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已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x＋3交于（3，b）．（1）试求a、b的值；（2）写出二次函数的解析式，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；（3）设直线y＝2x＋3与抛物线y＝ax2的交点分别为A、B．连接OA、OB，求出△AOB的面积．
主讲：赵秀辉
评分：4.0分
【解析过程】
（1）把（3，b）代入y＝2x＋3中，得b＝2×3＋3．∴b＝9．把（3，9）代入y＝ax2中，得9＝a×32．∴a＝1．（2）由（1）知二次函数的解析式为y＝x2，其示意图如图所示．由图象可知，抛物线y＝x2的开口向上，其对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大．（3）如图，在同一直角坐标系内画出y＝x2和y＝2x＋3的图象，它们相交于A、B两点．由可知其交点坐标分别为A（3，9），B（－1，1）．又直线y＝2x＋3与y轴交于点C，故C点坐标应为（0，3）．故，即△AOB的面积为6个平方单位．
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京ICP备号 京公网安备（1）∵抛物线过C（0，-8），∴c=-8，即y=ax2+bx-8，由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得-b2a==0，解得：a=221b=-1621，∴该抛物线的解析式为y=221x2-1621x-8．（2）存在直线CD垂直平分PQ．由函数解析式为y=221x2-1621x-8，可求出点A坐标为（-6，0），在Rt△AOC中，AC=AO2+OC2=100=10=AD，故可得OD=AD-OA=4，点D在函数的对称轴上，∵线CD垂直平分PQ，∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，∴点D是AB中点，∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=12AC=5，∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，∴t=5÷1=5（秒），∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分．在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=82+142=265，而DQ为△ABC的中位线，Q是BC中点，∴CQ=65，∴点Q的运动速度为每秒655单位长度；（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=12OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，在Rt△PQH中，PQ=42+82=80=45，①当MP=MQ，即M为顶点，则此时CD与PQ的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PQ），设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），因为点C（0，-8），点D（4，0），所以可得直线CD的解析式为：y=2x-8，当x=1时，y=-6，∴M1（1，-6）；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（-1，0），从而可得PM2=22+y2，又PQ2=80，则22+y2=80，即y=±76，∴M2（1，219），M3（1，-219）；③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，点Q坐标为（7，-4），设直线x=1存在点M（1，y），则QM2=62+（y+4）2=80，解得：y=211-4或-211-4；∴M4（1，-4+211），M5（1，-4-211）；综上所述：存在这样的五点：M1（1，-6），M2（1，219），M3（1，-219）M4（1，-4+211），M5（1，-4-211）．
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科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，抛物线：y=12x2+bx+c与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，-2），（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标．（2）求过A、B、C三点的圆的半径．（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
在平面直角坐标系中，现将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，-2），直角顶点C在x轴的负半轴上（如图所示），抛物线y=ax2+ax+2经过点B．（1）点C的坐标为______，点B的坐标为______；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．（1）直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______．（2）实践运用如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．（3）拓展迁移如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的关系式为______．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，抛物线y=12x2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围；（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为直线AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．当-1≤x≤1.5时，求线段PQ的最大值．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
某海参养殖公司经市场调研发现，每周该公司销售的海参量y（千克）与单价x（元/千克）之间存在如图所示的一次函数关系．（1）根据图象求y与x之间的函数表达式；（2）从经济效益来看，你认为该公司如何制定海参单价，能使每周海参的销售收入最高？每周海参的最高销售收入是多少？（2004?湖州）已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，_百度知道
提问者采纳
对称轴为直线x=-1，且-1＜x1＜x2，当x＞-1时，y2＜y1，又因为x3＜-1，由一次函数的图象可知，此时点P3（x3，y3）在二次函数图象上方，所以y2＜y1＜y3．故选D．
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1.&y=a{{x}^{2}}+k与y=a{{x}^{2}}的性质的异同点如下表：2.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}与y=a{{x}^{2}}的性质的异同点如下表：3.&一般式y=a{{x}^{2}}+bx+c\(a≠0\)与顶点式y=a{{\(x+h\)}^{2}}+k\(a≠0\)的性质对照如下表：
的性质：1.&y=a{{x}^{2}}（a≠0）的图像是一条，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0）。（1）&二次函数图像怎么画？作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。（2）&二次函数y={{x}^{2}}与y=-{{x}^{2}}的图像和性质：2.&二次函数y=a{{x}^{2}}+k（a，k是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，只是位置不同。函数y=a{{x}^{2}}+k的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向上（或下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。3.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是（h，0），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，位置不同，函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a≠0）的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|h|个单位得到的。画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=0。4.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k），是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|k|个单位，再向上（下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=k。5.&二次函数的图像的画法：（1）&描点法，步骤如下：a．&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式。b．&确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。c．&在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。（2）&平移法，步骤如下：a.&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式，确定其顶点（h，k）。b.&作出函数y=a{{x}^{2}}的图像。c.&将函数y=a{{x}^{2}}的图像平移，使其顶点平移到（h，k）。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知二次函数y=-x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请...”，相似的试题还有：
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(1，2)，B(-3，2)，则该二次函数图象的对称轴是直线()．
已知二次函数y=-x2+2x+3
(1)说出函数图象的开口方向，对称轴以及顶点坐标；(2)求出函数图象与x轴的交点坐标；(3)在下面的坐标系中画出这个函数的图象；(4)观察图象确定：x取何值时y＞0？
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1，0)、B(0，-3)(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，在y轴上找一点D，使直线CD∥直线AB，求出D点的坐标．