求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)12
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求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)12
求递推数列的通项公式的九种方法；利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高；一、作差求和法；例1在数列{an}中，a1?3,an?1?an?；，求通项公式an.；n(n?1)；111111?则a2?a1??,a3?a2??n；111111；a4?a3??，……，an?an?1??逐项相加；34n?1nnn；二、作商求和法；例2设数列{an}是首项为1的
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1
在数列{an}中，a1?3,an?1?an?解：原递推式可化为：an?1?an?1，求通项公式an.n(n?1)111111?则a2?a1??,
a3?a2?? nn?11223111111a4?a3??，……，an?an?1??逐项相加得：an?a1?1?.故an?4?.34n?1nnn 二、作商求和法例2
设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0（n=1,2,3…），则它的通项公式是an=xxx（2000年高考15题）解：原递推式可化为：[(n?1)an?1?nan](an?1?an)=0
∵ an?1?an＞0，22an?1n?ann?1则aaa21a32a4311n?1逐项相乘得：n?，即an=. ?,?,?,……，n?na1na12a23a34an?1n 三、换元法例3
已知数列{an}，其中a1?题改编）.解：设bn?1?an?an?1，原递推式可化为：
bn?1?4131,a2?，且当n≥3时，an?an?1?(an?1?an?2)，求通项公式an（1986年高考文科第八393an?an?1bn?2,{bn}是一个等比数列，b1?a2?a1???，公比为.故bn?1?b1?()n?2?()n?2?()n.故1311?()n.由逐差法可得：an??()n.
3223例4已知数列{an}，其中a1?1,a2?2，且当n≥3时，an?2an?1?an?2?1，求通项公式an。解 由an?2an?1?an?2?1得：(an?an?1)?(an?1?an?2)?1，令bn?1?an?an?1，则上式为bn?1?bn?2?1，因此{bn}是一个等差数列，b1?a2?a1?1，公差为1.故bn?n.。由于b1?b2???bn?1?a2?a1?a3?a2???an?an?1?an?1 又b1?b2???bn?1?所以an?1?n(n?1)211n(n?1)，即an?(n2?n?2) 22 四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a0，a1，an…，an，…满足anan?2?an?1an?2=2an?1
(n?2)且a0?a1?1，求{an}的通项公式.解
将递推式两边同除以an?1an?2整理得：ana?2n?1?1 an?1an?2设bn=ana1，则b1?=1，bn?2bn?1?1，故有 an?1a0b2?2b1?1
⑴b3?2b2?1
…bn?2bn?1?1
(n?1)由⑴?2n?2+ ⑵?2n?3+…+(n?1)2得bn?1?2?22???2n?1=2?1，即0nann=2?1. an?1逐项相乘得：an=(2?1)2?(22?1)2???(2n?1)2，考虑到a0?1，(n?0)1?故 an??
222n2(n?1)(2?1)(2?1)???(2?1)? 五、取倒数法例6
已知数列{an}中，其中a1?1,，且当n≥2时，an?an?1，求通项公式an。2an?1?1解
将an?an?11111两边取倒数得：??2，这说明{是一个等差数列，首项是?1，公差为2，所以anan?1ana12an?1?111. ?1?(n?1)?2?2n?1，即an?2n?1an 六、取对数法例7
若数列{an}中，a1=3且an?1?an（n是正整数），则它的通项公式是an=xxx（2002年上海高考题）. 解
由题意知an＞0，将an?1?an两边取对数得lgan?1?2lgan，即为2的等比数列，lgan?lga1?2n?122lgan?1?2，所以数列{lgan}是以lga1=lg3为首项，公比lgan?lg32n?1，即an?32n?1.七、平方（开方）法 例8
若数列{an}中，a1=2且an?解
将an?23?an，求它的通项公式是an. ?1（n?2）222223?an?1两边平方整理得an?an?1?3。数列{an}是以a1=4为首项，3为公差的等差数列。2an?a12?(n?1)?3?3n?1。因为an＞0，所以an?3n?1。 八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下： 1、an?1?Aan?B（A、B为常数）型，可化为an?1??=A（an??）的形式. 例9
若数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项之和，且Sn?1?Sn（n?1），求数列{an}的通项公式是an.3?4Sn解 递推式Sn?1?Sn11可变形为?3??4
（1）Sn?1Sn3?4Sn???3(1??)
（2） Sn1Sn?1?2?3(111?2)。故数列{?2}是以?2?3为首项，3为公比的等比SnSnS1设（1）式可化为1Sn?1比较（1）式与（2）式的系数可得??2，则有数列。11。 ?2=3?3n?1?3n。所以Sn?n3?1Sn当n?2，an?Sn?Sn?111?2?3n?n?n?1?2n。 n3?23?23?8?3?121?(n?1)??2?3n数列{an}的通项公式是an??
。(n?2)??32n?8?3n?12 2、an?1?Aan?B?C（A、B、C为常数，下同）型，可化为an?1???Cn?1=A(an???Cn）的形式. 例10
在数列{an}中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求通项公式an。 解：原递推式可化为：nan?1???3n?2(an???3n?1)
①比较系数得?=-4，①式即是：an?1?4?3n?2(an?4?3n?1). 则数列{an?4?3n?1}是一个等比数列，其首项a1?4?3∴an?4?3n?1??5?2n?1 即an?4?3n?1?5?2n?1.3、an?2?A?an?1?B?an型，可化为an?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形式。例11
在数列{an}中，a1??1,a2?2，当n?N，an?2?5an?1?6an ①
求通项公式an. 解：①式可化为：1?1??5，公比是2.an?2??an?1?(5??)(an?1??an)比较系数得?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化为：an?2?2an?1?3(an?1?2an)则{an?1?2an}是一个等比数列，首项a2?2a1=2-2（-1）=4，公比为3. ∴an?1?2an?4?3n?1.利用上题结果有：an?4?3n?1?5?2n?1.4、an?1?Aan?Bn?C型，可化为an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式。 例12 在数列{an}中，a1?求通项公式an.解
①式可化为：3，2an?an?1=6n?3
① 22(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2
比较系数可得：=-6，?2?9，②
式为2bn?bn?1 ?1{bn} 是一个等比数列，首项b1?a1?6n?9?∴bn?19，公比为.2291n?1() 2212n即 an?6n?9?9?() 故an?9?()?6n?9.12n 九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式an，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数的数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=11(an+ )，求其通项公式。
2an 求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的数列
形如a1?m1,a2?m,2n?a?2p?1n?anq(a,是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项pqan，其特征方程为x2?px?…①q若①有二异根?,?，则可令an?c1?n?c2 ?n(c,1c是待定常数）2
若①有二重根???，则可令an?(c c)?n(1c,是待定常数）c1?n22
再利用a1?m1,a2?m,可求得c1,c2，进而求得an． 2例1．已知数列{an}满足a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*)，求数列{an}的通项an． 解：其特征方程为x2?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n，?c1?1?a1?c1?2c2?2?n?1由?，得?1，
?an?1?2．c2??a2?c1?4c2?3??2 例2．已知数列{an}满足a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an．1?1?解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???，2?2?2n1?a?(c?c)??112??c??43n?2?12由?，得?1，
?an?n?1．2?c2?6?a?(c?2c)?1?2212??4 二、形如an?2?Aan?B的数列Can?DAa*n?B，a1?m） C?0,AD?BC?0,n?N(A,B,C,是常数且DCan?DAx?B2，变形为Cx…② ?(D?A)x?B?0Cx?D对于数列an?2?其特征方程为x?若②有二异根?,?，则可令an?1??a??（其中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值． ?c?nan?1??an???an???a1??这样数列?，公比为c的等比数列，于是这样可求得an． ?是首项为a??a??1?n?
若②有二重根???，则可令11，代入a1,a2的值可求得c值． ??c（其中c是待定常数）an?1??an???1?1这样数列?是首项为，公差为c的等差数列，于是这样可求得an． ?a??a??n?n?此方法又称不动点法． 例3．已知数列{an}满足a1?2,an?an?1?2(n?2)，求数列{an}的通项an．2an?1?1解：其特征方程为x?
由a1?2,得a2?a?1a?1x?2，化简得2x2?2?0，解得x1?1,x2??1，令n?1 ?c?n2x?1an?1?1an?141，可得c??， 53n?1?an?1?an?11?1?3n?(?1)n1a1?11． ?为首项，以?为公比的等比数列，??????，?an?n?数列??是以n3a?133?(?1)an?13?3?1?an?1?例4．已知数列{an}满足a1?2,an?1?解：其特征方程为x?2an?1(n?N*)，求数列{an}的通项an． 4an?62x?11，即4x2?4x?1?0，解得x1?x2??，令4x?6211an?1?2?11an?2?c由a1?2,得a2?3，求得c?1， 14???1?123121是以为首项，以为公差的等差数列，， ?数列????(n?1)?1?n???111555?an??an?a1??2?2213?5n?an?．10n?6包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、行业资料、外语学习资料、应用写作文书、中学教育、高等教育、求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)12等内容。　
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什么样的数列可以用不动点法求通项？
形如a(n+1)=[Aa(n)+B]/[Ca(n)+D]的都可以；其实很多数列都可以解出不动点来试试的……
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用不定点法求分式数列的通项公式.
求具体方法.
提问者采纳
(an-x1)+p 其中P可以用待定系数法求解，即，可以将p的表达式记住，所以记住它的解法就足够了。 典型例子。 注;(a-cx2) 简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x
然后构造数列，q=(a-cx1)&#47，只是又要待定系数：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了当f(x)=x时;(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，x的取值称为不动点：如果有能力;(a(n+1)-x1)=1&#47，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法，如果用不动点的方法;(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)&#47，cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，太复杂;(cx+d) 令， 若x1=x2 则有1&#47，又要求倒数之类的，p=2c&#47，然后再利用等差数列通项公式求解： a(n+1)=(a(an)+b)&#47。 注：如果有能力。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，然后再利用等比数列通项公式求解，此题就很容易了x=(ax+b)/(c(an)+d) 注，x2，可以将q的表达式记住;(a(n+1)-x2)=q((an-x1)&#47
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