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例2、（1）已知f(x+1x)=x3+1x3，求f（x）．（2）已知f(2x+1)=lgx，求f（x）．（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．（4）已知f（x）满足2f(x)+f(1x)=3x，求f（x）．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f(x+1x)=x3+1x3=(x+1x)3-3(x+1x)，∴f（x）=x3-3x（x≥2或x≤-2）．（2）令2x+1=t（t＞1），则x=2t-1，∴f(t)=lg2t-1，∴f(x)=lg2x-1(x＞1)．（3）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．（4）2f(x)+f(1x)=3x①，把①中的x换成1x，得2f(1x)+f(x)=3x②，①×2-②得3f(x)=6x-3x，∴f(x)=2x-1x．
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据魔方格专家权威分析，试题“例2、（1）已知f(x+1x)=x3+1x3，求f（x）．（2）已知f(2x+1)=lgx，求f（x..”主要考查你对&&函数、映射的概念，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数、映射的概念函数解析式的求解及其常用方法
1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。 （2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。&2、函数： （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：&定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
&4、函数的表示方法： （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。 映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。（1）函数两种定义的比较：
&&&&& ①相同点：1°实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致
&&&& &②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：&&&&&&&&&映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. .函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。 对于映射这个概念，应明确以下几点：
&①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合 . ⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
&一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射. 一一映射既是一对一又是B无余的映射.
&在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。
对函数概念的理解：
函数三要素&（1）核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.（2）定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. （3）值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 （4）关于函数符号y=f(x) &&&&& 1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.f(x)也不一定是解析式. &&&&& 2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值. &&&&& 3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数. 函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“例2、（1）已知f(x+1x)=x3+1x3，求f（x）．（2）已知f(2x+1)=lgx，求f（x..”考查相似的试题有：
565607832174811520766802837753747938已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时，求函数f(x)的极值_百度知道
已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时，求函数f(x)的极值
（1）当a=-3时，求函数f(x)的极值
（2）若函数(f)的图穿单扁竿壮放憋虱铂僵像与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围
解答：（1）a=-3f'(x)=x²-2x-3当 x&3或x&-1时，f&#3穿单扁竿壮放憋虱铂僵9;(x)&0, f(x)递增当 -1&x&3时，f'(x)&0,
f(x)递减∴ f(-1)是极大值，f(3)是极小值∵
f(x)=(1/3)x³-x²-3x+3∴ 极大值f(-1)=14/3
极小值f(3)=-6（2）∵f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a∴ f'(x)=x²-2x+a①
△=4-4a≤0,即 a≥1此时，f'(x)恒非负，∴ f(x)是增函数，满足 f(x)的图像与x轴有且只有一个交点②
△=4-4a&0,即 a&1令f'(x)&0, 则x&1+√(1-a)或x&1-√(1-a); 令f'(x)&0, 则1-√(1-a)&x&1+√(1-a)∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增;
在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,在x=1+√(1-a)处取极小值由题意，f(x)的极大值小于0, 或者f(x)的极小值大于0满足题意（发现直接代入比较麻烦，需要对f(x)进行变形，利用x²-2x+a=0的两个根是1-√(1-a)，1+√(1-a)）f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)x²+(2/3)ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)(x²-2x+a)+(2/3)ax-(2/3)x-(2/3)a
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)(ax-x-a)
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)[(a-1)(x-1)-1]∴极大值 f(1-√(1-a))=(2/3)[(1-a)√(1-a) -1]&0
∴ √(1-a)&1, 即 0&a&1
极小值 f(1+√(1-a))=(2/3)[(a-1)√(1-a) -1]&0, ∴(a-1)√(1-a)&1 ∵ a-1&0, ∴无解∵ a&1即 0&a&1综上，a的取值范围为(0,+∞)
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1)f(x)=(1/3)x06-x05-3x+3f'(x)=x05-2x-3=(x-3)(x+1)令f'(x)&0, 则x&3或x&-1; 令f'(x)&0, 则-1&x&3∴f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调增; 在(-1,3)上单调减∴f(x)在x=-1处取极大值,x=3处取极小值f(-1)=-1/3-1+3+3=14/3f(3)=9-9-9+3=-6综上,f(x)极大值为f(-1)=14/3, 极小值为f(3)=-62)f(x)=(1/3)x06-x05+ax-af'(x)=x05-2x+a由题意: f(x)单调,或者f(x)的极大值在x轴下方, 或者x的极小值在x轴上方①f(x)单调,则f'(x)&=0或f'(x)&=0恒成立∴△=4-4a&=0, ∴a&=1②f(x)不是单调的, 则△=4-4a&0, a&1令f'(x)&0, 则x&1+√(1-a)或x&1-√(1-a); 令f'(x)&0, 则1-√(1-a)&x&1+√(1-a)∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增; 在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,x=1+√(1-a...
（1)f`(x)=x^2-2x-3=0
x=-1极大值为14/4,x=3极小值为-6（2）f`(x)=x^2-2x+a的判别式≤0
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出门在外也不愁分析：（1）假设是S-函数，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f1（x）不是，对于f2（x）对于列出方程恒成立．（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出a，b．（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．解答：解：（1）若f1（x）=x是“S-函数”，则存在常数（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．即x2=a2-b时，对x∈R恒成立．而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，因此f1（x）=x不是“S-函数”．（3分）若f2（x）=3x是“S-函数”，则存在常数a，b使得3a+x•3a-x=32a，即存在常数对（a，32a）满足．因此f2（x）=3x是“S-函数”（6分）（2）f3（x）=tanx是一个“S-函数”，设有序实数对（a，b）满足：则tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立．当a=kπ+π2，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot2（x），不是常数．（7分）因此a≠kπ+π2，&k∈Z，x≠mπ+π2，&m∈Z，则有tana-tanx1+tana•tanx×tana+tanx1-tana•tanx=tan2a-tan2x1-tan2atan2x=b．即（b•tan2a-1）tan2x+（tan2a-b）=0恒成立．（9分）即b•tan2a-1=0tan2a-b=0?tan2a=1b=1?a=kπ±π4b=1，k∈Z，当x=mπ+π2，&&m∈Z，a=kπ±π4时，tan（a-x）tan（a+x）=cot2（a）=1．因此满足f3（x）=tanx是一个“S-函数”的常数（a，b）=(kπ±π4，1)，&k∈Z．（12分）（3）函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，即f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）f（2-x）=4，x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f(x)=4f(2-x)∈[2，&4]，∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．（14分）f(x)•f(-x)=1f(1+x)•f(1-x)=4?f(-x)=1f(x)f(-x)=4f(2+x)?f(2+x)=4f(x)．（16分）x∈[2，4]&时，f(x)∈[4，&16]，x∈[4，&6]&时，f(x)∈[16，&26]，依此类推可知&x∈[2k，&2k+2]&时，f(x)∈[22k，&22k+2]，x∈[2010，&2012]&时，f(x)∈[22010，&22012].因此x∈[0，2012]时，f（x）∈[1，22012]，（17分）x∈[-2012，&0]&时，f(x)=1f(-x)，-x∈[0，&2012]，f(-x)∈[1，&22012]?f(x)∈[2-2012，&1]．综上可知当x∈[-]时函数f（x）的值域为[2-]．（18分）点评：本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．
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科目：高中数学
6、已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（　　）A、B、C、D、
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已知函数f（x）=ax+b（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则a，b的值分别是（　　）A．a=2，b=4B．a=2，b=-4C．a=3，b=-3D．a=3，b=3
科目：高中数学
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．
1f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：①f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]是减函数；③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②④．
科目：高中数学
（理）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴方程与单调递增区间．
科目：高中数学
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由函数g（x）=sinx的图象（纵坐标不变）（　　）A．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π6个单位B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位C．先向右平移π12个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．先向右平移π6个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12倍
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知函数f(x)在[-1,1]上连续且满足f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt,求f(x)
因为f(x)在[-1,1]上连续,则∫（0,1）f^2(t)dt存在,令A=∫（0,1）f^2(t)dt,于是f(x)=3x-A√(1-X^2)=>f^2(x)=9x^2-6Ax√（1-x^2)+A^2(1-X^2)又
A=∫(0,1)f^2(t)dt=∫(0,1)f^2(x)dx=∫(0,1)[9-A^2)x^2-6Ax√（1-x^2)+A^2]dx
=[1/3(9-A^2)x^3+A^2x](0,1)+2A(1-x^2)^(3/2)(0,1)=3+2/3A^2-2A即： 2A^2-9A+9=0=>A=3/2或A=3故
f(x)=3x-3/2√（1-x^2)或f(x)=3x-3√（1-x^2)解析来自清华大学出版社高等数学与解析!
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f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt令∫(0,1)f^2(t)dt=Af(x)=3x-A√（1-x^2)df(x)=[3+Ax/√（1-x^2)]dxx=0f(0)=-Ax=1f(1)=33x-f(x)=A√（1-x^2)平方得[3x-f(x)]^2=[A√（1-x^2)]^...
令k=∫[f(x)]^2dx则f(x)=3x-k√(1-x^2)[f(x)]^2=k^2+(9-k^2)x^2-6kx√(1-x^2)k=∫[f(x)]^2dx=∫[k^2+(9-k^2)x^2-6kx√(1-x^2)]dx=k^2+(9-k^2)∫x^2dx-6k∫x√(1-x^2)dx=k^2+(9-k^2)/3-2k整理2k^2-9k+9=0k=3或3/2f(x)=3x-3√(1-x^2)或f(x)=3x-1.5√(1-x^2)
设∫(0,1)f^2(t)dt=k ，显然k为常数所以f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt=3x-k√（1-x^2)
......（1）同时又f(x)=3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt=3x-√（1-x^2)∫(0,1)[3x-√（1-x^2)∫(0,1)f^2(t)dt]^2dt=3x-√（1-x^2)∫(0,1)[3x-k√（1-...
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＞＞＞设f（x）=3x2+3x-8，用二分法求方程3x2+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的..
设f（x）=3x2+3x-8，用二分法求方程3x2+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间
______内．
题型：填空题难度：中档来源：不详
因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内．故答案为& （1.25，1.5）．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f（x）=3x2+3x-8，用二分法求方程3x2+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的..”主要考查你对&&用二分法求函数零点的近似值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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用二分法求函数零点的近似值
二分法的定义：
对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。
给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：
（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ； （2）求区间（a，b）的中点x1； （3）计算f（x1）， ①若f（x1）=0，则就是函数的零点； ②若f（a）·f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））； ③若f（x1）·f（b）＜0，则令a=x1（此时零点x0∈（x1，b））； （4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。 利用二分法求方程的近似解的特点：
(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。&关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：
①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)&0；②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；③设函数的零点为x0，则a&x0&b，作出数轴，在数轴上标出a，b，x0对应的点，如图，所以0&x0-a&b-a，a一b&x0-b&0．由于|a -b|&ε，所以|x0 -a|&b-a&ε，|x0 -b|&|a -b|&ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε&&&&④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
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