实数相乘的定义是什么？
自然数的乘法可以看作重复进行的加法，有理数的乘法可以看作整数乘除法的推广，那实数乘法的定义是什么呢？主要是想不明白无理数乘以无理数究竟是如何进行的。。。
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要搞清楚这个问题，关键是你要知道实数是什么？也就是，所谓实数就是满足的一个集合。有很多种方法可以构造实数，我觉得最容易理解的是使用来构造实数。简单的说，每个实数实际上就是一系列等价的有理数柯西列。比如π这个无理数，可以理解为有理数上的一个柯西列当然你还可以写成其它有理数柯西列的形式，但它们都是等价的，并且它们都对应π这个无理数。那么，现在对于任意两个实数x, y，实际上我们是两个有理数上的柯西列可以证明数列也是有理数上的柯西列（注意：这里使用的是有理数上定义的乘法），自然我们就把这个新的柯西列记作，定义为实数x与y的乘积。更多的信息可以参考： 中的Construction from Cauchy sequences.
正实数的乘法可以定义为其余根据正负号关系推广。
不是学习数学的，作为门外汉我说一点自己的理解，不知道从这个角度可不可以理解这个问题啦。当一个集合对于两种运算操作加法和乘法封闭，其中加法满足交换律和结合律。乘法满足交换律和结合律，然后再满足一条将这两种运算结合起来的法则。(1)(2)然后可以定义这个集合为一个域，这里面的加法和乘法应该只是某种操作，是只要满足上述几条是相当任意的。就像群乘法一样。全体实数组成了一个域，所以实数上面的乘法不妨就理解成满足以上几条的一种操作。整数，有理数也构成一个域，所以其也具有乘法。域是可以给它添加元素进行扩充的。比如有理数到实数，从实数到复数的扩充。至于实数的定义，记得也可以通过集合论来下。太深的我就不了解了，以上有不准确的地方欢迎纠正。
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这种题目最好的方法就是画图象,数形结合,
很快就可以得到最大值,
交点处取到最大值.
观察图象可得,在:y=2x+15与y=x^2的左交点处取到最...
有理数和无理数统称为实数。整数和分数统称为有理数。无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。判断：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数。
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实数虚数详解
包括和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。这是初中的知识点。有理数和无理数统称为实数。在数学里，将指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i?=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。为实数的延伸，它使任一都有根。复数当中有个“虚数单位”，它是的一个，即。任一复数都可表达为，其中及皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”。复数的发现源于三次方程的根的表达式。数学上，“复”字表明所讨论的数域为复数，如复矩阵、复变函数等。
实数m取什么数值时，复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：（1）∵复数z=m2-1+（m2-m-2）i是实数，∴m2-m-2=0，∴m=-1．m=2（2）复数z=m2-1+（m2-m-2）i是虚数，∴m2-m-2≠0∴m≠-1．m≠2（3）复数z=m2-1+（m2+3m+2）i是纯虚数∴m2-m-2≠0且m2-1=0∴m=1．&&
（1）根据复数的基本概念，当复数是一个实数时，需要使得虚部等于0，得到关于m的方程，得到结果．（2）根据复数的基本概念，当复数是一个虚数时，需要使得虚部不等于0，得到关于m的方程，得到结果．（3）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果．
若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数()
测试题精选
用结构图描述数系中复数、虚数、实数、有理数、整数之间的关系．
实数m取什么值时，复数z=(m-1)+(m+1)i是．(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
当m分别为何实数时，复数z=m2-1+(m2+3m+2)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
相关知识点自然数_百度百科
用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码（0，被目前多数教材和国外学术性教材所认同）1，2，，4，……所表示的数（有争议） 。表示个数的数叫自然数，自然数由0(1，有争议)开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
自然数概述
从0开始还是从1开始饱受争议。从上来讲，自然数从1开始，在中，自然数从0开始。我国中小学教材中自然数是从0开始，《》中自然数是从1开始。可以指正整数或非负整数，在数论通常用前者，而集合论和则多数使用后者。[1]
自然数数学术语
集是全体组成的集合，常用 N 来表示。有无穷无尽的个数。
【拼音】zì rán shù
【英译】natural number[2]
自然数一般概念
自然数是一切等价有限共同特征的标记。
注：包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是。
自然数的基本要求
相除的结果未必都是自然数，所以和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
（序数理论是数学家G.提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义） 　自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。 ⑤不同元素有不同的后继者。⑥（）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。
理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的路线，门牌号码，邮政编码等。
自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。
全体组成的集合称为非负整数集，即自然数集。）
在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为、。：1：个、十、百、千、万、十万......
总之，自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、、等就不算在其内了。
自然数严格定义
这个命题被称为皮亚诺算术公理，该公理声明了自然数集
的存在性。
其中，第二条中声明的单射
被称为后继映射，是我们生活中所习惯的“
第三条则声称，存在一个数是自然数的起始点，它不是任何数的后继。
第四条则是我们所熟知的归纳假设，它使得在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射），任何无限集都满足第二和第三条，而只有自然数集才能满足所有这四条的限定。
由第四条，我们就可以使用数学归纳法：
来证明自然数集中有关的命题。
自然数性质
1.对自然数可以定义和。其中，加法运算“+”定义为：
a + 0 = a；
a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理，乘法运算“×”定义为：
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
自然数的和可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
2.有序性。的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
3.无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。
对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如:
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
4.传递性：设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1&n2，n2&n3，那么 n1&n3。
5.三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1&n2，n1=n2或n1&n2。
6.最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm（m&n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。[3]
自然数分类
自然数按是否是偶数分
可分为奇数和偶数。
1、奇数：不能被2的数叫。
2、偶数：能被2整除的数叫。也就是说，除了奇数，就是偶数
注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）。
自然数按因数个数分
可分为质数、合数、1和0。
1、质 数：只有1和它本身这两个的自然数叫做。也称作素数。
2、合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做。
3、：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。
4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。
备注：这里是因数不是。[4]
自然数数列
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n，称为自然数列。
自然数列的通项an=n。
自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2
自然数列本质上是一个，首项a1=1，公差d=1。
自然数关于0（多数教材认同其为自然数之首）
自然数0的争议
对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。
在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。
现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做，记作N，而记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和。
自然数0的来由
0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字）。0这个数据说是由人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于是以运算为主（西方当时以并在开头写了“印度人的9个数字，加上人发明的0符号便可以写出所有数字……”。由于一些原因，在初引入0这个到时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。 　0的另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现首都期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。
自然数0的性质
0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即X&0）时，称为正数；反之，当X小于0（即X&0）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数就是0。
0既不是也不是，而是介于-1和+1之间的整数。
0是最小的。
0的是0，即，-0=0。
0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。
0乘任何都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。
0没有和，一个非0的数除以0在实数范围内。
0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数。
除0外，任何数的的0次方等于1。
0的0次方是悬而未决的，在某些领域定义为1，某些领域未定义。不定义的理由是以为考量，不定义不连续点。
0不能做的和。
0也不能做、的、的。
0在中起作用，如中的0表示上没有，切不可写作。
0不可作为多位数的最高位。
当0不位于其他数字之前时表示一个有效。
0的等于1。
0始终是直角的。
0是正数和负数的。
任何数乘0都得0。
0是最小的自然数。
分式中分母为0无意义。
在集中，0是模最小的数，而且是唯一一个无定义的元素。
低阶无穷小与高阶无穷小的比值是0。
定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为0。
概率论中，用0表示不可能事件，或者在连续概率分布中位于某一特定自变量这一事件的概率。[5]
自然数应用
1、自然数列在“”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式
第1条射线和其它射线组成n-1个角，第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角，依此类推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式
第1个点和其它点组成n-1条线段，第2个点跟余下的其它点组成n-2条线段，依此类推同样可以得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
．维基百科，自由的百科全书[引用日期]
．自然数-英文-英语[引用日期]
．自然数的5个基本性质详细讲解-自然数论坛，自然数论坛．[引用日期]
．自然数的分类[引用日期]
．最小的自然数． [引用日期]
企业信用信息三角函数也可以是关于实数的函数，这样定义有什么实际应用呢？_百度知道
三角函数也可以是关于实数的函数，这样定义有什么实际应用呢？
提问者采纳
以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题、思想和方法，在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向，构造数学模型，要求学生能够运用所学的数学知识。而三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一。由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，将实际问题转化成数学问题
不太明白以数量直接代替角这样定义为什么还有实际问题符合这种函数模型……
那个交汇点是不错，和高数也有关系，高大上啊
老师？？？
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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