设f(x)单调区间是定义域在R上的偶函数，在区间...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-06 07:16 标签： 单调区间是定义域
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已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+bx，且当x∈[-1，2]时，函数F（x）的最小值为1，求实数b的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称，则-b2a=0，即b=0，故f（x）=ax2+c．…（1分）∵不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}，∴a＞0且x1=1，x2=3是方程f（x）-4x=0即ax2-4x+c=0的两根．由韦达定理，得1+3=4a1×3=ca，解得：a=1，c=3．…（5分）∴f（x）=x2+3．…（6分）（II）由（ I）知，F(x)=x2+bx+3=(x+b2)2+3-b24，对称轴x=-b2．…（7分）下面分类讨论：①当-b2≥2，即b≤-4时，F（x）在[-1，2]上为减函数，∴F（x）min=F（2）=2b+7=1，得b=-3（舍去）．…（9分）②当-b2∈(-1，2)，即-4＜b＜2时，F(x)min=F(-b2)=-b24+3=1，∴b=-22或b=22（舍去）．…（11分）③当-b2≤-1，即b≥2时，F（x）在[-1，2]上为增函数，∴F（x）min=F（-1）=4-b=1，得b=3．…（13分）综上所述，b=-22或b=3为所求．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是______．
题型：填空题难度：偏易来源：内江一模
∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：34＜a＜2，故答案为 （34，2）．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的零点与方程根的联系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
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定义在R上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，下列给出的不等式中成立的是（&&& ）①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)& ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)& ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)& ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)A.②④&&&&&&&&&&&&&& B.②③&&&&&&&&&&&&&&& C.①④&&&&&&&&&&&&& D.①③
解法一：取f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=1代入①得，3＞1;②得，3＜1;③得，3＞-1;④得，3＜-1.故①③正确，选D.解法二：令f(x)=x,g(x)=|x|作出相应图象，如下图所示.观察图象可知①③正确.故选D.解法三：由于f(x)为奇函数且在原点有意义，故f（0）=0，又f(x)为增函数，∴f(a)＞f(b)＞f(0)=0.当x≥0时，g(x)=f(x).&&& 据条件改写①得，f(b)+f(a)＞g(a)-g(b)=f(a)-f(b)，即f(b)＞0,①正确而②不正确.&&& 改写③得，f(a)+f(b)＞g(b)-g(a)=f(b)-f(a)，即f(a)＞0，③正确而④不正确，故选D.答案：D
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设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x）=f(2-x)
设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x）=f(2-x)
解析：∵f(x)是偶函数,∴f(x)关于Y轴对称,f(-x)=f(x)；又满足f(2+x) =f(2-x),∴f(x)关于直线x=2对称∴f(x)是周期函数,最小正周期T=2*|0-2|=4.∵在区间[-2,0]上,f(x)=(√2/2)^x-1∴在区间[0,2]上,f(x)=(√2/2)^(-x)-1在区间[2,4]上,f(x)=(√2/2)^(x-4)-1在区间[4,6]上,f(x)=(√2/2)^(-x+4)-1∵方程f(x)= log(a,x+2) 在区间[-2,6]上恰有4个不同实根即在上述四个区间上各有一个根令f(6)=(√2/2)^(-6+4)-1>=log(a,6+2)==>log(a,8)=8∴a的取值范围是a>=8
因为是偶函数，所以f(2+x) = f(-2-x) = f(2-x),所以f（x）是周期为4的函数。所以，在区间（-2，6）内恰好有4个不同的实数根等价于在（-2，2）内恰好有2个实数根，又因为是偶函数，所以只需要满足在（-2，0）内恰好有唯一解。即f(x) = loga(x+2)在（-2，0）内恰好有唯一解。由于f（x）在（-2，0）单调连续递减，且有f(...

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