丽水-上海请个有经验的初二数学家教要多少钱？数学重难点精讲,数学课程班-编号:bc6443
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上海请个有经验的初二数学家教要多少钱？数学重难点精讲
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谁做的动态图？太牛了！数学原来这么简单易懂啊！
你甚至可以做成这样的效果：
谁是世界上最孤独的数？看到哪个数，你会觉得最孤独？
有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说是0，因为它没有任何存在感。有人会说是214，有人会说是419（咦）。这些都是字面上的直接联想，因人而异，很难说哪个比哪个更加孤独。
然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明，它是最“无理”的数，最难以接近的数，因而在这个意义上，是最孤独的数。
越走越近，却永远不能在一起
一个无理（irrational）数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每多写下一位数，就是用一个更加精确的有理（rational）数去逼近它。当然，这个过程永远到不了尽头。
但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不超过小学五年级。
先用一个有理数作为例子：，约等于7.。
第一级近似：7，于是它变成了 7 + 65/137。
第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65 近似是2，于是它变成了 2 + 7/65，于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。
第三级近似：对7/65进行类似处理，以此类推。
最后得到的结果是
或者，省去那些多余的1，可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。
能够证明，每一个有限的连分数都代表一个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数（要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数）。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。
同样的步骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如，π的连分式可以表示为
或者用简化的表达式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中的编号是。
使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速度”的问题：每前进一步，近似值向精确值靠近了多少呢？
回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的：
π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...
熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约率”。
如果接下来看到第三位近似:
π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...
也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。
这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？实际上，使用连分数获得的误差范围不是1/14以内，而是1/49以内！ 22/7 - π ≈ 0.0126 & (1/7)^2。
更一般地，假如一个无理数α，它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式，那么一定有
| α - p/q | & 1 / q^2
而且， 这一定是当前最好的精确值，任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开，分别是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范围内一定找不到比7更好的，1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是，7却比8、9、10……都要好。因此可以说，连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。
那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快？从上面的公式可以看出来，这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快，数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率，部分原因是因为他运气好，π开头的这俩数正好都不小，所以能给出很漂亮的逼近。
而最小的正整数，当然就是1了。
如果有这样一个数：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割数φ，1.... 如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式：0.618... 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。
我们试着逼近一下，得到的是
5/3 = 1.66666...
13/8 = 1.625
21/13 = 1.61538...
进行了6次近似，结果才到小数点后2位！刚才我们用π仅仅进行了2次近似，就精确到了小数点后6位。
（你可能注意到了，这个连分数的每一级逼近，就是传说中的斐波那契数列。为什么？你猜。）
1是最小的正整数。因此，φ，这个全部由1组成的连分数，是所有数中最难以接近的数。没有之一。
孤独的数高冷的数独一无二的数不可捉摸的数
许多人说φ是最美的数，贯穿整个西方艺术史，所有优秀的设计都要用到它。这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图，其实只是强行把一个对数螺线罩上去而已，二者并没有什么相似之处。黄金分割率是19世纪才开始流行的观念，达芬奇本人从未提过；现实中大部分比例（3:2，4:3，16:9）固然和黄金率离得不“太”远，但几乎见不到精确符合它的；人体并不严格符合黄金律；如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形，挑出来的长宽比并不是围绕黄金律的。一项实验表明，只要是1.4-1.7范围内的长方形，人们都会觉得好看。
黄金率在审美上没有什么特殊之处，我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。
请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有几毛钱的关系？图片来源： Sébastien Bertrand
然而，自然界“懂得”它的真正含义。
想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是在中心生长出来的，然后逐渐被“推”到外面去，过程中逐渐变大——因此传统的密堆方式（比如蜂巢那样的六边形）就不能用了。但是每长出一粒新的籽，你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。
如果你旋转90度，也就是1/4个圆，结果就是这样：
因为外圈的空间比内圈大，所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任何分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都是这样，形成周期的图样，而两个周期中间的地方，总触及不到。
要想避开周期，只能用无理数。结果就是这样：
大有改善，但是还有很多缝隙没用上。毕竟，无理数是可以用连分数近似的。近似得太好的话，就和分数没有太多差别。
因此，我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数，这样才不会产生周期性，才能补上中间的那些空隙。
这就是φ。它所对应的角度，大约是137.5度。
这个数字必须极其精确，不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是137.6度，多了0.1而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原理，但在自然选择的压力下它猜中了答案。
本系列图片来源：《一道八百年松鼠难题》by 桔子帮小帮主，下图不再一一注明
如果说φ里体现了美，我倒宁愿认为是它展现了自然界的一角，而不是因为似是而非的神秘主义。
不论在审美的意义上φ是否是一个美的数，在数学的意义上φ是一个高冷的数。它最为高效，然而又最难靠近，最是无理，因此，它也是最孤独的数。
而相比之下，一个人之所以孤独，则常常不是因为无理，而是因为过于理性了.
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TA的推荐TA的最新馆藏浅谈初中数学概念教学
浅谈初中数学概念教学
学习啦【中等教育】 编辑：曹天元
&&& 在过去的一段时间里，教学的&目标方向&有所偏离,片面追求升学率，甚至不惜放弃占大多数的中等生与后进生，教师的全部精力投向优等生。教师上课时始终围绕例题讲述，采取&零售&数学知识的，把数学概念当作&尾巴&来处理，不重视概念的教学，课后布置各种题型，采取题海战术，老师整天忙忙碌碌钻在题库里,学生昏昏欲睡埋到解题中。结果，中高考试卷中有练习过的题目拿得住，而稍有变化的习题就呆住了。事实证明：只要求学生解习题，而不给学生讲透数学概念、实质问题，等于只是给了学生一把对号开锁的钥匙，而不是教给学生解剖锁的结构原理。不交给学生一把万能钥匙，学生是很难找到窍门的。因此有必要进行系统而又严肃的概念教学，事实上数学知识都是以概念为基础的。要使学生获得系统的数学知识，首先必须获得清晰明确的数学概念。笔者结合教学实践谈谈本人在数学概念教学中的几点想法与体会。
&&&&&&& 一、理解概念的逻辑性
&&&&&&& 数学概念可分为两个重要方面：一是概念的&质&，也就是概念的内涵（概念的本质属性）；二是概念的&量&，也就是概念的外延（概念的所有对象的和）。假如把一个概念当作一个集合，那么概念的内涵就是这个集合里的元素的所有的共同属性的总和，而概念的外延则是这个集合中所有元素的全体。内涵和外延是不可分割的两部分,揭示概念的内涵就不能不涉及到概念的外延的问题。同时，概念的外延还有大小之分，外延大的叫做种概念，外延小的则叫做属概念。当然，种概念与属概念也并不是绝对的，有理数对实数来说是属概念，但它对整数来说又是种概念。一个概念，可能有许多的属概念。一个属概念与其他的属概念本质上的差别又称为属差。要想给某一概念下定义，首先应先向学生指出与被定义的概念最接近的概念是什么，再紧接着指出被定义概念的属差，即概念定义=种概念+属差。如：为了定义菱形，我们教学时可以先利用&平行四边形&这一学过的概念，其主要原因是&平行四边形&是菱形最接近的种概念，它规定了菱形所属的类别，但菱形不是一般的平行四边形，它以&有一组邻边相等&这一特征与平行四边形的另一属概念&&矩形区别开，这样就可以得到：菱形=平行四边形+有一组邻边相等。
&&&&&&& 为了使学生能明确被定义的概念，教师就得先做到心中有数，准确地找到与其最邻近的种概念及其属差，抓住概念的本质特征，把握定义中的关键字句，弄清概念间的区别和它们的内在联系，把握概念的内涵，加深对概念外延的理解。&
因此，我们在平时的教学中应特别注意把不同的概念联系在一起，进行比较，并从不同侧面加深对概念的理解，使它系统化、网络化，这样就不会造成学生对概念理解的模糊，从而导致错误地运用。相反，有利于学生对知识的贮藏，有利于&牵一发而动全身&。
　　二、明确概念的顺序性
&&&&&&& 苏科版教材中一般的数学概念，都是通过对实验现象或某些具体的事例的分析，经过概括而导出的，它有一个形成的过程。它们一般是从几个原始的概念或者公理出发，通过一番推理而扩展成为一系列的定义或者定理.而每一个新出现的概念都依赖着已有的概念来表达，或是由已有的概念推导出来的。例如苏科版九上中的&一元二次方程&的概念，它就是由前置概念推导而来的，它缘自于苏科版八下中&一元一次方程&的概念，而&一元一次方程& 的概念又是以苏科版七下&整式方程、方程&等作为预备概念而得出的。如果对以上某一概念不理解或者一知半解，那得出新的概念或者它的解法就会有一定的难度，因此，在平时的教学中我们一定要注意概念教学的顺序性。正是这些概念的出现的顺序性才将我们的教材有机地串联在一起，形成知识的网络结构图。
&&&& 针对概念形成的阶段性、发展性和连贯性，我们教师教学中应当注意：在学生对某些预备概念模糊不清的情况下，千万不要急于引入新概念，最好先涉及新概念的相关预备概念，尤其是对特别重要的、关键性的预备概念，教师要反复强调，以求得学生较为彻底的理解，方可为新概念的导入作出良好的铺垫。
&&&&&&& 三、掌握概念的抽象性
　　中学数学教材中的许多原始概念，如点、线、面、体、数、常数、变数等等，都是由具体的事物观察然后再抽象出来的。人们长期观察了月亮、太阳、光线、水面等具体事物，逐步形成了有关&圆&、&直线&、&平面&等带有共性的、本质的概念。这些概念是对具体的数和形的感知而形成的表象，然后再由表象经过抽象、概括而形成的。例如：正方形的面积S和它的边长a之间的关系是S=a，边长a可在a&0的范围内任意选取，对于a的每一个确定的值，其面积S都有一个确定的值与它相对应。若抛开这个个性的关系，抽出共性的东西，并加以概括，就可以得到的概念：&在某个变化过程中有两个变量x和y，若对于x在某一范围内的任一个取值，y都有惟一一个确定的值与它相对应，那么，我们就把y称之为x的函数。&由此可知，概念是人们对感性材料进行抽象的产物；感性认识是形成概念的基础。如果学生没有感性认识或感性认识不完备时，我们就应该借助于实物、模型、教具、图形或形象的语言进行较为直观的教学，从而使学生从中获得感性认识。对于一些概念（属概念），教师可以直接从已知的概念（种概念）中引入，不必再经过取得感性认识的阶段。如有理数的概念，就可以直接从整数、分数的概念中引入。
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