江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）：解直角三角形及其应用_学优中考网 |
（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
解直角三角形及其应用
◆考点聚焦
1．，．．，，，，．，，，．：（）：，；；；．（）．（），，．．：，，，，，，．（）：；（）：；（）；（），．．：
tanA=______,
∠B=_______.
一条直角边a和斜边c b=______,
sinA=_____,
∠B=______.
一条直角边a和锐角A c=_______,
b=_______,
∠B=_______
斜边c和锐角A a=_______,
b=_______,
∠B=_______
3．（），，；，，．．；．．：，．（）（）（）（）．
3．．．90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
【答案】B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10,
∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．
在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
例2 （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G.
则MGEF＝20米.
∠FGN∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN72°－36°36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FNGN＝50－2030（米）.
在Rt△FNR中，
FRFN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.
1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为 A．12秒．
2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（
3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（
A．5米B．10米C．15米 D．10米【答案】. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（
. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为
6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分
A．　　B．　　C．18　　　D．19
7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)
A.36.21 米
B.37. 71 米
C.40. 98 米
D.42.48 米
二、填空题
1. （2011山东济宁，15，3分）如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为
2. 出发，要到地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距
【答案】200
3. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为
4. （2011广东株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是
5. （2011浙江义乌，15，4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其
中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是
6. (2011广东茂名，13，3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝
【答案】100
7. （2011湖北襄阳，1，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工速度，需要在的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝
m.（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
8. （2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是
m .（不考虑其它因素）
【答案】1.4
9. O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形
区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、CAD=
米.（结果精确到1米）
（参考数据： ）
【答案】260
三、解答题
1. （2011浙江金华，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解】由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α=70°时AC最大.
在Rt△ABC中，AB=6米，α=70°，
sin70°=，即0.94≈，解得AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度AC≈5.6米.
2. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．
（参考数据：=1.73）
【答案】， OB=OC=1500，
∴AB=（m）.
答：隧道AB的长约为635m．
3. （2011广东东莞，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
……………………………………………8分
4. （2011江苏扬州，25,10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°.
(1)求垂直支架CD的长度。（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据：，）
【答案】解：（1）在Rt△DCE中，∠CED=60°，DE=76，
∵sin∠CED=
∴DC=DE×sin∠CED = 38 (厘米)
答：垂直支架CD的长度为38厘米。
（2）设水箱半径OD=x厘米，则OC=(38+x)厘米，AO=(150+x)厘米，
∵Rt△OAC中，∠BAC=30°
∴AO=2×OC
即：150+x=2(38+x)
解得：x=150－76≈18.52≈18.5(厘米)
答：水箱半径OD的长度为18.5厘米。
5. ，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．
【答案】解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米． …………1分
在△中,，即．
…………2分
在△中，，即．
…………3分
解方程得：=19.2．
答：建筑物高为20.4米．
………10分
6. （2011山东威海，23，10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
【答案】B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10,
∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．
在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
7. （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G.
则MGEF＝20米.
∠FGN∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN72°－36°36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FNGN＝50－2030（米）.
在Rt△FNR中，
FRFN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.8. (2011浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档与的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆的长为20cm，点在同一条直线上，且，如图2.
（1）求车架档的长
（2）求车座点到车架档的距离.
（记过精确到1cm，参考数据：）
【答案】解（1）
车档架的长为75 cm
（2）过点作，垂足为点，
车座点到车档架的距离是63cm
9. （2011浙江省，21，10分）图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．
(1)求16层楼房DE的高度；
(2)若EF=16m，求塔吊的高CH 的长（精确到0.1m）.
【答案】ACB=∠CBG－∠CAB=15°，
∴CB=AB=16.
∴CG=BC×sin30°= 8
CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.
∴塔吊的高CH的长为69m.
10．（2011浙江台州，21,10分）丁丁要制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度（精确到个位，）
【答案】解：在Rt△BEC中，∠BCE=30?,EC=51，∴BE=≈，AE=6
在Rt△AFD中，∠FAD=45?,FD=FA=51，∴CD=6—51≈13
∴CD=13cm，BE=30cm.
11. （2011浙江丽水，，分）50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)
【解】当α=70°时，梯子顶端达到的最大高度，
∵sinα=，
∴AC = sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.
12. （2011江西，22，9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB=≈17.72，
∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
13. （2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）
【答案】解：在Rt△BCD中，
∵∠BCD=90°－30°=60°
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=60°
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.
14. （2011湖南邵阳，20，8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法。在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC=325米，求索道AB的长度。（结果精确到1米，参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
15. （2011湖南益阳，18，8分）如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高
为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE
的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大
小忽略不计）．
(参考数据，，)
【答案】解：在Rt中，，
【答案】△APQ中,,∴AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200，∵在点Q处，测得A位于北偏西49?方向，B位于南偏西41?方向，∴∠AQB=90?，在Rt△ABQ中，AB=（m）
18. （2011江苏苏州，25,8分）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）得窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于________度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）.
【答案】=20，
在Rt△PBA中，AB=PB=20≈34.6.
答：A、B两点间的距离约34.6米.
19. （2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）
解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝
∴，3x＝(x＋100)
解得x＝50＋50＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m．
20．（2011江苏泰州，23，10分）一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°．外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG ∥EH，GH=2.6cm , ∠FGB=65°．
（1）求证：GF⊥OC；
（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．
(参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91)
（2）过点G作GN⊥HE，则GN=EF，在Rt△GHN中，
sin ∠EHG=,即GN=GH sin ∠EHG=2.6 sin 65°=2.6×0.91=2.366≈2.4cm.
21. （2011广东汕头，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
22. （2011山东聊城，21，8分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图）．为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1．6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CGEF于点G（如图），求铁塔EF的高（结果精确到0．1米）．
【答案】设EG＝x米，在Rt△CEG中，ECG＝45°，CEG＝45°，ECG＝CEG，CG＝EG，＝x米，在Rt△DEG中，EDG＝60°，tanEDB＝，DG＝，CG－DG＝CD＝6， ＝6，解得x＝9＋，EF＝EG＋FG＝9＋＋16≈158，所以铁塔高约为158米
23.=200（米）.
∴B点的海拔为721－200=521（米）.
（2）∵BE=521－121=400（米），AB=1040米，
∴AB的坡度，所以斜坡AB的坡度为1：2.4.
24. （2011广东汕头，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
∴∠FBC=，∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=，BF=8
∵AD∥BC，∠A=
又∵∠FBC=∠DBF=
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=，BD=
25. （2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1：，求树高AB。（结果保留整数，参考数据：1.7）
【答案】AE于H
26. （2011四川内江，20，9分）放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小明在大洲广场上放风筝。如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝线AD与水平线的夹角为30°。为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°。已知点A、B、C在同一条直线上，∠ACD=90°。请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，，，最后结果精确到1米）
【答案】设BC=CD=x米，得
∴AD－BD=2x－=(米)
27. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分
如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM．
第一步，在中，
第二步，在中，
其中，解得．
28. (2011重庆綦江，20，6分)如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD, 点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. （结果保留根号）
【答案】：解：CBE＝45° CEAE
∴CE＝BE＝21
AE＝21＋6＝27
在RtADE中，DAE＝30°
DE＝AE×tan30°＝27×＝9
∴CD＝CE－DE＝21－9
∴该屏幕上端与下端之间的距离CD＝21－9 (米).
29.图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°≈17.72，
∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
30. （2011安徽芜湖，18，8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为.求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数).
解：根据题意可知:
在中,由得.
…………………………2分
在中,由.得………………………4分
又∵,∴.∴(m).………………7分
答：该古塔的高度约为27.3m.
31. （2011山东济宁，18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
　　　　在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．…………2分
　　　　在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．…………4分
∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得．
　　　　∵，∴（海里）．
　　　　∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．………………6分
32.如图在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某B处时，发现灯塔A在500米处；当该军舰从处向正西处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东的方向求该军舰行驶的路程．过程和结果)
【答案】解：，∠ACB=90°－60°=30°，
∴BC=（），
∴该军舰行驶的路程米.
33. （2011广东省，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
34. （2011广东省，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
∴∠FBC=，∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=，BF=8
∵AD∥BC，∠A=
又∵∠FBC=∠DBF=
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=，BD=
35. （2011江苏淮安，23，10分）题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题23-2图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.
【答案】解：如图，设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得
AEC=∠AED=90°，CAE=60°，DAE=45°，AE=BD=30m，
CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°=30+30(m).
答：铁塔CD的高度+30)m.
36. ．如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】在中，＝．
EC＝≈（）．
在中，BCA＝45°，
在中，＝．．（）．
答：电视塔高度约为120．
37.∥，坝高10m，迎水坡面的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度。
求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）
如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿方向加宽多少米？
【答案】作于。
在中，∵，且。
⑵过点作于。
在中，∵，且。
如图，延长至点，至点，
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方
总体积不变。
答：坝底将会沿方向加宽。
38. （2011江苏无锡，24，9分）(本题满分9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D。飞机在A处时，测得山头C、D在飞机前方，俯角分别为60°和30°。飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在
解：在RtABD中，BAD = 30°，BD = AB·tan30° = 6 ×
= 2．………………(2分)
∵∠BAC = 60°，ABC = 30°，ACB = 90°，∴BC = AB·cos30° = 6 ×
…………(4分)
过点C作CE⊥BD于点E，则CBE = 60°，60° = ．…………(6分)
∴BE = BC·cos60° =
，………………………………(7分)
DE = BD - BE = 2 -
∴在Rt△CDE中，CD =
答：山头C、D之间的距离为(km)．…………………………………………………(9分)
39. （2011湖北黄冈，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.
40. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔，据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米。一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图（7），已知tanα=0.15987，tanβ=0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）
【答案】解：设AB＝x米，根据题意得，
AD＝x·tanβ=0.15847x
BC=x·tanα=0.15987x
解之得，0.
答：该飞机从A到B处需44.4秒
在Rt△BCF中，∠B=30°，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，AB∥CD，
∴CD=EF，DE=CF，
∴++62=88．
解得，DE≈6.4．
即桥面DC与地面AB之间的距离约为6.4米．
42. （2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15.
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.
43.如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
小明家到公路的距离AD的长度约为68.3m.
44. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.
45. （2011广东湛江24,10分）五一期间，小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东方向，然后沿北偏东方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果精确到0.1米）
【答案】，垂足为D，则,
所以，且米，
所以AD=50米，
又，,所以DB=DP，而,
46. （2011贵州安顺，，分）．）
【答案】C作CDAB于D ，
由题意，，设CD = BD = x米，则AD =AB+BD =（40+x）米，
在Rt中，tan=，则，解得x = 60（米）．
【答案】(米)所以旗杆AB的高度为5.19米．
48. （2011湖北荆州，21，8分）（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1：3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在直角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：，，）
【答案】 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）
在Rt△OPD中，（m），
∴OE＝OD＝13m
∵tan∠EMO=i= 1： 3.7 ， ≈ 1：3.7 ∴∠EMO＝15°
由切线性质知∠OEM＝90°
∴∠EOM=75°同理得∠NOF＝75°
∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°在Rt△OEM中，tan15°＝
∴EM＝3.7×13＝48.1（m）
又EF的弧长＝30π×13÷180 ＝6.5（m）
48.1×2+6.5＝102.7（m）
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米.
, ∠B=30°, 则DE的长是(
2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）A.
3．（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=AB
4．（2011年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）A.
1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是
答案：25cm2
2．（学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知SA+SB=13，则纸片的面积是
3、(2011浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm. 则△BCD的面积为　　　　．
4．(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积_________cm2．
5.(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；
6、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是
7、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____.答案：6
8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；答案：76
9. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交于点M、N，DFAB，垂足为D，AD＝1则重叠部分的面积为
1．（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴 cm2
2．（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为
3、（2011年浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________；cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为、和，则该棱柱上底面的面积为　　　　　　．
5. （）已知是直角三角形的三条边，且，斜边上的高为，则下列说法中正确的是
。（只填序号）
③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是
6．（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A， B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为
米（计算结果精确到0.1米)
7. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于
15°或75°如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，DAB=90°，AD=2DC=4，．点M以每秒1个单位的速度，从点A沿线段AB向点B运动同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）点M线段AB运动以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若，t的值；若不，请说明理由．（3）△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；
解：（1）Rt△AQM∽Rt△CAD．∴．即，∴．
（2）或．当0＜t＜2时，点线段l交CD于点E
由（1）．即t．∴t．
∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分
当＞2时，，
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥． t
∴ CH=AD=HF= t-2
…………………………………………………………1分
∴S△PQC =PQ·CH=
………………………………………1分
综上所述 或y= ( 2<BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）
解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8， 1分
又AC>BC∴AC=8，BC=6由勾股定理AB=10△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB∴AD=6.4 -------------------------------2分∵CM平分∠ACB∴AM：MB=AC：CB解得，AM=--------------------------------- 1分∴MD=AD-AM=-----------------------------1分
（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC2AB·CD=2AC·BC
-------------------------1分
又勾股定理，得AB2=AC2+BC2∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分
∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分
∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分
3. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和
（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三
角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高。
(1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为。
若M在线段BC上，请你结合图形①证明：= h；
当点M在BC的延长线上时，，h之间的关系为
（请直接写出结论，不必证明）
（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线：y = x + 6 ； ：y = -3x+6
若上的一点M到的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。
（1）证明：连结AM
①∵, EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC
∴AC.h = AB. + AC.
又∵AB = AC
………………………………………………2分
= h ………………………………………………3分
（2）由题意可知，DE = DF =10,
∴△EDF是等腰三角形。………………………………………4分
当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，
∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为3.
∴点M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3)……………………6分
当点M在射线FE上时，依据（1）中结论
∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为9.
∴点M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9)………………………………8分
故点M的坐标为(1,3)或(-1,9)
解：（4分）
5．（(满分14分) 如图,以等边△OAB的边B所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6，点P从O点出发沿折线OAB向B点以/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以/秒的速度向点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位），当运动。
点A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;
当t=2时，____________;当t=3时，____________;
设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式;
当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
A点坐标为、交点坐标为（
当t=2时，；
对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于C点，计算得OC=3，AC=，CQ=1，PQ=
如图①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC=故M点坐标为
过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为
以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，由梯形中位线求得DF=，显然r＜DF，故⊙D与y同无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.
综上所述，满足要求的M点或
6. (2011浙江省杭州市8模)（本题满分8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为90㎝（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30㎝。当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少㎝？
解：由弧AB的长可得，∠AOB＝60°，
从而∠BOE＝∠COB＝30°，（2分）
∵OB＝90cm，
∴OE＝cm，（2分）
∴DE＝170+
cm， （2分）
7.（2011广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m
的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时
气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，
求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.
答案：过B作BD⊥CA于D，则AB＝600m，AD＝300m，BD＝CD＝300m，CA＝300(－1)m。
8.（2011深圳市全真中考模拟一）△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．
答案：解：若△ABC是锐角三角形，则有
…… (1分)
若△ABC是钝角三角形，为钝角，则有。
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD＝……（3分）
根据勾股定理，得
∴…………………………（5分）
∴。…………………………（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。
设CD为，则有…………………………（7分）
根据勾股定理，得．
即。…………………………（9分）
。…………………………（10分）
解直角三角形
一、选择题
1.（2010教育联合体）在ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是）
2.（2010安徽省模拟）如图，ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，EDBC,且ED=AE,DF=AF,则CE的长是（
3.（2010北京市朝阳区模拟）正方形网格中，如图放置，则的值为（
5.(2010年聊城冠县实验中学二模)正方形网格中，∠AOB如下图放置，则
tan∠AOB的值为（
6.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF，AD的延长线相交于G，下面结论：①BD＝BA＝BHE，③AB＝BH
A．①②③④
7.（2010年江模如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为
A．（－，）
B．（，）C．（－，）
D．（0，0） 8.（2010年武汉市中考拟）如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则
9.(2010年厦门湖里模拟)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则A．
中，，则的值为（
11.（2010年天水模拟）如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D 处，在D处测得建筑物项端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（
12.（2010年广州中考数学模拟试题一）已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于A.
13．( 2010年山东菏泽全真模拟?方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 （　　）
14．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)
二、填空题
1.（2010安徽省模拟）化简
2.(2010年三亚市月考).如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为
3.（2010年天水模拟）如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=,则AC的长度是
答案：240cm
4.（2010年重庆市綦江中学如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）
．答案： 5.1m
5.（2010年江模AOB的正切值是
6.（2010年山东新泰）若△ABC中，∠C=90°,AC:BC=3:4,那么sinA=　
7.（2010年，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得．①的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：
__________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
答案：①3，4（提示：答案不惟一）；
②裁剪线及拼接方法如图所示：图中的点可以是以为直径的半圆上的任意一点（点除外）.的长分别为两个小正方形的边长
8.（2010年与完全重合，，，则
9．(2010年江西省统一考试样卷)比较大小：sin33°＋cos33°
1.（可用计算器辅助）
10.（2010年河南中考模拟题1）
三、解答题
1.（2010年，
∵抛物线过原点，
∴抛物线的解析式为．
（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是．
解之，得　，．
∴满足条件的点有两个：，．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知，．
如图，若与相似，必有．
设交抛物线的对称轴于点，显然．
∴直线的解析式为．，得，．
过作轴，垂足为．在中，，，
∴，，与不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．
2.（2010北京市朝阳区模拟） .
=3.（2010北京市朝阳区模拟）小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算结果精确到0.1米，)
解：在RtBCD中，CD=BC×sin60=20×
又DE=AB=1.5
∴CE=CD＋DE=(米)
答：此时风筝离地面的高度约是18.8米.（2010教育联合体）计算：
原式＝ ＝2（2010安徽省模拟）
解：如图，依题意得∠CBD=600 , ∠CDB=900,设BD=x m,则AD=(20+x) m
在Rt△ACD中，∠CAD=450 , ∠CDA=900
∴x=10(+1)
∴CD=x=(30+) m ,即楼高为(30+) m
6.(2010年三亚市月考) 如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度。（≈1.41，≈1.73）
解：由题意可知 CD=10米，BD=1.5米，∠ACD=60°.
在Rt△ACD中，AD=CDtan60°= 10
∴AB=AD+DB=10 + 1.5 ≈10×1.73 + 1.5 =18.8（米）
答：该塔的高度是18.8米
7.(2010年聊城冠县实验中学二模)九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角.
（1）如上图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB＝36°，那么的度数是___________；
（2）如上图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；
（3）全班总结了各组的方法后，设计了如上图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点P到护坡石坝底部B的距离为米，如果利用（1）得到的结论，请你用表示出护坡石坝的垂直高度AH。（，）
解．（）72°（2）3（3）如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍。已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD＝55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米？（精确到0.1米）。
（参考数据：tan55°=1.4281,tan35°=0.7002）。
由矩形BCEF得到CE=BF，BC=EF
得到∠CAB=55o
得到BC=ACtan55o
9.（2010年广州市中考七模）、如图，某电信公司计划修建一条连接B、C两地的电缆。测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，求电缆BC的长（结果保留根号）.解：画BE、CF均垂直于AM，垂足分别为E、F；画BD⊥CF于D.
则四边形BEFD是矩形. 设BD=x，由题意得
AF=CF=200，EF=BD=x,AE=200－ x
∵∠CBD=60°，∴CD=tan60°·BD=x，BE=DF=200－x∵= tan∠BAE= tan30°=，
∴BC=2x= （m）证明如下：
∵ＢＣ＝ＢＤ（旋转变换的性质）
即⊿ＢＣＤ为等腰三角形，
又∵∠ＥＢＤ＝∠ＡＢＣ＝６０°（旋转变换的性质），
而点Ａ、Ｂ、Ｄ在一条直线上，
∴∠ＣＢＥ＝１８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＤ）
＝６０°＝∠ＤＢＥ　
即ＢＥ平分等腰⊿ＢＣＤ的顶角，
∴ＢＥ垂直平分底边ＣＤ（“三线合一”定理）
∴ＣＥ＝ＤＥ（线段中垂线性质）
而ＤＥ＝ＡＣ
故ＡＣ＝ＣＥ　
（也可证⊿ＢＣＥ≌⊿ＢＣＡ，可参照给分）
11.（2010年广东省中考拟）计算 ：.
解:　原式＝
（注：只写后两步也给满分.）
12.（2010 年河南模拟）计算：
答案：-8；
+ ()0 + 2sin30?
答案：解：原式＝－4＋1＋1＝－2
14.（2010 年河南模拟）又到了一年的春游季节，某班学生利用周末到白塔去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的对话：
甲：“我站在此处看到塔顶仰角为60°.”
乙：“我站在此处看到塔顶仰角为30°.”
甲：“我们的身高都是1.5米.”
乙：“我们相距20米.”
请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）.
答案：36米
15.（2010 河南模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵
高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
16.（2010年杭州月考）如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长。
答案：∵斜坡AB的坡比，
∵AE：BE=，又AE=6 m
∴AB=（m）
作DF⊥BC于F，则得矩形AEFD，有DF=AE=6 m，
∵∠C=60° ∴CD=DF·sin60°= m
答：斜坡AB、CD的长分别是 m ， m.
17.（2010年铁岭市加速度辅导学校）如图，为了测量电线杆的高度，在离电线杆25米的处，用高1.20米的测角仪测得电线杆顶端的仰角，求电线杆的高．（精确到0.1米）
参考数据：，，，．
解：在中，
答：电线杆的高度约为11.3米
18．2010年广州中考数学模拟试题(四)杭州市在规划钱江新城期间，欲拆除钱塘江岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2（即tan∠CDF=2），岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)
由tan∠CDF＝＝2，CF＝2米∴DF＝1米，BG＝2米∵BD＝14米∴BF＝GC＝15米在Rt△AGC中，由tan30°＝
∴AG＝15×＝≈5×1.732＝8.660米∴AB＝8.660＋2＝10.66米BE＝BD－ED＝12米∵BE＞AB∴不需要封人行道1.5米）测得旗杆顶端的仰角为，朝旗杆方向前进23米到处，再次测得旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度．
答案：，，
所以DC=DE=23米.
在中,由，得
又FG=CA=1.5米,
因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13（米）.
答：旗杆的高度为13米.
20.（2010年河南中考模拟题）sin80≈，cos80≈，tan80 ≈）
答案：∵l∥BC
∴∠ACB==80
在Rt⊿ABC中，tan=，∴BC=≈=42
根据题意得h2+422=(h+6)2，∴h=144
一、基础过关训练
1．，（）．．．．．，，，（），，（）．．．．．，，，，=_____．．，，，，（）．．，，，，？（）．（），．，，，，，．（）．，，．，，．，，，．，，．（）？；（），？（）？．．．：．．：．，，，．=x，=x，x=200．，米．．：，，，，，．．，，．，=．x．，，x=18，（）．，（）．（）．．：（），，．，，，（）（），，．（），，（）．，．=30（），km．，h．（），，=6.5（）．
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（第13题）
（第23题）
（22题图）
（第25题解答图）
（第8题图）
（第17题）
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11:53:20 上传频道：学科：年级：九年级地区：江苏类型：新课标版本：中考复习只看标题相关资料不等式课后练习主讲：在数学表达式：①?3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有(　　)依据不等式的定义──在下列各式中：①a+3；②；③3x＜5；④y≤0；⑤m≠1，属于不等式的有(　　)
D．已知a?b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a?1＜b?1
B不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式的定义题一：①x+y=1；②x≤y；③x?3y；④x2 ?3y＞5；⑤x＜0中属于不等式的有(　　)A．2个
D．5个不等式的性质题二：已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是(　　)A．ac＞bc
C．c?a＞c?b
不等式与方程课后练习主讲：若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数，求m的取值范围．如果关于x、y的方程组的解是负数，求a的取值范围．如果关于x的方程x+2m?3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取值范围．符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[5]=5，[6.31]=6．如果，这样的正整数x有______个．已知x+3=a，y?2a=6，并且．(1)求a的取值范不等式与方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式与方程综合题一：求使方程组的解、都是正数的的取值范围？金题精讲题一：的解不大于1，且m是一个正整数，试确定x的值．题二：?2a= 4，并且．(1)求a的取值范围；(2)比较a2+2a?3与a2+a?1的大小．题三：已知、同时满足三个条件：?2y=p；?3y=2+p；y．则的取值范围是的解集．不等式与方程不等式与方程应用题课后练习主讲：某初级中学八年级(1)班若干名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上(含25人)8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，那么他们至少有多少人？某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．有一群猴子，一天结伴不等式与方程应用题主讲教师：傲德重难点易错点辨析列不等式解应用题题一：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？不等式与方程综合解应用题题二：有红、白两种颜色的小球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的个数的2倍比红球多；若给每个白球都写上数字“2”，给每个红球都写上数字“3”(每个小球只能写上一个数垂直平分线与角平分线课后练习主讲：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（　　）∵BM=BN，∴点B在直线l上（　　）垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾垂直平分线题一AC=AD，BC=BD，则有（　　）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OBD．AB垂直平分OP学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是　　．在下面四种正多边形的瓷砖中，用同一种瓷砖能镶嵌成一个平面图案的是（　　）A．B．C．D．题二：题面：有一程序，如果机器人在平地上按如图的步骤行走，那么机器人回到A点处共走的路程是（　　）A．24米B．48米C．15米D．30
学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）A．正六边形
B． 正七边形
C． 正八边形
D． 正九边形下列平面图形中不能镶嵌成一个平面图案的是（　　）A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？n边形：内角和=180°(n?2)外角和=360°每一个顶点出发的对角线=n?3对角线总条数=正多边形：边长相等、内分式课后练习（）主讲：在代数式，，，，中，分式的个数是(
D．5当x_____时分式有意义设A， B都是整式，若 表示分式，则（　　）A．A，B都必须含有字母B．A必须含有字母C．B必须含有字母D．A，B都不必须含有字母下列各式中，不论字母x取何值时分式都有意义的是(
分式课后练习（一）主讲：下列各式:①；②；③；④．其中分式有(
D4个已知分式的值是零，那么x的值是(
D．±1下列说法中正确的是(
)A如果A、B是整式，那么就叫做分式B分式都是有理式，有理式都是分式C只要分分式的基本性质课后练习()主讲：不改变分式的值，使分式的分子、分母不含负号．(1) (2) ．等式中的未知的分母是(
B．a2 +a+1
C．a2 +2a+1
D．a?1填空．分式中的字母x，y都扩大为原来的4倍，则分式的值(　　)A．不变B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的8倍将分式的基本性质课后练习(一)主讲：． 的结果是(
D．填空．若将分式a、m，n均为正数中的字母a、m，n的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为(　　)A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的倍C．不变D．无法确定化简=__________已知x=xy=1，则=____________要使分式 ，a的值分式的运算课后练习（一）主讲：计算÷(x+3)·的结果为(
D．计算．计算．若成立求a的取值范围已知y＝，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n，p，q都是正整数），显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有．1)探索上式分式的运算课后练习（一）主讲：化简÷(y-x)·的结果是(
D．计算(1)；(2)计算÷()．若，求A，B的值．已知代数式5+，请说明在代数式有意义的条件下，无论a取何值代数式的值不变．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫分式的运算主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：化简：考点：分式的乘除、乘方题二：化简：考点：分式的加减金题精讲题一：考点：分式的混合运算题二：若，求的值．试说明：只要原式有意义，无论x取何值，y值均不变．考点：分式的运算题四：我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如(1)根据以上规律，请填空：分式方程课后练习（）主讲：解方程：．若方程有增根，则它的增根是(
D．1和?1如果关于x的方程 有增根，那么a的值是
．阅读下面材料，并完成下列问题．不难求得方程x+＝3+的解为x1=3，x2＝；x+＝4+的解为x1=4，x2＝；x+＝5+分式方程课后练习（一）主讲：解分式方程：．k为何值时，方程会产生增根?若关于x的方程有增根，试求k的值．阅读下列材料解答下列问题：观察下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7(1)按此规律写出关于x的第n个方程为
，此方程的解为 n或n+1
．(2)根据上述结论，求出x+＝2n+2(n≥2)的解．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比分式方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：解方程：考点：分式方程的解法题二：若x=1是方程的增根，则m的值为
．考点：分式方程的增根金题精讲题一：有增根，求a的值．(2)当a为何值时，方程无解题二：的解为方程的解为方程的解为(1)观察上述方程，则关于x的方程的解是
；(2)根据上述规律，则关于x的方程的解是
分式计算的拓展课后练习（）主讲：化简并求值．已知：x2?5xy+6y2=0，那么的值为若x＞0，试比较和的大小．已知两个分式A=，B=，其中x≠2，则A与B的关系是
已知a＞b＞0，m＜0，比较的大小．已知，求的值．已知方程x2+3x?5=0的两根为x1、x2，求值．分式 的最小值是多少？课后练习15．详解：=15答案：．详解：∵x2?分式计算的拓展课后练习（一）主讲：化简并求值.先化简，再求值： ，其中x=，y=3．比较a与的大小．已知A=，B=，当x≠?1时，比较A与B的大小．已知a，b，m是正实数，且a＜b，求证：．已知：，求代数式的值．已知，x2?5x?1=0，求：（1）x2+（2）2x2-5x+．分式的最小值是
课后练习-15.详解：原式= .3?.详解分式计算的拓展主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：计算：考点：负指数幂、零指数幂题二：已知，求的值．考点：分式的条件化简求值题三：已知x> ??4，求与的大小关系．考点：分式比大小金题精讲题一：，且x为整数．则A与B有什么关系？考点：负指数幂题二：，则的值为
．考点：分式的条件化简求值题四：已知，求值：(1) (2分式主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：观察下列各式，其中分式有
．考点：分式的概念题二：x满足什么条件时，分式有意义？已知分式的值为零，那么x的值是多少？考点：分式有无意义和分式的值金题精讲题一：，所以不是分式B．有分母的式子就是分式C．若A、B为整式，式子叫分式D．分数都不是分式考点：分式概念的辨析题二：无意义，求x的
学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：写出推理步骤：如图，ABD中，AB=BC=AD，则α和β有什么数量关系？请结合已知条件推理出一个等式．如图，A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.题二：题面：如图，AD是ABC的角平分线．DEAC，DE交AB于E，DFAB，DF交AC于F．图中学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：如图1，在ABC中，OB、OC是ABC、ACB的角平分线；（1）填写下面的表格．A的度数50°60°70°BOC的度数（2）试猜想A与BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中A与BOD的关系．如图，A+∠B
学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面： （1）如图，线段AB、CD交于点O，则∠A+∠C和∠B+∠D的关系如何？请证明.（2）如图，∠BOC、∠A、∠B、∠C有什么数量关系？请证明.（3）如图，在∠AOB中有一点P，从点P向OA、OB引线段，交点分别为M、N，则∠AMP、∠BNP、∠O、∠P之解不等式课后练习主讲：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．x2 ?8x≥2x+1B．x+＜0C．x(x?1)＞0D．x?5＞0下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2(1?y)+y≥4y+2B．x2 ?2x?1≤0C．+≠D．x+y≤x+2解不等式5x?12≤2(4x?3)．解不等式≤5?x．已知x=3是不等式mx+2＜1??4m的解不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析一元一次不等式的定义题一：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2x?1＞0B．?1＜2C．3x?2y≤?1D．y2+3＞5解一元一次不等式题二：(1)4(x?1)＞5x?6(2)(3)金题精讲题一：?1≤13解集中的最大值，n是关于x的不等式?3x?1≤?7解集中的最小值，求不等式nx+mn＜mx的解