如图 MN是⊙O的直径mn 10,A、B、C是⊙...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-04 13:37 标签： 直径mn 10
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＞＞＞如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交..
如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若点M是的中点，CM交AB于点N，AB=8，求MN ·MC的值。
题型：解答题难度：中档来源：江苏期中题
解：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COB=2∠A，又∵∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，&又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，而OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴，∴△MBN∽△MCB，∴又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB=90°，AM=BM，∵AB=8，∴BM=4，∴MN·MC=BM2=32。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交..”主要考查你对&&直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质
直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d&r； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d&r。（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质： （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定， 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交d&r； 直线l与⊙O相切d=r； 直线l与⊙O相离d&r； （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。 直线l与⊙O相交d&r2个公共点； 直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点； 直线l与⊙O相离d&r无公共点 。圆的切线的判定和性质&&& （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：& 当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交。&相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（　　）
Kouichi8839
连接OP，可得∠MAP=
∠MOP，∠NBP=
∠NOP，∵MN为直径，∴∠MOP+∠NBP=180°，∴∠MAP+∠NBP=90°，∵∠PBN=50°，∴∠MAP=90°-∠PBN=40°．故选B．
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如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足．若OA=5cm，下面四个结论中可能成立的是（ ）A．AB=12&cmB．OC=6&cmC．MN=8&cmD．AC=2.5&cm
根据垂径定理及直角三角形的性质进行解答即可．
A、∵OA=5cm，∴MN=10cm，∵AB是⊙O的弦，∴AB＜MN=10cm，故本选项错误；
B、∵AB⊥MN于点C，在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴OC＜OA=5cm，故本选项错误；
C、∵OA=5cm，∴MN=10cm，故本选项错误；
D、∵在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴AC＜OA，故本选项正...
考点分析：
考点1：垂径定理
（1）垂径定理&&&& 平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论&&&& 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．&&&& 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．&&&& 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
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