在Rt△ABC中,锐角∠Abd为角abc的平分线线与锐...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-06 08:57 标签： bd为角abc的平分线
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《锐角三角函数》第一课时导学案
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第四章 三角形1 认识三角形 第1课时 三角形与三角形的内角和活动1 知识准备1．填空：(1)当0°＜α＜90°时，α是__锐__角；(2)当α＝__90__°时，α是直角；(3)当90°＜α＜180°时，α是__钝__角；(4)当α＝__180__°时，α是平角．2．三角形的内角和是__180__°.活动2 教材导学探究三角形的内角和1．(1)如图4－1－16所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.图4－1－16 图4－1－17(2)将∠1撕下，按图4－1－17所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合．此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？为什么？(3)如图4－1－18所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.图4－1－18因为∠1＝∠5，所以直线a__∥__直线b，所以∠4＝__∠3__．因为∠1＋∠2＋∠4＝__180__°，所以∠2＋∠3＋∠5＝__180__°，即三角形的内角和为__180°__．2．我们还可以通过下面的办法得到结论：(1)如图4－1－19①，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a与木条b平行，则∠1＋∠2＝__180__°；操作：木条a过点A，且绕点A转动，使它与木条b相交于点C(如图②)，∵a∥b，∴∠3＝__∠4__．∵∠2＝∠4＋∠5，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠1＋__∠4__＋∠5＝∠1＋∠2＝__180__°，能说明“三角形内角和等于__180__°”．图4－1－19◆知识链接――[新知梳理]知识点二? 知识点一 三角形的有关概念1．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做__三角形__．2．三角形的基本要素：组成三角形的线段叫做三角形的__边__．相邻两边的公共端点叫做三角形的__顶点__．相邻两边组成的角叫做三角形的__内角__(简称三角形的角)．3．三角形的特征：(1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次相接．4．三角形的符号表示：三角形用符号“△”表示．顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．[明确]△ABC的三条边分别是AB，BC，AC；三个内角分别是∠A，∠B，∠C；△ABC的三边有时也可用a，b，c表示．[注意](1)三条线段中任意两条不在同一条直线上；(2)三条线段按一定顺序首尾顺次相接，如果不是首尾顺次相接就不是三角形．? 知识点二 三角形内角和定理定理：三角形三个内角的和等于__180°__.作用：在三角形中，已知两角可求__第三个角__，或已知各角之间关系求各角．? 知识点三 三角形按角的大小分类三角形? 知识点四 直角三角形直角三角形的两个锐角__互余__．作用：(1)已知直角三角形的一个锐角求另一个__锐角__，或已知两锐角之间的关系求这两个角．(2)常与同角(或等角)的余角相等结合，来说明角相等．探究问题一 三角形按内角的大小分类例1 按角分类，判断下列三角形各属于哪一类三角形．(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是什么三角形？(2)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则△ABC是什么三角形？(3)若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是什么三角形？[解析]根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义可知，要判定三角形的形状，关键是看这个三角形中的最大角是锐角、直角还是钝角．(1)根据题意，设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝5k，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2k＋3k＋5k＝180°，解得k＝18°，则∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；(2)根据题意，设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝4k，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2k＋3k＋4k＝180°，解得k＝20°，则∠C＝80°＜90°，故△ABC是锐角三角形；(3)根据题意得∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋3∠A＋5∠A＝180°，解得∠A＝20°，则∠C＝100°＞90°，故△ABC是钝角三角形．解：(1)直角三角形 (2)锐角三角形 (3)钝角三角形[归纳总结]判断三角形的形状，要先求出各角的大小，然后看三个角中最大的角是什么角，以此来判断三角形的类型．探究问题二 直角三角形的性质例2 [高频考题]如图4－1－20，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD和∠A相等吗？为什么？图4－1－20解：∠A＝∠BCD.理由：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形两锐角互余)，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠B＝90°(直角三角形两锐角互余)，∴∠A＝∠BCD(同角的余角相等)．[归纳总结]运用直角三角形的两锐角互余既可以求角度，也可以与余角的性质相结合说明角的相等关系．一、选择题1．如图4－1－21，∠C＝( )A．40°B．80°C．60°D．90°[答案]B图4－1－21 图4－1－222．如图4－1－22所示，图中三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]C 结合三角形的定义可以看出图中的三角形有△ABC，△ABD，△ADC.3．下列叙述不正确的是( )A．三角形内角和是180°B．一个三角形不是锐角三角形就是钝角三角形C．三角形中最多有一个钝角D．直角三角形两锐角的和是90°[答案]B4．在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形[解析]C 判断是什么三角形，要求出各个角的度数，看三个角都是什么角；由已知∠A－∠B＝90°，得到∠A＝∠B＋90°，所以∠A是钝角．5．已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[答案]B6．如图4－1－23所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝50°，∠AOB＝105°，则∠C等于( )图4－1－23A．20°B．25°C．35°D．45°[答案]B 二、填空题7．如图4－1－24，(1)图中共有________个三角形，它们分别是______________________；(2)以AD为边的三角形有________________；(3)∠C分别为△ADC，△ABC，△EAC中边AD，________，________的对角；(4)∠AED是________，________的内角；(5)△AED的三条边是________，________，________，三个内角分别是________，________，________．图4－1－24[答案](1)6 △AEC，△ACD，△BAC，△AED，△AEB，△ADB(2)△ACD，△AED，△ADB(3)AB EA(4)△AED △AEB(5)AE ED AD ∠DAE ∠AED ∠ADE三、解答题8．三角形的第一个角是第二个角的倍，第三个角比这两个角的和大30°，求这个三角形三个内角的度数．[解析]如果设第二个角是x°，则第一个角是°，第三个角是°，由三角形的内角和等于180°可以列出方程，从而求出各个角．解：设第二个角是x°，则第一个角是°，第三个角是°，根据三角形的内角和是180°，得x＋x＋＝180.解这个方程，得x＝30，所以x＝45，x＋x＋30＝105.故该三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.9．小贝测得△ABC中，∠C＝3(∠A＋∠B)，你能判断△ABC的形状吗？[解析]欲判断三角形的形状，需求出三角形中最大角的度数，由已知结合三角形内角和性质可求．解：因为∠C＝3(∠A＋∠B)，所以∠A＋∠B＝∠C.又由三角形内角和等于180°，知∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＋∠C＝180°，所以∠C＝135°.因此该三角形是钝角三角形．小雪是个爱动脑的同学，有一天她把手中的一副三角板拼在一起，如图4－1－25所示，这样除了三角板原有的6个角外，又出现了几个角，比如图中的∠α，她想：能不能借助三角板中已知角的度数，把这些角分别求出来呢？经过一番思考，她发现图中其他8个角(包括∠α)的度数是可以求出来的！聪明的同学，请你把这些角找出来，然后一一求出它们的度数，相信你能行！图4－1－25解：这8个角分别为∠CGE，∠AGD，∠CGD，∠AGE，∠α，∠DAG，∠BAF，∠AFB.在Rt△ABC中，∠C＝60°，所以∠CGE＝30°；则∠AGD＝∠CGE＝30°，∠CGD＝∠AGE＝150°；∠DAG＝180°－∠D－∠AGD＝105°；∠α＝180°－∠DAG＝75°；∠BAF＝90°－∠α＝15°；∠AFB＝180°－∠B－∠BAF＝135°.
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