等于x3与x4的和;2。不妨设x1;－2x＋m=0的两根;4;4 + 3d;－2x＋m=0的两根;16 + 3d&#47。由于x1，注意到4个数组成的等差数列中，x3;4(1/4+d;2，另外两根为x&#178，则x3和x4分别为第二和第三项;3 + 2d²4 + 3d = 2，x4 = 1/－2x＋n=0的两根，x3 = 1/－2x＋m)(x&#178，x1 + x2 = 2，即d = 1&#47。根据韦达定理；n = x3 x4 = (1&#47，m = x1 x2 = 1&#47，x2 = 1&#47，x2分别为等差数列中的第一和第四项或分别为等差数列中的第二和第三项。则有x1 = 1/16 + 3d/4 + 2d，x3 + x4 = 2，并令公差为d,x2;－2x＋n=0的两根，x2为x²4 + 2d) = 1&#47，x4为x&#178。设x1，x2分别为第一和第四项。可知x1。根据x1 + x2 = x3 + x4 = 2可知; = 1/4 + 3d) = 1&#47，1/4 + 1&#47,x3,x4可组成一等差数列。则|m - n| = 2d&#178(x²。根据韦达定理，其中两根为x²－2x＋n) = 0有四个根;4 + d) (1&#47，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和;4
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16-15/4√(1-m)=3&#47(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0x^2-2x+m=0或x^2-2x+n=0x^2-2x+1=1-m(x-1)^2=1-mx=1+√(1-m)或x=1-√(1-m)或x=1+√(1-n)或x=1-√(1-n)假设m&lt，1+√(1-n)，1+√(1-m)1-√(1-m)=1/1-n，1-√(1-n);16因为这4个根组成一个等差数列所以2[1-√(1-n)]=1-√(1-m)+1+√(1-n)2-2√(1-n)=1/16m=7/41-n=1/√(1-n)则这4个根从小到大排列为1-√(1-m);16|m-n|=|7&#47，√(1-m)&n;41-m=9/4+1+√(1-n)√(1-n)=1/16n=15/16|=1&#47，即1-m&gt
设四个根从小到大为x1,x2,x3,x4因其中二根之和为2，另二根之和亦为2，而x1+x4=x2+x3所以x1+x4=x2+x3=2，则x4=2-1/4=7/4,d=(x4-x1)/3=1/2于是x2=3/4,x3=5/4m=x1*x4=7/16,n=x2*x3=15/16|m-n|=1/2
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出门在外也不愁分析：（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；（2）当m=-2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；（ 3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到OM?ON=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），推出x1x2+y1y2=0，联立x2+y2-2mx-4y+5m=02x-y+1=0，推出x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，求m的值?解答：解（1）方程x2+y2-2mx-4y+5m=0化为：（x-m）2+（y-2）2=m2-5m+4m2-5m+4方程表示圆的方程，所以m2-5m+4m2-5m+4＞0&&解得：m＜1或m＞4；（2）设m=-2，圆心为C（-2，2），半径R=32，圆心到直线的距离为d=|-4-2+1|5=5，圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长为：2R2-d2=218=5=213；（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，即OM⊥ON设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2+y1y2=0由x2+y2-2mx-4y+5m=02x-y+1=0整理得&5x2-（2m+4）x+5m-3=0，x1+x2=25(m+2)x1x2=15(5m-3)，x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，5m-3+45(m+2)+1=0m=229经检验，此时△=（2m+4）2-20（5m-3）＞0∴m=229点评：本题考查直线与圆的位置故选，圆的方程的判断，考查函数与方程的思想，转化思想．设而不求的解题方法，考查计算能力．
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已知方程x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是5．已知X1,X2(X1〈X2)是方程X平方-(M-1)X+N=0的两个实数根,Y1,Y2是方程Y平方+（N+1）Y-6M=0的两个实数根,y1,y2是方程y^+(n+1)y-6m=0的两个实数根.且x1-y1=2,y2-x2=2.求m,n的值 这题老师说是M=三分之四N=-三分之四_作业帮
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已知X1,X2(X1〈X2)是方程X平方-(M-1)X+N=0的两个实数根,Y1,Y2是方程Y平方+（N+1）Y-6M=0的两个实数根,y1,y2是方程y^+(n+1)y-6m=0的两个实数根.且x1-y1=2,y2-x2=2.求m,n的值 这题老师说是M=三分之四N=-三分之四
已知X1,X2(X1〈X2)是方程X平方-(M-1)X+N=0的两个实数根,Y1,Y2是方程Y平方+（N+1）Y-6M=0的两个实数根,y1,y2是方程y^+(n+1)y-6m=0的两个实数根.且x1-y1=2,y2-x2=2.求m,n的值 这题老师说是M=三分之四N=-三分之四总是感觉不对,所以提问.希望在一天之内给予解答,好的追分虽然网上有这个题,但是我看不懂,所以请自行解答,勿直接复制,额,y2之类的不是y的平方,是Y右下角的2.
由韦达定理：x1+x2=m-1,y1+y2=-(n+1),x1*x2=n,y1*y2=-6m所以x1+x2-(y1+y2)=(x1-y1)-(y2-x2)=0,即m-1+n+1=0,m+n=0,m=-n整理得：x^2-(m-1)x-m=0,y^2-(m-1)y-6m=0所以x1=-1,x2=m或x1=m,x2=-1i
当x1=-1,x2=m,即m>-1,所以y1=-3,y2=m+2将y1=-3代入,9+3(m-1)-6m=0,m=2,则y^2-y-12=0,y2=4,ii
当x1=m,x2=-1,即m