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已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R).(1)当a=1时,证明函数f(x)只有一个零点;(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)证明:当a=1时,f(x)=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞),∴f′(x)=-2x+1=.令f′(x)=0,即=0,解得x=或x=1.∵x＞0,∴x=舍去.当0＜x＜1时,f′(x)＞0;当x＞1时,f′(x)＜0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. ∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-12+1=0.当x≠1时,f(x)＜f(1),即f(x)＜0.∴函数f(x)只有一个零点. (2)∵f(x)=lnx-a2x2+ax,其定义域为(0,+∞),∴f′(x)=-2a2x+a==. ①当a=0时,f′(x)=＞0,∴f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,不合题意.②当a＞0时,f′(x)＜0(x＞0)等价于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞.此时f(x)的单调递减区间为(,+∞).依题意,得解之,得a≥1. ③当a＜0时,f′(x)＜0(x＞0)等价于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞-.此时f(x)的单调递减区间为(,+∞).依题意,得解之,得a≤. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,］∪［1,+∞).
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＞＞＞设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；..
设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）&当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有(a2-1)2m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：吉林二模
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）&当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=x-1x令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；（Ⅱ）f′（x）=(1-a)(x-1a-1)(x-1)x当1a-1=1，即a=2时，f′(x)=-(x-1)2x≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当1a-1＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1a-1或x＞1；令f′（x）＞0，得1a-1＜x＜1当1a-1＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞1a-1；令f′（x）＞0，得1＜x＜1a-1综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在（0，1a-1）和（1，+∞）上单调递减，在（1a-1，1）上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（1a-1，+∞）上单调递减，在（1，1a-1）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=a2-32+ln2∴对任意a∈（3，4），恒有(a2-1)2m+ln2＞a2-32+ln2∴m＞a-3a2-1构造函数g(a)=a-3a2-1，则g′(a)=-(a-3)2+8(a2-1)2∵a∈（3，4），∴g′(a)=-(a-3)2+8(a2-1)2＞0∴函数g(a)=a-3a2-1在（3，4）上单调增∴g（a）∈（0，115）∴m≥115．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；..”考查相似的试题有：
281327274400398247250341488118279129&0在（0，+无穷大）上有解集。1/x-ax+2&0,(1-ax2+2x)/x&0.等价于二次方程
1-ax2+2x=0至少有一个正根。解得，a&0
二问麻烦一些了。
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已知a&0,函数f(x)=ax-bx`2.
(1）当b&0时，若对任意x∈R都有f(x)&=1,证明：a&=2√b;
(2)当b&1时，证明：对任意x∈[0...
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display: 'inlay-fix'已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在（1,f(1))处的切线与x轴平行（1）求k（2)f(x)单调区间（3）g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)
k=1 00,得0
请详细点，为什么k=1?
曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线与x轴平行，则斜率为0，在该点导数为0
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I）函数f(x)=lnx+k ex (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴f′(x)=1 x -lnx-k ex =1-xlnx-kx xex ，x∈（0，+∞）， 由已知，f′(1)=1-k e =0，∴k=1． （II）由（I）知，f′(x)=1 x -lnx-1 ex =1-xlnx-x xex ，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），可得h（...
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＞＞＞已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；..
已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值；（III）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：济宁一模
（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=1x+ax2=x+ax2…（2分）∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数&　　　　&…（4分）（II）由（I）可知，f′（x）=x+ax2．（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴[f（x）]min=f（1）=-a=32，∴a=-32（舍去）　…（5分）（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，∴[f（x）]min=f（e）=1-ae=32=>a=-e2（舍去）…（6分）（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=32=>a=-e∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=32∴a=-e．…（8分）综上所述，a=-e．（III）∵f（x）＜x2∴lnx-ax＜x2又x＞0，∴a＞xlnx-x3…（9分）令g（x）=xlnx-x3，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x2，∴h'（x）=1x-6x=1-6x2x∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）∴h（x）＜h（1）=-2＜0即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数∴g（x）＜g（1）=-1∴当a≥-1时，f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立．…（12分）∴a≥-1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；..”考查相似的试题有：
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