直线与平面的夹角是怎么定义的?
直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指这条线和它在平面内的射影所成的锐角.切记是“锐角” （1）当直线垂直于平面时,直线与平面的夹角为90度（2）当直线平行或在平面内时,直线和平面的夹角为180度
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当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为180 。
扫描下载二维码如何判定直线与平面的夹角就是不知道焦点的位置那该如何？
通常是在画一条交于平面的垂线,用勾股定理来求.
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在直线上任一点（交点除外）作平面的垂线，连接垂足与直线与平面的交点，所得的角就是直线与平面的夹角。
扫描下载二维码对于角度的周角制和弧度制，你是概念清晰的吗？
高中数学学习中的一点困惑
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浅谈教科书中角度的定义王雪微（成都市树德中学 成都 610031） 指导老师：王勇中图分类号G 文献标示码A关键词：角度、周角制、弧度制、数学、教学、三角函数一、角的定义在中，角（：jiǎo，：ㄐㄧㄠˇ）是由两条有公共端点的组成的几何对象。这两条射线叫做角的，它们的公共端点叫做角的。一般的角会假设在上，但在中也可以定义角，特别是在中的（：）是用的圆弧代替射线。角在和中有着广泛的应用。几何之父曾定义角为在中两条不的的相对斜度。认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。（：）认为角是相对一的偏差，（：）认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。⑴二、最早的角度定义角度概念来自的巴比伦文明。众所周知，诞生了人类诸多文化遗产，角度就是之一。巴比伦人擅长天文学，他们制定角度的灵感，就来源于长期的天文观测。
巴比伦人发现：春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径，受此启发，他们定义圆周为360度，平角为180度。角度的符号小圈，最早就是代表太阳。此外，定义平角为180度，还与巴比伦人采用60进位法有密切的联系。最终由于180这个数字约数数目多于100或200，在应用上得到了世界范围内的普遍认同。我们知道，角度是用以量度的单位，符号为“°”。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制（degree measure），一周角分为360等份，每份定义为1度（1°）。之所以采用360这数值，是因为它容易被整除。360除了1和自己，还有22个真因子（2、3、4、5、6、8、10、12、15、18、20、24、30、36、45、60、72、90、120、180），所以很多特殊的角的角度都是整数。⑵三、弧度制的定义为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单位制——弧度制（radian measure）:把长度等于半径长的弧说对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，用符号rad表示，读作弧度。⑶四、讨论初中刚开始接触角度制时，被告知周角等于360°，我们将之视为如同1+1=2的真理记忆。只是当时不知道，这样会对以后的学习产生负面影响。高中刚开始学习弧度制时1°=π/180 rad一度让我感到不习惯，或者说难以透彻地理解。数学向成老师多次提醒我们sin1°≠sin1试图用举例的方式让我们对弧度制的概念有较为清晰的理解。直至现在我仍深刻记得他当时的神态，感谢他对我这样的愚钝学生的开导。即便如此，对于刚刚开始接触的学生而言，在度和弧度制的转换之间依旧会存在类似思维停滞的情况。当我回到家以后，与父亲进行了关于角度制和弧度制的讨论：谈论起我对弧度制与角度制的混淆，父亲表示他在学生时代也成有过相似的疑惑。随后，我们又对以360°来量化周角提出了质疑：用12、100亦或是1000来量度，不是也可以吗？答案是肯定的。那么，从上述意义上说，角度制可以有无数种定义。所以，上述角度制对于严谨的数学而言，其存在性就应该受到质疑了。而且，对于学习者来说，弧度制与角度制两个对于角度的定义，会对学生造成混淆、疑惑和负担。试想一下，如果存在另一个文明，“周角是角度为360°的角”很可能难以被认同，因为它完全是人为定义的。而“周角的弧度制为2π”因为其有着严格的带有逻辑性的定义及其对应的几何意义，而更能被接受。6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制的概念，欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半度径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角1/（2π）。这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角函数的公式及计算。⑷我们知道，三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在几乎所有科学领域都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数。三角函数是角的函数；它们在研究所有周期现象及其应用中是必不可少的工具。用弧度制来表示三角函数，x轴与y轴是平权的，大大简化了三角函数的图像。比如：方程A=SinA用周角制来表示是没有意义的。因为，方程的左边的“A”是数字，右边的“A”是有以度为单位的数字。我们很难想象，用周角制来表示三角函数的繁琐性。由此看来，一开始就引入弧度制也更有利于对于三角函数的学习，让学生能够深刻的理解而不是以刷题的方式来记忆。进一步查找资料，类似的情况也出现在化学的克当量概念和摩尔概念上，1984年，天津市塘沽第十三中学李俊仓表示：当前,中学化学课本中,克当量已由摩尔概念引出,有必要用摩尔当量取代克当量这一概念。如今的中学教科书已经取消了克当量的概念。⑸（《化学教学》1984年06期）五、结论建议：教材中应先引入圆，再用弧度制来定义角度。而角度制，仅以阅读材料的形式在教科书中保留，以方便某些特殊学科并尊重角度定义的历史。
因为这个定义完全是人为的，它没有实际意义（不止是上面引用所说，在数学中没意义，在几乎所有学科中都没有意义）。不止如此，这个定义还掩盖了角度的本质意义，及弧度——弧长和半径的比。现有教科书中，无不首先教授周角为360°对角度的定义，这对学生以后的学习产生障碍，大多数学生在学习角度的“弧度制”时会感觉迷茫，或不清晰。 参考文献⑴
Heiberg, Johan Ludvig. , 编. .
The thirteen books of Euclid's Elements 1. Cambridge University press. 1908:
177–178. ⑵（）、（）⑶课程教材研究所.普通高中课程标准试验教科书数学4 人民教育出版社，2004⑷课程教材研究所.普通高中课程标准试验教科书数学4 人民教育出版社，2004⑸化学教学[J] 李俊仓来信 上海：华东师范大学特别鸣谢：成都树德中学向成老师。
角度谈弧度，就必须先谈下角度，如果世界上只有弧度，没有角度，我相信大家也就不会疑惑为什么会有弧度制了。角度为什么出现？角度的出现，是源于对圆周运动的观察。这个世界上最大最显眼的圆周运动就是太阳，就算我们现代人知道地心说是错误的，可是以我们的尺度来说，抬头还是观察到太阳在做圆周运动。作为观察者，我们也非常自然的，以我们为中心，开始计算太阳相对我们的移动，这就开始出现了角度。圆周为什么是360°？地球围绕太阳公转，而遥远的十二星座仿佛固定在圆柱形天幕上:地球上的我们就像看走马灯一样，随着地球的公转，在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律，并且以星座为参照物，近似观察出循环周期为360天，也就是一年。因此，天就被等分成了360份，也就是圆被等分成了360份。虽然后来古人慢慢发现了一年实际上是365天，但是因为360度已经成为习惯，并且非常好计算，所以就被保留了下来。度数是圆周的占比弧度角度似乎已经足够描述圆周运动了，为什么要出现弧度？是来给世界添乱的吗？弧度为什么出现？弧度的出现，刚开始不过是个数学游戏。弧度＝弧长/半径，对于相同的角度这个比值保持不变，所以可以看作角度的另一种表现形式。(其实“弦长/半径”也是定值，为啥不选这个作为弧度呢？可以想想。)弧度有什么现实意义？弧度是从圆周运动进行者的角度来看待圆周运动。之前说过，古人的世界观是天圆地方，人们的旅行都被视为直线运动。欧式几何里面的直线笔直的延伸到无穷远处。可是，事实是，地球是圆的，随着技术的发展，大航海时代的来临，大家越来越认识到这一点。传统意义上的直线，在地球表面都不复存在，必须重新定义直线的含义。弧度也是在这样的环境下开始发扬光大：知道了移动的角度，也就知道了经纬度，就可以通过地图进行导航，而利用弧度，大大简化了这一过程。“海里”这个航海单位也是弧度在大航海时代的产物。“海里”传统上定义为子午线1角分的长度。它可从航海图中，以子午线上的纬度的改变来量度。----维基百科弧度可以把圆周运动转为直线运动这种转换有了之后，就可以很方便的测量汽车的直线速度了。汽车在车胎附近安装一个传感器，测出车胎的转速（比如10弧度/秒），乘以半径（比如1米），就得到了汽车的直线速度（这里就是10米/秒)。有的出租车换了更小直径的轮胎而不修改行车电脑里面的轮胎半径，就可以轻松的“偷里程”。所以，学习多么的重要啊！弧度帮助理解重要极限 ，这是个很重要的极限，考试也会经常用到，但是他的几何意义是什么呢？在现代数学中，弧度是最基本的概念弧度使得角度和实数统一在了一起。对于
这个函数而言，如果
使用角度，就很难去理解这个方程，一边的单位是度，一边是无单位的实数。而使用弧度可以很好的解决这一问题，使得
都是无单位的数。弧度开启了三角函数的大门。欧拉在他的著作《无穷小分析概论》就提出了弧度，并且作出了三角函数线（这也是非常有趣的概念，在这里就不展开了），通过弧度和三角函数线，第一次定义了三角函数！这也是欧拉在数学上的重大贡献之一。此时，三角分析才开始和函数这个有力的工具挂上钩。结论角度是对圆周运动的观察，弧度是对圆周运动的进行角度是有单位的，弧度是无单位的，所有三角函数都应使用弧度个人觉得，在现代教育中，弧度制应该尽早的引入，而去弱化角度制，让学生尽早形成对弧度制的直觉认知。就好比加减乘除虽然重要，但是在微积分才是现代数学的基础。
已有帐号？
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社交帐号登录形位公差中各个符号定义是什么?比如面轮廓度,位置度,全跳 是什么意思?
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简单回答一下.直线度：限制实际直线对理想直线变动量的一种形状公差.平面度：指基片具有的宏观凹凸高度相对理想平面的偏差.圆度：指工件的横截面接近理论圆的程度.圆柱度：指任一垂直截面最大尺寸与最小尺寸差为圆柱度.线轮廓度：是对曲线形状的要求,是限制实际曲线对理想曲线变动量的一项指标.面轮廓度：指被测实际轮廓相对于理想轮廓的变动情况.平行度：指一平面（边）相对于另一平面（边）平行的误差最大允许值.垂直度：评价直线之间、平面之间或直线与平面之间的垂直状态.倾斜度：指物体或斜面倾斜、歪斜的程度,与地面的夹角.位置度：一形体的轴线或中心平面的实际位置相对理论位置的允许变动范围.同轴（同心）度：在给定条件下材料试验机的夹持部件试样等和受力方向等轴线间同轴的程度.对称度：零件上两对称中心要素保持在同一中心平面内的状况.圆跳动：被测要素绕基准轴线回转一周时,由位置固定的指示器在给定方向上测得的最大与最小读数之差.全跳动：是关联实际被测要素对理想回转面的允许变动量.
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扫描下载二维码平面上两直线的夹角求法解析
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一、内容概述
在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查．
二、基本概念
①平面上直线方程的两种常用表示：
直线的点斜式方程：；
直线的一般式方程：不全为．
②平面上两条相交直线夹角的概念：
平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．
③平面上两条直线所成角的范围：
如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；
如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；
如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为．
④平面上直线的方向向量：
基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；
直线点斜式方程的一个方向向量为．
⑤平面上直线的法向量：
基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；
直线的一般式方程不全为的一个法向量为．
三、理论推导
1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．
假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
&&证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．
假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．
假设为直线，所成的角，显然（左图）或（右图），由方向向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两直线夹角的范围是，即的三角函数值一定是非负的．
四、例题解析
对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．
例1　已知直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．
解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，
将代入公式得，．
所以直线与的夹角．
点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．
例2　求直线与直线的夹角．
解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．
直线一法向量；直线一法向量．
将代入公式得，
所以直线与的夹角．
点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解．
例3　光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在直线的方程．
解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则
设的方程为（其中为直线的法向量，不同时为零）．
由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：
，解得或(舍去，否则与重合)．
所以，直线的方程为．
点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法――先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解．
五、沉思提高
已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线方程．
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