反双曲线ln函数图象中archx=ln（x+根...

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高等数学教材中的常见瑕疵献给一年级大学生和高等数学教师-潘鼎坤.pdf97页
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高等数学教材中的常见瑕疵
――― 献给一年级大学生和高等数学教师
西安交通大学出版社
内 容 提 要
作者根据国际上多种著名数学书籍，经过认真的对比、分析、研究，指出
我国高等数学教材中的一些常见瑕疵或不妥之处，并且对每个指出的问题提
出具体的修改意见。全书通过摆事实、讲道理，阐述了作者的见解，供学习高
等数学课程的本科生、大专生及高等数学教师参考。
图书在版编目（
高等数学教材中的常见瑕疵：献给一年级大学生和高
等数学教师／潘鼎坤著 ― 西安：西安交通大学出版社，
２００６．４
ＩＳＢＮ７
．高．．．
．潘．．．
．高等数学 教材 研究
高等学校　 Ⅳ．０１３
中国版本图书馆
数据核字（
０３５１４７
名 高等数学教材中的常见瑕疵
――― 献给一年级大学生和高等数学教师
出版发行 西安交通大学出版社
址 西安市兴庆南路
号（邮编：
７１００４９
（发行部）
０２９ ８２６６８３５７
８２６６７８７４
（总编办）
０２９ ８２６６８３１５
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函数的极限1
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∵y=chx是偶函数（一个y值对应两个x值）∴y=chx本身不存在反函数,只能取它的一部分求反函数chx=[e^x+e^(-x)]/2≥2/2=1,x≥0要求反函数x=[e^y+e^(-y)]/2e^2y-2xe^y+1=0e^y=x±√(x²-1)∴y=ln[x±√(x²-1)],x≥1∵y≥0∴x±√(x²-1)≥1∴取x+√(x²-1)
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扫描下载二维码义项指多义词的不同概念，如的义项：网球运动员、歌手等；的义项：冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。
对于双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。
基本函数推导过程
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程：⒈y=c(c为常数） y'=0⒉y=x^n y'=nx^(n-1）3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x⒋y=logax(a为底数，x为真数） y'=1/x*lnay=lnx y'=1/x⒌y=sinx y'=cosx⒍y=cosx y'=-sinx⒎y=tanx ⒏y=cotx y'=-1/sin^2x⒐y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）⒑y=arccosx y'=-1/√（1-x^2）⒒y=arctanx y'=1/（1+x^2）⒓y=arccotx y'=-1/（1+x^2）⒔y=u^v ==& y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1） * v
引用的常用公式
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：⒈y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x）中把x看作变量』⒉y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2⒊y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。⒊y=a^x,△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。⒋y=logax△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[（1+△x/x)^x]/x△y/△x=loga[（1+△x/x)^(x/△x)]/x因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有lim△x→0△y/△x=logae/x。可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以y'=e^nlnx·（nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1）。⒌y=sinx△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）/△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）·lim△x→0sin（△x/2）/（△x/2）=cosx⒍类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。⒎y=tanx=sinx/cosxy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x⒏y=cotx=cosx/sinxy'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x⒐y=arcsinxx=sinyx'=cosyy'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2⒑y=arccosxx=cosyx'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2⒒y=arctanxx=tanyx'=1/cos^2yy'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2⒓y=arccotxx=cotyx'=-1/sin^2yy'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2⒔联立：①（ln(u^v))'=(v * lnu)'②（ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与⒋y=u土v,y'=u'土v'⒌y=uv,y=u'v+uv'均能较快捷地求得结果。
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