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开心签到天数: 1 天连续签到: 1 天[LV.1]初来乍到
科普一下随机微积分
随便写了一个关于随机微积分的科普，如果大家觉得写的不错，读者受益，如果大家觉 得写的不好，请指出，我受益，总之是件好事，呵呵
1. 随机微积分（Stochastic Calculus）是干什么的？
一言以蔽之，给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变 量做微积分那样对随机变量做微积分。
知道了这一点，我们很多时候都可以把普通微积分的思维方式对应到随机微积分上。比 如，有些概念，一开始如果我们不理解这个概念起的作用是什么，就可以想想在普通微 积分里面跟这个概念相对应的概念的作用。
2. 随即微积分的理论框架是怎么样建立起来的？
一言以蔽之，依样画葫芦。这里的“样”，说的是普通微积分。
在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”（convergence）和“极限”（limit ）的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机微积分，在我们建立 了现代的概率论体系（基于实分析和测度论）之后，同样的我们就像当初发展普通微积 分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打 交道的是随机变量，比以前的普通的变量要复杂得多，相应的建立起来的“收敛”和“ 极限”的概念也要复杂得多。事实上，随机微积分的“收敛”不止一种，相应的“极限 ”也就不止一种。用的比较多的收敛概念是　convergence with probability 1 (almost
surely) 和　mean-square convergence。
另一个需要新建立的东西是积分变量。在普通微积分里面，积分变量就是一般的实变量 ，也就是被积函数（integrand）的因变量，基本上不需要我们做什么文章。而随即微 积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动是需要一点功夫的。 这个过程是构建随机微积分的的过程中的基本的一环。
“收敛”，“极限”和“积分变量”都定义好了之后，我们就可以依样画葫芦，像普通 微积分里面的定义那样去定义接下来的一系列概念。
3. 既然是依样画葫芦，那么跟普通微积分的区别是什么？
最基本的区别在于现在的积分变量是布朗运动，它是时间的一个函数，但是却有一个特 殊的性质：布朗运动处处连续但是处处不可导。正是这个特殊的性质使得随即微积分跟 普通微积分不同。
在普通微积分里面，我们其实已经接触了用“基本变量的函数”来作为积分变量的情况 ，比如g(x)是x的函数，我可以用g作为积分变量进行积分：
\int_{g=g(a)}^{g=g(b)} f(g) dg
如果g(x)是一个可导的函数,这就是我们在普通微积分中已经解决了的问题，因为dg =
g'dx，所以上式可以写成：
\int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx
但是对于布朗运动W来说，dW/dt不存在。正因为这个“微分”不存在，导致在普通微积 分里面可以直接进行的上述微分运算在随即微积分里面不能直接进行。
比如，在普通微积分里面，有基本的微积分公式 (ln x)' = 1/x
因而 dx/x = d(ln x).
但在随机微积分里面则不能对dW/W 进行这样的计算
dX/X =/= d(ln X)，
因为 ln(X)是不可导的。
这就需要我们建立新的基本运算规则。
４. 随即微积分的基本运算规则是什么？
在普通微积分里面，首先我们定义了牛顿-莱布尼兹公式 f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx
然后我们定义了一系列基本的运算法则，比如 d(x+y) = dx + d(xy) = x*dy + y*dx
和基本微积分公式，比如　 (x^2)' = 2x；
\int exp(x)dx = exp(x)。
然后我们实际进行微积分运算的时候，主要是把要计算的微分或者积分按照运算法则分 解成这些基本的微积分公式，然后把他们用这些基本的微积分公式套进去进行计算。
在随机微积分里面，我们做相同的事情。
导致随即微积分和普通微积分在操作上的区别的就是最基本跟牛顿-莱布尼兹公式相对 应的新的微积分公式。
普通微积分的牛顿-莱布尼兹公式是由分区间近似求和，然后取极限得到。在随即微积 分里面，我们可以用相同的方法来定义积分，但是这个近似的取法不同，会导致计算的 结果不同。 目前最有实用意义的近似取法是有日本数学家Ito提出的，那就是，在计算某个小区间 的对整个积分的贡献的时候，用这个区别的左边界的函数值来代替整个区间的函数值。 （Note：在定义普通微积分的时候，我们用的是该区间上任意一点。之所以可以使用该 区间上任何一点是因为函数的可导性。而这里，函数不可导，所以不能像普通微积分那 样用任意一点的函数值来代替） 用这种近似方法，我们可以得到如下基本公式（跟普通微积分里面的牛顿-莱布尼兹公 式相对应），Ito公式：
f(W(t)) - f(W(0)) = \int_0^t f'(W(u)) dW(u) + 1/2\int_0^t f''(W(u)) du
等式右边的第二项是让随机微积分在实际操作上区别于普通微积分的所谓Ito项。
有了Ito公式之后，就可以计算一些基本的常用的微积分公式，比如对于f(x)=ln(x), f ' = 1/x, f'' = -1/x^2s，所以
ln(W(t)) - ln(W(0)) = \int_0^t (1/W(u)) dW(u) + 1/2 \int_0^t (-1/W(u)^2) du
接下来的步骤，就跟普通微积分几乎一模一样，运用运算法则将复杂的微积分分解成基 本的微积分，然后套用基本公式。
实际的随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量布朗运动W(t)。 注意碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，碰到跟W(t)有关的部分就用随机微积 分的法则。
５. 关于随机微分方程
如果你学到随机微分方程了，那么你会遇上随机微积分里面最大的joke，那就是，虽然 人们经常把随机“微分”方程挂在嘴上，但实际上人们处理的统统都是随机积分方程。
比如最著名的描述股票运动的方程（其解是Geometric Brownian Motion），我们通常 看到下面的形式：
dS = \mu S dt + \sigma S dW
这个貌似微分方程的东西，其实并不是微分方程，原因很简单，S是处处不可导的，所 以你不能把dt挪到左边的分母上得到一个类似于dS/dt的东西。所以这跟本就不是一个 微分方程，实际上，它是如下积分方程的一个简写而已：
S(t) - S(0) = \int_0^t \mu S dt + \int_0^t \sigma S dW(u)
我们通常谈论的随机“微分”方程的general的形式如下：
dX(t) = \mu(t,X(t))dt + \sigma(t,X(t))dW(t)
经过刚才的例子，你很容易明白这其实是一个积分方程。
具体解随机“微分”方程的方法没有什么新的东西，做法都跟普通的常微分方程和偏微 分方程一样，只不过在所有涉及到以W为变量的微分和积分的时候，都要套用Ito积分的 公式。
正如解析方法在常微分方程和偏微分方程里面能解决的问题很有限一样，解析方法在随 机“微分”方程里面能做的事情也很有限，实际工作中主要用的数值方法。直接解随机 微分方程的数值方法其实就是模拟。 模拟主要分强近似和弱近似，前者模拟大量的符合该微分方程的过程，然后根据模拟的 这些过程来计算统计值。后者也模拟大量的过程，但这些过程并不严格符合方程所描述 的过程的性质，而只是在某些方面（比如终点时刻的值的期望和方差）趋近于方程所描 述的过程。
随机微分方程的数值解基本上就是常/偏微分方程的数值解的拓展，比如Euler's
method，操作起来跟常微分方程的Euler's method几乎一模一样。不同之处在于，用 Euler's method解常微分方程，这种逐步往后计算每个点的值的过程只需要进行一次。 而在解随机微分方程的时候，每一次只得到一个sample process，对于解一个方程，这 个过程需要重复很多次。
６. 随机微分方程跟偏微分方程的关系
再次写出随机“微分”方程的general形式
dX(t) = \mu(t,X(t))dt + \sigma(t,X(t))dW(t)
假设我们关心的是X(T)的某个函数的期望值（在实际工作中，我们几乎总是只关心这个 ，比如E[X(T)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X^2(T)的期望），假设这个函数是h， 现在要根据t时刻的信息来推断h(X(t))在T时刻的期望。 换句话说，我们要计算h(X(T))在时刻t的条件期望，我们把这个条件期望记做g(t,X(t))
g(t, X(t)) = E[h(X(T))|F(t)].
很显然这个g也是一个随机过程。进一步的，可以证明，这个在一定的条件下，g是一个 martingale。既然是martingale，那么如果计算g的微分，那么微分中的dt项应该为0， 这是建立随机微分方程和偏微分方程的最基本出发点。实际上，dg中的dt项为0可以导 致如下结论：
g_t(t,x) + \mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 \sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = 0
式中的下标表示偏微分。
这样我们就由一个随机微分方程得到了一个偏微分方程。注意这个偏微分方程非常的有 用，因为在实际工作中，我们大多数情况下并不关注X(t)作为一个随机过程的种种细节 ，而更多的只关注他的某些函数的期望和条件期望，比如E[h(X(T))|F(t)]。而上面的 这个微分方程，解决的正是这种问题。所以很多时候，面对着一个随机微分方程的问题 ，我们并不需要真正的去解随机微分方程，而只需要解对应的偏微分方程就可以了。
上面阐述的这层关系叫做Feynman-Kac定理。
顺便说一句，在金融中大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton微分方程，其实就是Feynman- Kac定理的一个小小应用而已。
如果我们计算不是h(X(T))的条件期望，而是exp(-r(T-t))h(X(T))的条件期望，基于同 样的推导，我们可以到类似的偏微分方程：
g_t(t,x) + \mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 \sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = rg(t,x)
这就是Black-Scholes-Merton微分方程。
载入中......
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楼主，好贴，希望多一些原创的类似的帖子
经济学爱好者
好贴，就需要这样的科普帖。
谢谢LZ，看过获益颇多~~
受教，谢谢！
To be rong is fine, but to stay rong is unforgivable.
要是大学老师能用心总结这样的东西出来而不是死板地照书讲解就好了
楼主这篇转载可以称得上精华了
世界很残忍，我必须要骄傲
真是好东东啊，需要更多这样的
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论坛法律顾问：王进律师求不定积分 exp(-x^2+x), 求不定积分 exp(-x^2+x)
求不定积分 exp(-x^2+x)
阿波罗1504号 求不定积分 exp(-x^2+x)
原函数不是初等函数这积分应该属于概率沪绩高啃薨救胳寻供默误差函数那类型吧？可以查表的。∫ e^(- x² + x) dx= ∫ e^[- (x² - x)] dx= ∫ e^[- (x² - x + 1/4 - 1/4)] dx= ∫ e^[- (x² - x + 1/4) + 1/4] dx= ∫ e^[- (x - 1/2)²] ? e^(1/4) d(x - 1/2)= √π/2 ? e^(1/4) ? erf(x - 1/2) + C定积分则有特殊值：∫(-∞→+∞) e^(- x² + x) dx = √π ? e^(1/4)补充一下，我是大一新生，曾经也是物理竞赛党，我并非不知道e的x次方在x趋近于0时近似为x+1，只是求众位讲一下为什么，这些都是书上的结论以及在已知a的x次方求导为a的x次方×㏑a的前提下知道的，但是对e的本质，以及它在微积分里的重要地位并不知道。 晚生愚笨，没有诸位大神那么博学，只是小小的物竞一等奖而已，也浅学过一些微积分，但只学了用法，其他一概不知，对各位大神指点。
发现知乎秀优越抖机灵冷嘲热讽的回答越来越多了一堆回答说题主伸手党的，说什么高中书上有的真的有吗？这个看上去简单的问题真有那么容易解答？我只想说一句话：对于非专业的问题请保持敬畏之心想必题主是对数学有兴趣才有此一问，那我就当介绍下高数的内容了本文力求从定义出发经过严格证明得出结论，有高中基础的皆可了解文章较长且定义定理及证明较多，对数学无感的请直接跳到最后看结论即可分三个部分来解释这个问题，一二分别为预备知识，三给出证明，最后总结一、自然底数e到底是什么鬼？要回答这问题还得从极限说起，什么是极限？先来看看数列极限数列极限的定义为一数列，如果存在常数a，满足对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者说数列收敛于a，记作或对于极限的定义可以理解为可以无限接近于a，只要n足够大就可以了可以用反证法证明，极限存在则必然唯一，就是说同一数列不可能有两个不等的极限下面介绍两个重要的关于数列极限存在性的判定定理夹迫定理如果数列满足下列两条件：(1)从某项起，即存在当时总有：(2)那么数列的极限存在且证明：因为,所以根据极限的定义，可知对于任意的存在正整数当时有
同样的存在正整数当时有取则当时可得同时成立且结合可得到即根据极限的定义即知定理得证夹迫定理可以理解为两边的数列控制着中间的数列，让他收敛到a所以也叫控制收敛定理介绍第二个定理前介绍两个概念的定义如果数列单调递增或者单调递减，称数列为单调数列如果数列满足存在某个实数M使得恒成立那么称数列为有界数列单调有界原理如果数列是单调且有界的，那么必定有极限证明：不妨假设是单调递增的，即满足又已知是有界的，则也是有上届的，即存在实数M使得并且存在一个最小的上界称之为上确界（此处用到了确界原理：即任何有界数集必有确界，定理的证明需要用到实数的连续性，将又是另一浩大工程，此处不再详细介绍，有兴趣的自行搜索）设上确界为即任何比小的数都不再是的上界也就是说对于任意的，存在，使得
（不再是上界的严格的数学描述）又由于是单调递增的，所以对于任意的都是即
由极限定义可知定理得证自然底数e的定义好，有了上面的知识我们可以来了解e到底是个什么鬼了被称为数学英雄的欧拉曾研究并证明了下面这个数列是收敛的于是把它的极限定义为自然底数e即证明：考虑和的展开式，根据二项式定理我们知道的第k-1项得到的第k-1项得到经比较不难发现又因为展开后还多一项，所以有即单调递增又考虑所以即是有上界的根据单调有界原理所以是收敛的往下继续前我们要先补充一下关于函数的极限，类似于数列极限函数极限的定义设在点的某一去心领域（可理解为该点附近去掉该点的一个集合）有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当满足时，对应的满足，那么就称常数为函数当时的极限，记作或特别的有当时的函数极限的定义，大致意思相同，不再赘述理解同数列极限函数值可以无限接近，只要自变量足够接近就够了可以证明夹迫定理和单调有界原理同样适用于函数极限下面指出证明：任意的，都存在使得成立，则由于和同时趋向于根据极限运算法则和的定义可以知道上式左右两边极限均等于根据夹迫定理即可得证注：由于未详细介绍极限运算法则故证明中只指出了事实并且只给出了趋向于正无穷的极限的简要证明，趋向于负无穷略去不表至此准备工作已经完成一半，我们还需要了解导数的本质二、导数——瞬间变化率导数想必大家都有所了解就不多说直接给出定义导数的定义设函数在点的某领域有定义，当自变量增加，相应的函数值取得增量，如果极限
存在，则称在处可导，极限值称为该点的导数，记作，如果在上每一点均可导，那么可以建立一个映射，则得到函数的导函数，简称函数的导数，可记为或或下面给出一个关于反函数的导数的重要性质反函数求导法则函数定义域上存在反函数，可记作由于立马得到理解此式要抓住自变量不同ok，至此准备工作全部完成，下面来给出最终问题的证明三、证明exp'(x)=exp(x)首先我们来看看的导数由于当时所以上式由此得到了下面考虑指数函数它的反函数为根据上式所求知又根据反函数求导法则知则得到得证！总结exp(x)的导数等于他本身的最最根本的原因就是在于自然底数e的定义数学就是这么奇妙！！！看问题要看本质，数学也是一样，数学的本质就是定义数学不是一门实验科学，任何未经严格证明的东西都不能算作真数学就是这么较真，希望能解决部分人的疑惑吧ps对数学有兴趣的朋友可以看一看：
历史的顺序不是先定义e，再发现相应指数函数的导数是它本身。&br&而是先考虑一个函数的导数是它本身，然后诱导出e.&br&&br&也就是说，应该从微分方程&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dy& alt=&\frac{dy}{dx}=y& eeimg=&1&&出发导出e.&br&&br&具体的方法，幂级数是一种，不过大多数人都知道。&br&除此之外，还有一个东西叫做欧拉折线法。&br&&br&假设初始值&img src=&///equation?tex=y%280%29& alt=&y(0)& eeimg=&1&&已知,那么你用欧拉折线法很容易得解：&br&&br&&img src=&///equation?tex=y%3Dy%280%29+%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%281%2B%5Cfrac+xn%29%5En& alt=&y=y(0) \lim_{n\to\infty}(1+\frac xn)^n& eeimg=&1&&&br&&br&当然，严格讲应当先检查微分方程解的存在唯一性，以及欧拉折线法的适用性。
历史的顺序不是先定义e，再发现相应指数函数的导数是它本身。而是先考虑一个函数的导数是它本身，然后诱导出e.也就是说，应该从微分方程\frac{dy}{dx}=y出发导出e.具体的方法，幂级数是一种，不过大多数人都知道。除此之外，还有一个东西叫做欧拉折线法。假…
因为自然对数的定义其实是1/x的积分：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cln+x%3D%5Cint%5Ex_1%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt& alt=&\ln x=\int^x_1\frac{1}{t}dt& eeimg=&1&&&br&所以&br&&img src=&///equation?tex=%28%5Cln+x%29%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&(\ln x)'=\frac{1}{x}& eeimg=&1&&&br&自然指数是自然对数的反函数，所以&br&&img src=&///equation?tex=y+%3D+e%5Ex%2C+x+%3D+%5Cln+y& alt=&y = e^x, x = \ln y& eeimg=&1&&&br&用反函数求导的方式得到：&br&&img src=&///equation?tex=1+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7By%7Dy%27& alt=&1 = \frac{1}{y}y'& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=y%27+%3D+y& alt=&y' = y& eeimg=&1&&&br&&br&其他的性质才是用这个性质推导出来的，比如说&br&&img src=&///equation?tex=%5Cln+ab+%3D+%5Cint+%5E%7Bab%7D+_+1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt+%3D+%5Cint+%5E%7Ba%7D+_+1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt+%2B+%5Cint+%5E%7Bab%7D+_+a+%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt+%3D+%5Cint+%5E%7Ba%7D+_+1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt+%2B+%5Cint+%5E%7Bb%7D+_+1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bau%7Ddau+%3D+%5Cln+a+%2B+%5Cln+b& alt=&\ln ab = \int ^{ab} _ 1 \frac{1}{t}dt = \int ^{a} _ 1 \frac{1}{t}dt + \int ^{ab} _ a \frac{1}{t}dt = \int ^{a} _ 1 \frac{1}{t}dt + \int ^{b} _ 1 \frac{1}{au}dau = \ln a + \ln b& eeimg=&1&&&br&从而&br&&img src=&///equation?tex=e%5Ea+e%5Eb+%3D+e%5E%7Ba%2Bb%7D& alt=&e^a e^b = e^{a+b}& eeimg=&1&&&br& 这样才能发现原来&img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&&是个指数函数，然后再推导出对应底数的值。要不然你以为我们随便定义一个e很好玩吗……
因为自然对数的定义其实是1/x的积分：\ln x=\int^x_1\frac{1}{t}dt所以(\ln x)'=\frac{1}{x}自然指数是自然对数的反函数，所以y = e^x, x = \ln y用反函数求导的方式得到：1 = \frac{1}{y}y'所以y' = y其他的性质才是用这个性质推导出来的，比如说\ln ab = …
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