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& 2015高考数学二轮复习热点题型：专题06 函数的奇偶性与周期性（解析版）
2015高考数学二轮复习热点题型：专题06 函数的奇偶性与周期性（解析版）
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资料概述与简介
专题六 函数的奇偶性与周期性
【高频考点解读】
从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
【热点题型】
函数奇偶性的判定
例1、判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lgx2＋lg；
(2)f(x)＝(x－1) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝.
(4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)，
∵f(x)＝－，f(－x)＝－f(x)．
【提分秘籍】
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
【举一反三】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．
【热点题型】
函数奇偶性的应用
(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－3　　　　　　　 B．－1
(2)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
(3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－)＜f()的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
D．(，＋∞)
【提分秘籍】
根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．
【举一反三】
在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．
解：当x＞0时，－x＜0，
又x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，
又f(－x)＝－f (x)，
即：－f(x)＝2x2＋x，∴f(x)＝－2x2－x.
综上，f(x)＝.
【热点题型】
函数的周期性
例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
【提分秘籍】
1．深化奇函数和偶函数的定义
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0＝±1(f(x)≠0)．
2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
3．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数．
4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．
【举一反三】
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2012)＋f(－2013)的值为(　　)
【热点题型】
利用奇偶性破解函数的最值
例4、设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
【提分秘籍】
本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．
【举一反三】
已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
【高考风向标】
1．（2014·福建卷） 已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
2．（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
3．C　【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
3．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．C　【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
5．[2013·广东卷] 定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2 sin x中，奇函数的个数是(　　)
2．C　【解析】函数y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
6．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
7．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)
3．A　【解析】∵f为奇函数，∴f＝－f(1)＝－＝－2.
8．（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
【随堂巩固】
1．满足f(π＋x)＝－f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是(　　)
A．cos2x　　　　　　　　　 B．sinx
解析：选B.由f(π＋x)＝－f(x)，得f(2π＋x)＝f[π＋(π＋x)]＝－f(π＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴2π是奇函数f(x)的一个周期．∴只有sinx满足此条件．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)
解析：选A.∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，函数f(x)为奇函数
D．?a∈R，函数f(x)为偶函数
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　)
C．y＝2|x|
D．y＝cos x
5．对于定义在R上的任何奇函数，均有(　　)
A．f(x)·f(－x)≤0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)＞0
D．f(x)－f(－x)＞0
解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：选A.由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)
A．y＝x2＋1
B．y＝|x|＋1
8．f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
9．若函数f(x)＝2x＋2－x与g(x)＝2x－2－x的定义域为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B． f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
解析：选D.∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
又∵ g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，故选D.
10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)
11．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
12．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋3)·f (x)＝－1，f(－1)＝2，则f(2011)＝________.
解析：由已知f(x＋3)＝－，
∴f(x＋6)＝－＝f(x)，
∴f(x)的周期为6.
∴f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.
14．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x0时，f(x)<0.
(1)求证：f(0)＝0；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)判断函数f(x)的单调性．
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利用奇偶性求函数解析式
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函数基本思想：例7利用奇偶性求函数解析式
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猫性女人242
f(x)=f(-x) 偶函数f(x)=-f(-x) 奇函数
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