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&&几何问题十讲（全彩）&&
作&译&者：
出版时间：2014-01
千&字&数：143
版&&&&次：01-01
页&&&&数：204
开&&&&本：16(170*240)
装&&&&帧：
I&S&B&N ：8
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几何问题十讲（全彩）
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本书所指的数学竞赛是指初中的各种少年学生参加的数学竞赛，其中最著名的有华罗庚金杯少年数学邀请赛杯赛、全国希望杯数学邀请赛等.本书对几类常见的几何试题进行了分类讲解，例题新颖，解法巧妙，各讲都配有适量的练习题（有提示和解答），供读者独立研习.对数学思维训练有良好的启迪作用.既是少年朋友学习几何常识的良师益友，也是参加数学竞赛同学的备赛宝典.
电子工业出版社地址：北京市万寿路南口金家村288号 华信大厦&&&&&&服务电话：010-54114
&&Copyright &电子工业出版社&&All rights reserved
出版物经营许可证：初二动态几何问题；一、动态几何问题涉及的几种情况；动态几何问题就其运动对象而言，有：1、点动（有单；2、线动（主要有线平移型、旋转型）；3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、；二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：；动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出；要善于在“动”中取“静”（
初二动态几何问题
一、动态几何问题涉及的几种情况
动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）.
2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.
3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）
二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：
动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程；
2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点）
要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;
5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；
(某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论：
将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点：
若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。
例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm.
.解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.
【要点导航】
通过实验操作――观察猜想――科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索――理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.
【典例精析】
取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究： （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；
（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．
已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F．
（1）探究1：线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．
（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点
E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．
1. ★★★如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
（2）连结DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果正方形的边长为2，FG的长为
2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并
使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析
供试验操作用
，求点C到直线DE的距离． 2
式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
3. ★★★在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线B
上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A?的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点B?、C?的位置，并写出他们的坐标：
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P?的坐标为
（不必证明）； 运用与拓广：
（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
探索性问题
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
【要点导航】
“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用．
【典例精析】
如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE?AB），连结
EG并延长交DC于点M，过M作MN?AB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方
形ABCD的边长为1．
（1）证明△CMG≌△NBP；
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知识模块：
已选条件：几何
总计750套试题&&&& 1/75
简介：10.拼棋盘最小公倍数是：265＝60（厘米）拼成棋盘的边长是60厘米＝656＝30（块）拼成这个正方形棋盘共需要30块小木板。...
(10)贡献者：艳阳天东方红&& 01:42
简介：10.拼棋盘奶奶让罗罗用长12厘米，宽10厘米的若干块木板，拼成一个正方形的棋盘。奶奶问罗罗：最少需要多少块这样的木板？拼成的棋盘边长是多少厘米？...
(16)贡献者：艳阳天东方红&& 01:42
简介：几何面积 基本思路： 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规...
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(8)贡献者：奥数试题小编07&& 01:42
简介：11.2四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2（ab+bc+ca）长方体的体积=abc（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。2.正方体正方体的表面积=6a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。3.圆...
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简介：13.巧算正方形的面积①做正方形的另一条对角线。得到四个完全相同的等腰直角三角形。（如下图）。②一个等腰直角三角形的面积是：82＝4（直角边）442=8（平方米）③四个等腰直角三角形的面积，即正方形的面积。84=32...
(12)贡献者：秒表的轮囙&& 01:42
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(9)贡献者：秒表的轮囙&& 01:42
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(7)贡献者：奥数试题小编05&& 01:42简述三大几何难题_百度文库
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简述三大几何难题
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&&数学史上三大几何难题：倍立方,化圆为方,三等分任意角
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著名的三大几何作图问题－－－查建敏文化专题课讲义一
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古典难题的挑战――几何三大难题及其解决
　　位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
　　一 三大难题的来源与故事
　　传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
　　任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题――三等分任意角问题产生了。
　　正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题――化圆为方问题。
“化圆为方”问题诞生的故事
　　阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者，在天文学中，他曾因解释日、月食的成因而闻名遐迩，并且认识到月球自身并不发光。正是他出色的研究成果给他带来了不幸，在他大约50岁的时候，横祸从天而降，蒙受了冤狱之苦。灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头。由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵，而这位学者却无视宗教的权威，说太阳是一块石头，因而被投入监狱。
　　尽管被囚禁的时间并不太长，可是，在被囚禁的日子里冤屈、苦闷、无聊实在让人度日如年。在阴暗、潮湿的牢房里，阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭，每天只有不长时间，阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内。每当阳光进入囚室，在墙壁上撒下一片光亮时，总会引起作为学者的他的种种联想。
　　有一天，他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时，他那习惯于思索的头脑突发奇想：能不能（仅用直尺和圆规）作一个正方形，使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢？
　　阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋，因为他身边没有书籍，没有笔，很难研究别的问题，而这个问题却不同，只要用草棍在地上画就行了，草棍在牢房里有的是。他在进入高墙之前做梦也没有想到，在他最痛苦的时候，是数学排除了他的几分烦恼。不过，他一生也未能解决他提出的这个问题。
　　古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。
　　漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
　　三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
　　立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
　　化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
　　这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
　　尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具――直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
　　公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
　　古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。
　　二 人们的探索与求解
　　从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
　　其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？
　　数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
　　高斯的发现
　　历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。
　　最先突破的是德国数学家高斯。他于日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。
　　由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。
　　高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。
　　最后的胜利
　　解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
　　标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最后胜利者。1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。
　　他的证明方法是这样的：
　　假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线
段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。
　　用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯――万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2tP2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。
　　1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。
　　从此，古典几何的三大难题都有了答案。
　　三&&三大难题的意义
　　2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。
　　特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。
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让人激情澎湃数学美，让人魂牵梦绕的科学美：）超赞
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