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方差分析与多重比较
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Exel的方差分析
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你可能喜欢第七章 方差分析
第七章 方差分析
第二节 单因素方差分析
一、单因素方差分析的步骤
　　由前一节的内容和例子可知，不同水平下销售量x的概率分布服从正态
　　分布，并且有相同方差。因此，水平的差异必然体现在水平均值的差异上。
　　于是作为单因素的方差分析，其目标是检验水平均值是否相等。如果相等，我们说该因素(如前例中饮料的颜色)对x不产生影响；反之，就认为该因素对x存在影响。
　　方差分析可按以下过程进行：
　　(一)计算各因素的水平均值和总均值
　　1. 各因素的水平均值计算公式
　　（7-2）
　　式中， ：第j种水平的样本均值
　　xij :第j种水平下的第i个观察值，
　　nj :第j种水平的观察值个数。
　　2.总均值计算公式
　　（7-3）
　　式中，
　　结合表7-1中的数据，将计算结果列表7-2如下：
　　表7-2 四种颜色饮料销售量及均值 单位：千公斤
　　（二）计算离差平方和
　　在单因素方差分析中，有以下三种离差平方和：总离差平方和、误差项离差平方和、水平项离差平方和。它们的计算方法分别为：
　　1.总离差平方和（SST）
　　（7-4）
　　式中，SST：总离差平方和。它反映了离差平方和的总体情况。
　　由表7-2得知， ，则依据公式7-4可算出总离差平方和为：
　　SST = (26.5 – 28.695)2 + (28.7 – 28.695)2 + …+(32.8
– 28.695)2
　　= 115.9295
　　2. 误差项离差平方和（SSE）
　　式中，SSE：误差项离差平方和。它反映的是组内观察值的离散状况。这种离散状况是由随机因素带来的影响。
　　在表7-2的例子中，对于水平1（第一组）有：
　　= 10.688
　　类似地，可以计算出其他三个组的 值：
　　从而得到：
　　 = 10.688+8.572+13.192+6.632 = 39.084
　　3.水平项离差平方和（SSA）
　　（7-6）
　　从式7-6可以看出，用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值的个数nj，然后加总，即可得到SSA。
　　SSA表现的是组间差异，它既包括随机因素，也包括系统因素。
　　 = 　　
　　= 76.8455
　　数学上已经证明，SST、SSE和SSA三者之间有以下关系：
　　SST = SSE +SSA （7-7）
　　在上面的例子中，SST = 115.9295，SSE = 39.084 ，SSA = 76.8455
　　SST = SSE + SSA
　　115.9295 = 39.084 + 76.8455
　　（三）计算平均平方
　　平均平方是用离差平方和除以自由度所得到的数值。
　　1.SST的自由度
　　SST的自由度为n-1。因为它只有一个约束条件，即
　　2.SSA的自由度和平均平方
　　SSA的自由度为r-1.
　　式中，r：水平的个数。如上例中，有四个水平，即饮料的四种不同颜色。所以r = 4。由于SSA也　　有一个约束条件，即
，所以，其自由度为r-1。
　　SSA的平均平方为：
　　（7-8）
　　在上例中，
　　3.SSE的自由度和平均平方
　　SSE的自由度为n-r。
　　因为对每一个水平而言，其观察值的个数为nj，该种水平下的自由度为nj-1，总共有r个水平，因此，拥有的自由度个数为 。
　　SSE的平均平方为：
　　（7-9）
　　在上例中，
　　（四）方差分析表
　　由式（7-1）可知，
　　在上例中，
　　在方差分析中，为了使分析的主要过程表现得清楚，通常将有关计算列成方差分析表。其表式如表7-3所示。
表7-3 方差分析表
离差平方和SS
平均平方 F值MS
　　（五）均值的F检验
　　以前面的饮料颜色是否对销售量产生影响的分析为例。在分析中，要对所关心的问题提出原假设和替换假设：
　　H0: 颜色对销售量没有影响
　　H1: 不全相等 颜色对销售量有影响
　　由前已知，F = 10.486，若 ，查表有：
　　由于F=10.486 &Fa=3.24，所以，拒绝原假设，接受替换假设。即认为不全相等，说明饮料颜色对销售量有显著影响。见图7-3。
　　前例中的方差分析表列表7-4。
　　表7-4 方差分析表
差异源　 SS 　　　df　 MS　　　　 F 　　　　P-value　　 Fcrit
组间 　　76.8455 　3　 25.6152 　10.4862 　0.000466 　　3.2389
组内 　　39.084 　16　 2.4428
总计 　　115.9295 19
　　表中，Fcrit表示临界点。P-value = 0.000466，说明在横轴F = 10.4862的右侧，F曲线下的面积只有0.0466%。
二、单因素方差分析中的其他问题
　　（一）关于方差分析所需要的数据结构问题
　　对于方差分析中所需数据的结构安排，既可以把因素放在列的位置（如表7-2），也可以将其放在行的位置。但通常情况下是放在列的位置，这样便于计算机处理。
　　（二）关于各个水平下，样本容量大小的问题。
　　在方差分析中，各水平下的样本容量既可以相同，也可以不同。现举一个不同的例子。
　　[例7-2] 某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作评价差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这种说法进行检验，从对评估的每一个等级组中，随机抽取出共26名学生。其课程分数如表7—5所示。
表7-5 26名学生考试成绩
　　学生对教师评估等级
　　优　 良　 中　 差
　　85　 80　 73 　76
　　77 　78 　80　 72
　　79 　94 　92 　70
　　84 　73　 76　 85
　　92 　79 　6
　　90 　86
　　73 　91
　　　　75
　　　　81
　　　　64
　　试检验各组学生的分数是否有显著差别(a=0.05)。
　　解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差别，则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间没有必然的联系。
　　H0：各组平均分数相等；
　　H1：各组平均分数不全相等。
　　利用EXCEL软件，将计算结果列表7-6。
表7—6 学生平均成绩方差分析表
SS　　　　 df 　MS 　　　　F 　　　　　P-value　 F crit
151.8082 　3 　50.602 75 　0.774546 　0.50655 　3.049
　22 　65.332 14
　　由于F = 0.774546 & F crit = 3.049124,所以，接受原假设，即可以认为学生的成绩与他们对教师教学质量的评估分数之间没有关系。《统计学》课后答案(第二版,贾俊平版)附录答案 第6章-9章
方差分析26
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《统计学》课后答案(第二版,贾俊平版)附录答案 第6章-9章
方差分析26
第6章方差分析；6.1F?4.?8.0215；设；6.2F?15.?4.579；A?B?44.4?30?14.4?LSD?5.8；6.6；F?1.478?F0.05?3.554131；(或P?value?0.245946???0.0；假设；第7章相关与回归分析；7.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的；（2）r
方差分析6.1
F?4.?8.0215(或P?value?0.0409???0.01)，不能拒绝原假设。6.2 F?15.?4.579(或P?value?0.00001???0.01)，拒绝原假设。 6.3 F?10.?5.4170(或P?value?0.000685???0.01)，拒绝原假设。 6.4 F?11.?3.6823(或P?value?0.000849???0.05)，拒绝原假设。 6.5
F?17.?3.8853(或P?value?0.0003???0.05)，拒绝原假设。A?B?44.4?30?14.4?LSD?5.85，拒绝原假设； A?C?44.4?42.6?1.8?LSD?5.85，不能拒绝原假设； B?C?30?42.6?12.6?LSD?5.85，拒绝原假设。6.6F?1.478?F0.05?3.554131(或P?value?0.245946???0.05)，不能拒绝原假设。第7章
相关与回归分析7.1
（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。（2）r?0.920232。（3）检验统计量t?14.4222?t?7.2
（1）散点图（略）。（2）r?0.8621。7.3
（1）??0表示当x?0时y的期望值。（2）??1表示x每变动一个单位y平均下降0.5个单位。 （3）E(y)?7。2?2.2281，拒绝原假设，相关系数显著。7.4
（1）R2?90%。（2）se?1。 7.5
（1）散点图（略）。（2）r?0.9489。??0.00358表示运送距离每增加1（3）y??0.58x。回归系数?1公里，运送时间平均增加0.00358天。7.6
(1) 散点图（略）。二者之间为高度的正线性相关关系。（2）r?0.998128，二者之间为高度的正线性相关关系。??0.）估计的回归方程为：y回归系数???734.683x。1表示人均GDP每增加1元，人均消费水平平均增加0.308683元。 （4）判定系数R2?0.996259。表明在人均消费水平的变差中，有99.6259%是由人均GDP决定的。（5）检验统计量F??F??6.61，拒绝原假设，线性关系显著。?8?0.0?（元）（6）y。（7）置信区间：[65.464]；预测区间：[75.750]。7.7
（1） 散点图（略），二者之间为负的线性相关关系。???4.7表示航班??430.x。回归系数?（2）估计的回归方程为：y1正点率每增加1%，顾客投诉次数平均下降4.7次。 （3）检验统计量t?4.959?t?2?2.3060（P-Value=0.001108&??0.05），拒绝原假设，回归系数显著。?80?430.?80?54.1892（次）（4）y。（5）置信区间：（37.660，70.619）；预测区间：（7.572，100.707）。 7.8
Excel输出的结果如下（解释与分析请读者自己完成）Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值方差分析 回归分析 残差 总计df1 18 19 0.2
0.820SS 223.2 352.9855 MS 223.6 F 30.9332 Significance F2.79889E-05
Intercept X Variable 1 Coefficients 标准误差 t StatP-value Lower 95% Upper 95%57.449.23.812.80.041.17.9（2）R2?SSRSST??0.%。表明汽车销售量的变差中有86.60%是由于广告费用的变动引起的。 （3）r?R2?0.6。??1.420211表示广告费用每??363.211x。回归系数?（4）y1增加一个单位，销售量平均增加1.420211个单位。（5）Significance F＝2.17E-09&??0.05，线性关系显著。??13.9x；R2?93.74%；se?3.8092。 7.10
（1）27。 （2）4.41。（3）拒绝H0。 （4）r??0.7746。 （5）拒绝H0。7.12
（1）15.95?E(y)?18.05。（2）14.651?y0?19.349。???46.29?15.24x；441.555?E(y40)?685.045。 7.13
y??25.03?0..928x27.14
y；预测28.586。7.15
（略）。7.16
（1）显著。
（2）显著。
（3）显著。??88.9x1。 7.17
（1）y??83.2x1?1.3010x2。 （2）y??1.6039表示电视广告费用每增（3）不相同。方程（1）中的回归系数?1加1万元，月销售额平均增加1.6039万元；方程（1）中的回归系数??2.2902表示在报纸广告费用不变的条件下，电视广告费用每增加1万?1元，月销售额平均增加2.2902万元。 （4）R2?91.91%；Ra2?88.66%。（5）?1的P-Value=0.0007，?2的P-Value=0.0098，均小于??0.05，两个回归系数均显著。???0.5x1?327..18
（1）y??22.3865表示降雨量每增加1毫mm，小麦收获量平均（2）回归系数?1??327.6717表示温度每增加10C，增加22.3865kg/hm2；回归系数?小麦收2获量平均增加327.6717kg/mh2。（3）可能存在。??148.7x1?0..1350x3。 7.19
（1）y（2）R2?89.75%；Ra2?87.83%。（3）Significance F＝3.88E-08&??0.05，线性关系显著。 （4）?1的P-Value=0.1311&??0.05，不显著；?2的P-Value=0.0013&??0.05，显著；?3的P-Value=0.0571&??0.05，不显著。 第8章
时间序列分析和预测 8.1 （1）时间序列图（略）。 （2）13.55%。（3）1232.90(亿元)。8.2 （1）时间序列图（略）。（2）1421.2(公斤/公顷)。（3）??0.3时的预测值：F，误差均方＝291455； ??0.5时的预测值：F，误差均方＝239123。??0.5更合适。 8.3 （1）3期移动平均预测值＝630.33（万元）。（2）??0.3时的预测值：F19?567.95，误差均方＝87514.7； ??0.4时的预测值：F19?591.06，误差均方＝62662.5；??0.5时的预测值：F19?606.54，误差均方＝50236。??0.5更合适??239.73?21.9288t。估计标准误差s?31.6628。
（3）趋势方程YYt8.4 （1）趋势图（略）。（2）趋势方程Y?t?145.78?1.16077t。2001年预测值＝3336.89(亿元)。 8.5 （1）趋势图（略）。??69.5t，2000年预测值=585.65（万吨）
（2）线性趋势方程Y。8.6
线性趋势：??3Y27.146?01.631t3；7二7；次曲曲线线：：??381.6Y4?14.822t?70.023t3三次??372.0t?0..0036t3。 Y8.7 （1）原煤产量趋势图（略）。（2）趋势方程Y?t?4.4t?0.0309t2，预测值Y?（亿吨）。 8.8 （1）图形（略）。（2）移动平均法或指数平滑法。（3）移动平均预测=72.49(万元)；指数平滑法预测＝72.5(万元)( ??0.4)。 8.9 （1）略。 8.10计算趋势：分离季节因素后的趋势方程为：Y?t?.7064t。图形包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、中学教育、生活休闲娱乐、专业论文、外语学习资料、应用写作文书、高等教育、行业资料、《统计学》课后答案(第二版,贾俊平版)附录答案 第6章-9章
方差分析26等内容。　
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