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谈一谈初中阶段如何教会学生认识“字母表示数”？认真回顾《关于“数、字母的运算
认真回顾《关于“数、字母的运算”的数学分析》这门课，谈一谈初中阶段如何教会学生认识“字母表示数”？& && && && && && && && && && && && &
提交者： 王爱明 提交
初中阶段学生的认知与抽象能力有了一定的提高，但认识用字母表示数这个问题，理解起来仍然有一定的难度：&&
第一、 认识子母的本质是数，字母可以代替不同的书，字母可以代替一定范围的数，字母的运算的本质仍然是数的运算。&&
第二、 认识用字母代替数给我们的生活和学习知识带来许多好处很大方便，他可以表示一类问题而不是一个问题。&&
第三、 认识用字母代替数是数学抽象的过程，是合情推理的过程。字母把数的概念扩大化，用符号代替符合条件的所有的数，& &把数给抽象了，同时数学中的恒等变形，求解方程和求解不等式，分析函数的变化等都可以用字母进行演绎推理，即学会从一般到特殊，又知道从特殊到一般。&&
第四、 认识用字母代替数能不断扩大数学研究的范围，能是数学模型的威力更大。&&我们初中阶段的数的概念，一开始是引入负数这个概念，然后有了有理数无理数，再就是实数，而用字母表示任何一个数都能使学生的数学想象力，头脑中的数学模型有了质的提高。
认真回顾《关于“数、字母的运算”的数学分析》这门课，谈一谈初中阶段如何教会学生认识“字母表示数”？& && && && && && && && && && && && &
1.要求：自己组织语言作答，字数不限，简述即可。& && &&&
2.提示：课后作业提交后辅导教师批阅优秀得5分，良好4分，合格3分，不合格得0分。您至少完成6个课后作业，考核以6个最高成绩作业计分，本项考核满分为30分。
提交者： 张光辉 提交时间
如果说代数是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式（如等式、不等式）就是这种语言的“句子”．既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等．只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用代数这种语言进行推理、计算、交流和理解问题．
《课标》对符号感教学的目标之一是：能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题（①将问题用符号表示出来——符号化；②选择算法，进行符号运算）．
会进行符号运算是很重要的．例如：我们将一个实际问题表示为一个一元二次方
程，然后根据方程我们选择适当的方法去求解；又例如：《分式加减》一节课中
过今天的学习我们能很轻松地解决这个问题。
这是由情境引出各类代数式的运算；反映数字运算的本质，充分体现了符号参加运算的优越性．
可以说，符号的运用，将运算从特殊推向一般化；符号化的运算不仅能揭示算式的数学本质，而且通过式的运算增进学生的运用符号的能力．
例如：解关于x的不等式2（a＋1）x＋3a≥ax+2．变形为（a＋2）x≥2－3a 以后，就要对字母系数（a＋2）的符号进行讨论．这样一来，无疑是对（a－2）表示任意实数的一次再认识．
在某种意义上看来，符号感与代数运算是相辅相成的．符号的运用成就了代数运算，反之，代数运算又促进了符号的运用．没有代数运算的介入，符号将失去意义，更谈不上符号感的形成与发展．所以，代数运算是符号感的发展和延续、是对符号感的补充与巩固．符号感建立较好的学生，在代数运算中的理解、表述大都会较好，反之，代数运算的训练又会强化学生的符号感．代数运算就是符号的运算，是更深层次的符号感的体现，它的逻辑性、抽象性对学生能力的培养及其后续发展有着不可替代的作用．
初中数学教学承担着培养学生完成从数到字母、从算术到代数、从数的运算到式的运算……一系列的任务，对学生的后续学习及更客观地认识事物的本质是十分重要的．因此帮助并促进学生建立符号感、发展符号感，初中数学教师在其中有着不可推却的责任与义务、有着举足轻重的作用．
1.2符号运算是后续学习的必要技能，有助于解决具体的问题（如，解释、揭示一些内蕴的规律，解方程、不等式等）
前面曾经谈到，符号运算也是一种推理过程。那么，有时通过符号运算，我们还能够揭示出存在于具体问题中的数学规律。
如下面的问题：
老王开车从A到D，全程共72千米。其中AB段为平地（见右图），车速是30千米/时；BC段为上山路，车速是22．5千米/时，CD段为下山路，车速是36千米/时。已知下山路是上山路的2倍，老王开车从A到D共需要多少时间？
分析：因AB段路程与BC、CD段路程没有确定的关系，似乎缺少一个条件，可解？
第一步：选择几个特殊值（AB长）试一试，观察结果的特点。
结果竟然是确定的——都是2.4！
猜想：结果与AB段路程长短无关？需要确认。
解：设立字母表示问题中的有关量：AB=x，BC=d、CD=2d。
列式求解：总时间为 T=++，而且 x+d+2d=72。
代入后：T= +=2.4 结论与x、d的值无关。
进一步的思考：
其中的已知量不可以改变吗？有没有更一般的结论？
按照上述题目中的已知，可以
设平路行驶速度为5v，那么：上山、下山的速度就分别是 v，6 v，而AD=12v。代入后：T=++，而且 x+d+2d=12v， 解得：T=2.4
一般性结论：老王开车从A到D，全程共12a千米。其中AB段为平地，车速是5a千米/时；从BC段为上山路，车速是a千米/时，CD段为下山路，车速是6a千米/时。已知下山路是上山路的2倍，那么，老王开车从A到D需要2.4小时。
其中，a=6就是原题，换其他的a值可以得到其它的题。
用字母表示未知量，对未知量进行运算，并且观察运算过程，可以发现一般性结论。解题过程中还蕴含对相关数学关系的领悟。
思考 求解过程表明：结论之所以与x、d的值无关，是因为x、d在运算过程中被消去了。换言之，在现有的已知条件下，取任何的x、d值，结论都相同。那么，什么是决定该问题结论的实质性条件？不可能只能是30、60、22.5、72这样的特定数值！但也不是换任意的数值都行。满足什么条件的数值可以呢？
从上面的结论中可以看到：既然a可以取任意正值，那么，从理论上来看，2.4这个唯一结论的适合范围就太大了——AD可以是任意长路程，只要它与速度满足那个关系式！
2.4又是从哪里来的呢？它很神秘吗? 显然不是的。只要将全程路长改一下就可以了，事实上： T=。
进一步：那么，这个问题解的原理究竟是什么？
事实上，我们知道，对一个匀速运动过程而言，当我们知道一段路程的全长，以及行驶过程中的速度时，行驶时间就是确定的。而对于一个变速运动过程而言，在知道路程长度的情况下，只有知道平均速度，才能够确定行驶时间。所以，只要车辆在BC段和CD段的平均速度与AB段的速度相同，那么就一定有类似的结论。
例如：若BC段和CD段的路程仍然是1:2，取BC段速度为v，AB段速度为v，CD段速度为3v，AD全长为mv，就可以得到其他结果。
进一步，还可以做变化：BC段和CD段的路程不是1:2，改为其他，则又能够得到另外的结论，只不过没有实质性新意了。
在后续的代数学习，如解方程、解不等式、确定函数表达式以及函数最值等问题中，都需要对关系式进行适当的恒等变形，因此，符号运算成为后续数学学习（特别是代数学习）的一个基本技能，符号运算是后续问题解决的基础。
2 符号运算法则的获得
那么，如何进行符号运算呢？这就首先需要明白运算的道理，运算的法则、规律，也就是算理。而明确算理，可以有这样一些教学方式：
方式一：由教师明晰算理（抛出算理、解析算理），或者说直接讲清算理，然后进行有关练习
案例：在《整式的加减》内容的教学过程中，许多教师往往直接给出合并同类项的方法，要求学生照此运算．
方式二：可以通过学生课堂上或者课堂之前的自学，获得有关算理，然后借助习题检测，了解反馈效果，根据反馈效果再进行针对性的巩固练习；
在学习《单项式的乘法》时，有的教师根据自己学生的水平，先组织学生
自学，然后让学生进行运算，再对运算中发现的问题进行点评．
当然，这种做法，也忽视了算理的探究过程．另外对于少数自学能力较差的学生，还需给予更多的关照．
方式三：如果不仅关注学生对算理本身的理解，而且关注获取算理过程中的学生活动经验，则可以引导学生自主地获取有关算理。而自主获取算理的具体方式，一般为：归纳和类比两种
这三种教学方式，各有什么侧重点？
我们认为：第一种方式（教师直接明晰算理、解析算理），相对而言，学生可以较快地知道算理，从而腾出时间进行符号运算，巩固相关技能，但这样做，弱化了学生获得算理的过程，可能导致学生在理解方面出问题。而且学习仅仅一种被告知的过程。
第二种方式（自学算理），既保证了学生学习的自主性，又具有一定的课堂容量，如果算理相对简单，探究空间较小，这样的方式应该是适当的，当然，这种做法，也忽视了算理的探究过程。
第三种方式（让学生自主探究算理），就不仅仅关注学生对算理的明确与理解，更关注在探索算理的过程中对学生的能力的发展，关注学生探索算理过程中活动经验的积累，应该说，这是新课程理念下比较倡导的学习方式。应该说，初中阶段，让学生通过归纳、类比等活动自主地获得有关运算的算理，是可行的、可能的，教学中，多数情况下，应鼓励学生自主地获取算理。当然，这样的方式比较费时，因此在具体教学中，也不是都采用某一种形式，而应根据学生状况以及算理的难易程度，进行适当的选择。
如何关注学生算理的获得过程，以下是几个具体的例子。
一般地，引导学生自主地获取有关算理是明细算理地被教材本身或教师采用的最多．
归纳，在呈现背景的同时，引导学生可直接解决问题，在问题解决的过程中，已经不知觉地进行了有关运算，得到了所谓的运算式，然后，对这些运算式子进行归纳，从而获得算理。如：《同底数幂的乘法》的教学，教师先提出
中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计：一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？108 ×105；
光在真空中的速度约是3×108m/s，光在真空中穿行1年的距离称为1光年.如果1年以3×107s来计算的话，那么1光年=_________米.(3×108)×(3×107)=(3×3)×(108×107)
23×22=25=23+2
a4×a3=a7=a4+3
5m×5n=5m+n
你会计算 am·an （m、n都是正整数）吗?
猜想：am·an＝am+n （m、n都是正整数）
说明道理：am·an＝（aa…a）×（aa…a）＝ am+n
m个a n个a m+n个a
即 am ·an= am+n (当m、n都是正整数)
语言概括： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
引申 am·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）
(x+y)m·(x+y)n = (x+y)m+n (m、n是正整数)
类比，更多地关注于算理本身的记忆、理解与运用。如分式的教学——分式的概念、分式的基本性质、分式的通分与约分、分式的运算……基本上是通过与分数的类比得到的．例如前面刘晓钟老师对分式加减法法则的呈现方法就是以类比的形式出现的．
这里，关注的可能不仅仅是算理，更多地关注于算理的获得过程，关注于问题解决的过程，关注通过过程所获得的数学活动经验。
应该说，初中阶段，通过归纳、类比，让学生自主地获得有关运算的算理，是教学中采用最多的方式．因为，教学中在多数情况下，应关注学生算理的自主获取．在明晰出这些算理，然后在运算过程中再通过相应的训练巩固算理和运算技能。
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高中必修一函数教案
§函数的概念一、教学目标1、 知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用"区间"的符号表示某些函数的定义域； 3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号"y=f(x)"的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 . 2、教学用具：投影仪 .四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念设集合A是一个非空的实数集，对A内的任意一个实数x，按照某个确定的对应法则f，都有唯一确定的实数y和它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数，记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ① "y=f(x)"是函数符号，可以用任意的字母表示，如"y=g(x)"； ②函数符号"y=f(x)"中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b
(a≠0)y=ax2+bx+c
(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。师：归纳总结（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。1、如何求函数的定义域 例1：已知函数f (x) = + （1）求函数的定义域； （2）求f（－3），f ()的值； （3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．解：略 例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.所以s= = （40－x）x
（0＜x＜40）引导学生小结几类函数的定义域： （1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R . （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. 巩固练习：课本P22第1 2、如何判断两个函数是否为同一函数 例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？ （1）y = ()2 ;
（2）y = () ; （3）y = ;
（4）y=分析： ○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） ○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 解：（略） 课本P21例2 （四）巩固深化，反馈矫正： （1）课本P22第2题 （2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x； g ( x ) = ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （3）求下列函数的定义域 ① ② ③ f(x) = + ④ f(x) = ⑤ （五）归纳小结 ①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。（六）设置问题，留下悬念1、课本P28 习题1．2（A组） 第1-7题 （B组）第1题2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。§映射一．教学目标1．知识与技能： （1）了解映射的概念及表示方法； （2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念． 2．过程与方法 （1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合； （2）通过实例进一步理解映射的概念； （3）会利用映射的概念来判断"对应关系"是否是映射，一一映射． 3．情态与价值 映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重点：映射的概念 教学难点：映射的概念三．学法与教学用具 1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标； 2．教学用具：投影仪．四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 复习初中常见的对应关系 1．对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应； 2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应； 3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5．函数的概念． （二）研探新知 1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件"非空数集"弱化为"任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）． 2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系： （1）开平方； （2）求正弦； （3）求平方； （4）乘以2． 归纳引出映射概念： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 记作"：A→B" 说明： （1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述． （2）"都有唯一"什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ （1）A={是数轴上的点}，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={是平面直角坐标中的点}，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={是新华中学的班级}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生． 思考：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：B→A是从集合B到集合A的映射吗？ 例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A
B （1）
（2） A
B （3）
（4） （四）巩固深化，反馈矫正 1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素） 已知：（1），对应法则是"乘以2"； （2）A=＞，B=R，对应法则是"求算术平方根"； （3），对应法则是"求倒数"； （4）＜对应法则是"求余弦"． 2．在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？
B （五）归纳小结 提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个"标准"呢？ 师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现"一对一"或"多对一"的对应形式． （六）设置问题，留下悬念． 1．由学生举出生活中两个有关映射的实例． 2．已知是集合A上的任一个映射，试问在值域(A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？ 3．已知集合从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？ §函数的表示法一、教学目标：1. 知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2. 过程与方法 通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3. 情感态度与价值观通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。二、教学重难点：重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像三、教学过程：（一）、复习引入： 1．函数的定义，函数的三要素（函数相同的条件）． 集合A集合B 当对应关系符合下面的条件之一时，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 （1）11（集合A和B一一对应） （2）2或者更多1（集合A多个对B一个） 误区：12或者更多
× 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数相同：当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 2．函数图象的基本方法画法（列表、描点、作图.） 本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法（二）、讲解新课：函数的三种表示方法：老师：同学们，回忆一下在初中时，我们学习过什么函数？一次函数：二次函数：反比例函数：教师引导学生归纳函数解析法的特点。（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。以下是我国1992年-1998年的国内生产总值（单位：亿元）年份1992199319941995199619971998老师：根据我们学习的函数的概念，我们知道年份与生产总值之间构成了函数。而我们仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系，像这种函数的表示法，我们称为列表法。（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的"利息表"。说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。老师：另外，在初中我们还学习了一次函数，二次函数，反比例函数的图像。老师：像这种用图像来表示函数的方法叫做图像法。（3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-2
我国人口出生变化曲线） 说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。（三）、例题讲解例1、例3某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．（先学生独自做，老师做个别辅导）首先此函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}，那么由题意可知用解析法可将函数表示为y=5x，。通过计算，用列表法可将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025在直角坐标系上描出各点可得用图像法将函数表示为注意： ①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例2、（课本23页例4） 例3、国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算： 1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推； 2、信函质量大于100g且不超过200g时，付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函质量超过200g，但不超过300g付邮资（A+400）分，依此类推. 设一封x g(0<x200)的信函应付邮资为y（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为 它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示. 新概念教学：在上例中，函数对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数。 注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数. 例3、课本24页例5 例4、作出分段函数的图像 解：根据"零点分段法"去掉绝对值符号，即： = 作出图像如右图 作函数的图象. 解：∵ ∴ 这个函数的图象是抛物线 介于之间的一段弧（如图）. （四）、课堂练习：2、一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则把它的高表示成x的函数为 例1：1)设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x)k=4,kb+b=3k=2,b=1或k=-2,b=-3f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3（五）、小结
函数的三种表示方法及图像的作法，以及如何求函数解析式（六）、课后作业：课本习题：A组习题 补充： 1、作出函数的函数图像 解： 步骤：（1）作出函数y=?2x?3的图象 （2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|?2x?3|的图象 f(x+1)=x+2(x+1)=x+2x+2 （七）、板书设计（略） 求 函 数 解 析 式教学目标：使学生明确待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，并会用这些方法求函数解析式重点、难点：重 点：待定系数法求函数解析式。难 点：换元法与配凑法求函数解析式教学方法：讲练结合法学生已熟悉用待定系数法求一次、二次函数解析式，但用换元法和配凑法求函数解析式并不熟悉，特别是求出函数解析式后要注明函数定义域易被学生忽视，所以通过讲、练要解决好这些问题，特别要使学生明确函数定义域是函数概念中重要组成部分。教学设计：新课引入→ 用待定系数法求函数解析式→ 用换元法与配凑法求函数解析式→ 课时小结→ 随堂练习教学过程：1、新课引入：①复习提问：求函数定义域的关键是什么？函数三要素是什么？（求函数定义域的关键是确定使函数有意义的条件。函数三要素是对应法则、定义域与值域）②导入新课：如何根据条件，求出函数对应法则即函数解析式是函数又一重要问题。板书课题：《求函数解析式》2、用待定系数法求函数解析式例1：已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。例2：求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：这两个例题的共同点，所求的函数类型已定，都是一次函数。这种函数解析式用什么方法来求？（待学生回答后，老师继续讲）如何剥掉抽象的对应法则符号成了解答这两题的关键，如例1：若设f (x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=? f(x-1)=?如例2：设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解答由学生作出解答）例1.解：设f(x)=ax+b (a≠0) 由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+7例2.解：设f(x)=ax+b （a≠0) 依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7∴+b(+a+1)=8x+7 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+1评注：待定系数法是一种重要的数学方法，它适用于已知所求函数的类型，求此函数。3、用换元法与配凑法求函数解析式例3：已知f( +1)=x+2 ，求f(x)的解析式分析：是否知道所求函数f(x)的类型？（待学生回答后，老师继续讲）若把+1看作一个整体，该用什么方法作？（待学生回答，让学生作出解答）解1：令t= +1≥1 则x= ∴ f(t)= +2(t-1)= -1 ∴f(x)=-1 (x≥1)解2：由f( +1)=x+2 = -1 ∴f(x)=-1 (x≥1)学生容易忽视函数的定义域，就此例题向学生发问：师问：f(x)= -1与f(x)= -1 (x≥1)是否是同一函数？那么求函数解析式后是否要注明函数定义域评注：(1) f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。(2) 求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。例4：已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键（由老师讲解）解1：f(x-1)==-2(x-1)-3 ∴ f(x)= -2x-3f(x+1)= -2(x+1)-3=-4 ∴ -4=0 x=±2解2：f(x-1)= - 4x ∴f(x+1)=f[（x+2)-1]= - 4(x+2)= - 4 ∴- 4=0， x=±2解3：令x-1= t+1 则x=t+2 ∴f(t+1)= -4(t+2)= - 4∴ f(x+1)= - 4 ∴- 4=0 ∴ x= ±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将 f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。4、课时小结：待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。随堂练习：1、已知f(x+1 )= +1 ，求f(x)解析式。2、设函数F(x)=f(x)+g(x) 其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F（x) 的解析式。课外作业：1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。2、设f(x)=2-3x+1,g(x-1)=f(x) ,求g(x)及f [g(2)]. 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一． 换元法题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若,求.二．配变量法题2．已知, 求的解析式.练习2．若,求.三．待定系数法题3．设是一元二次函数, ,且, 求与.练习3．设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为,求的表达式.四．解方程组法题4．设函数是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式,求的解析式.练习4．若,求.五．特殊值代入法题5．若,且， 求值.练习5．设是定义在上的函数,且,，求的解析式.六．利用给定的特性求解析式.题6．设是偶函数,当x＞0时, ,求当x＜0时，的表达式.练习6．对x∈R, 满足,且当x∈[－1,0]时, 求当x∈[9,10]时的表达式.七．归纳递推法题7．设,记,求.八．相关点法题8．已知函数,当点P(x,y)在y=的图象上运动时,点Q()在y=g(x)的图象上,求函数g(x).九．构造函数法题9．若表示x的n次多项式,且当k=0,1,2,...,n时, ，求.小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。练习：1．向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是2．从盛满20升纯洒精的容器中倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续下去,如果第k次倒后共倒出纯洒精x升,第k+1次倒后共倒出纯洒精f(x)升,求f(x)的表达式.
( f(x)= )3．设二次函数满足,且它的图象与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为,求的表达式.
()4．对满足的所有实数x,函数满足,求所有可能的.
(,())5．设是定义在上的函数,若,且对任意的x,y都有： , 求.
() 2．3
函数的单调性一、 教学目标1．理解增函数、减函数的概念;2．掌握判断某些函数的单调性的方法;3. 通过对函数单调性的理论研究,增强学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 二、教学重点和难点：
1．重点：函数单调性的判定．2．难点：利用函数单调性的概念判断函数的单调性．四、教学过程设计Ⅰ.复习回顾 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课 在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图. 我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢? （随着x的增加，y的值在增加） 怎样用数学语言来表示呢? 设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2） 当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2） 而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数. 观察图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?(从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.)(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦) 那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?一般地，设函数的定义域为Ⅰ： 如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量，当时，都有，则称在这个区间上是增函数，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量。当时，都有，则称在这个区间上是减函数．老师说明几点：（1）如果函数在某个区间是增函数或减函数，就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫函数的单调区间．（2）在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的．（3）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．例如：在上为增函数，在上为减函数；但在上不具备单调性．也不是单调函数．请同学们再举一个类似的例子． 〔知识应用与解题研究〕【例1】
如下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数． 判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤： a.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2 b.计算f（x1）－f（x2）至最简 b.判断上述差的符号 d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本 例1，与学生一块看，一起分析作答) 注：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明 ［例2］证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数. 证明：设任意x1、x2∈R，且x1＜x2 则f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2） 由x1＜x2得x1－x2＜0 ∴f（x1）－f（x2)＜0
即f（x1）＜f（x2） ∴f（x）＝3x＋2在R上是增函数 ［例3］证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2 则f（x1）－f（x2）＝－＝ 由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0 又x1＜x2
得x2－x1＞0 ∴f（x1）－f（x2）＞0
即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数 单调函数必须是在某个区间上"任意"两点都满足单调性定义。求差可以判断与的大小关系，还有其他方法吗？ 若时，可用求商来比较，若大于1，则；若小于1，则，从而由判断商与1的大小关系来判定函数的单调性。 （三）演练反馈 1．在区间上不是增函数的是（
B． C．
D． 2．函数的单调区间是_____________。 3．函数的单调增区间是___________，单调减区间是___________。 4．下列命题中不正确的是___________（填上所有不正确命题的序号） ①因为函数分别在内都是减函数，所以函数在整个定义域内是单调递减的。 ②函数在上是减函数。 ③有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间。 5．如图，已知函数的图像（包括端点），根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。 6．证明时在R上为减函数。 7．证明在时为增函数。 〔参考答案〕 1．C 2．和均为减区间 3． 4．① 5．的单调增区间为和
单调减区间为和
的单调增区间为
单调减区间为和 6．略 7．略 （四）总结提炼 单调性概念的理解 ①单调性相对于特定的区间而言 ②定义中具有以下特点 （1）在区间上 （2）任意性 （3） （五）课时作业 课本P46，习题第1，2，3，4题
函数的奇偶性教学目标：了解函数奇偶性的定义，会判断或证明一些函数的奇偶性；过程与方法：学会运用函数图像理解和研究函数奇偶性，培养学生判断、推理的能力;情态与价值观：通过函数的奇偶性的概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象概括的能力，领会数形结合的数学思想。教学重点：函数奇偶性的概念、图像特征及函数奇偶性的判定。教学难点：对函数奇偶性概念的理解和证明。教学过程：一、问题情景在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影"对称"是大自然的一种美，无处不在，是生活的一种美，这种"对称美"在数学中也有很多的反映。二、教学引入 同学们先来观察下列函数图像，从对称的角度你发现了什么？（1）y=x2
(4) y=- 观察得到：（1）、（3）的图像关于y轴对称;（2）、（4）的图像关于原点对称. 问题1.你能说出"图像关于y轴对称"的意思吗？"图像关于原点对称"的意思呢？问题2.点（x0,f(x0)）与哪一个点关于y轴对称？点（x0,f(x0)）与哪一个点关于原点对称？（同学们可以先回忆初中所学的对称概念，再相互讨论一下，然后在回答问题。）函数y=f(x)的图像关于y轴对称，把此图像沿y轴对折，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上点（-x0,f(-x0)重合；因此有f(-x0)=f(x0)成立。函数y=f(x)的图像关于原点对称，把此图像绕原点旋转1800，那么图像上的点（x0,f(x0)）与图像上的点（-x0,f(-x0)）重合。因此有f(-x0)=-f(x0)成立。函数的这种性质称为函数的奇偶性。三 建构数学问题3 如何用数学语言来准确的表述函数的奇偶性？1）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的偶函数。2）设函数y=f(x)的定义域为A，对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，那么称函数y=f(x)是定义域A内的奇函数. 如果函数y=f(x)是奇函数或是偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性。得到了奇函数、偶函数的定义，我们一起再来把定义分析一下。问题4."对任意的xA，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立"这句话包含了几层含义？（1）说明f(-x)与f(x)都有意义，即xA时必有-xA，这说明奇、偶函数的定义域必须关于原点对称。否则的话，就既不是奇函数，也不是偶函数。（2）对于偶函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好相等；而对于奇函数，当自变量任取定义域内互为相反数的两个值时，对应的函数值恰好互为相反数。强调、（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个先决条件；（2）易知偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。四 数学应用例1 判断下列函数是否为奇函数或偶函数？（1）f(x)=x2-1
(2)f(x)=(x-1)2
(3)f(x)=x3+5x(4)f(x)=x2 (x[-1,2])
(6)f(x)=0 (x[-6,-2][2,6])(7) f(x)=
(8)y=（1）是偶函数.因为它的定义域是R,且对任意xR，都有f(-x)=（-x）2-1=x2-1=f(x)。（2）既不是奇函数，也不是偶函数。因为虽然它的定义域是R，但对任意xR， f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2，所以f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)。
（3）是奇函数. .因为它的定义域是R, 对任意xR，f(-x)=（-x）3+5（-x），=-x3-5x=-f(x)。（4）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域不关于原点对称，如f(2)存在，但f(-2)无意义。（5）既不是奇函数，也不是偶函数。因为它的定义域不关于原点对称。（6）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域关于原点对称，且对任意x[-6,-2][2,6]，都
有f(-x)=0，故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立 。（7）既是奇函数，也是偶函数。因为它的定义域是，关于原点对称，化简得f(x)=0，所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立 。 （8）是奇函数.由得所以该函数的定义域是[-1，0](0,1]，此时化简得f（x）=，对任意x[-1，0](0,1]，都有f（-x）==-f（x）成立。问题5。 根据例题，（1）你能归纳一下根据定义判定函数奇、偶性的步骤吗？第一步，判定函数的定义域是否关于原点对称（若题中未给出，则必须先求出定义域）。若函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数。若函数的定义域关于原点对称，则进行第二步。第二步，求f（-x）（有时须进行适当的化简和变形），观察f（-x）与f（x）的关系；第三步，结论。若f（-x）=f（x），则该函数为偶函数； 若f（-x）=-f（x），则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立，则该函数既是奇函数，也是偶函数。 若f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数； 函数根据奇偶性可以把函数分为几类 ？四类。奇函数；偶函数；既是奇函数，也是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数。既是奇函数，也是偶函数的函数具有什么特征？有几个？解析式是f（x）=0，定义域关于原点对称即可：有无数个。 若f(x)是奇函数，且在x=0时函数有意义，则f(0)=？(偶函数也有此性质吗？) 因为奇函数中f（-x）=-f（x），且在x=0时函数有意义，则f(-0)=-f（0），即f（0）=0。 偶函数也没有此性质。例2
证明函数f(x)=是偶函数。 证明：函数f(x)=的定义域为R, 对任意xR，都有f(-x)= ==f(x)所以函数f(x)=是偶函数。（证明一个函数是奇函数或是偶函数必须用定义进行，步骤同判定）例3 （1） 已知偶函数f(x)(x[1,4]）上的图像，作出f(x)(x[-4,-1]上的图像；（2）已知奇函数g(x) (x[1,4]）上的图像，作出g(x)(x[-4,-1]上的图像；注：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，（函数的单调性是定义域上的局部性质）。练习
1,2,3,4.五 回顾小结本节课主要学习了函数的奇偶性的概念以及判断函数在定义域上的奇偶性的方法。1 函数具有奇偶性必须满足（1）定义域在数轴上关于原点对称（2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)在定义域内恒成立 若函数定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数。 2 奇函数、偶函数的图像特征
奇函数的图像关于原点成中心对称图形
偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 3 数形结合的数学思想在本节课中的应用 六
课外作业 课本P40 5,6
P43 5,6,8,9 2.2.1 一次函数的性质与图像一、 教学目标1．掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；2．结合图象，使学生理解掌握一次函数的性质； 3．提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力。 4．初步了解数形结合。二、重点、难点 重点：一次函数的图象与性质 难点：对一次函数中的数与形的联系的理解三、教学方法"实践探究、启发引导、归纳概括" 的引导探究法四、 教学过程创设情境，引入课题 前面我们己学习了一次函数的概念，一般地，如果，那么叫的一次函数。特别地：当时，一次函数就变成了正比例函数。 在同一直角坐标系中投影出的函数图象，让学生观察它们的图象都是直线并引入课题。 所有的一次函数的图象都是直线。因此要画一次函数的图象--一条直线，就没有必要把所有的点都描出来，只要描出两个点就可以了，因为两个点确定一条直线。利用这个结论，我们可以更快地作出一次函数的图象，并对它的性质进行研究。描点画图，归纳画法 【过渡】下面我们一起来画首先共同画出正比例函数与的图象。并由此归纳出正比例函数的图象为过和两点的直线。观察图象、研究性质 然后提出问题1：让学生自己画图，研究正比例函数有何性质？即正比例函数中，对函数图象有何影响？ 研究问题1时，我首先通过图像与学生共同归纳正比例函数与的图象性质，特别是随的变化趋势。 进行作图。在作图的同时，启发学生注意观察坐标的变化并得到：对于，随的增大而增大；对于，随的增大而减小。 得出结论：对正比例函数的图象的影响。 解析式图象示意图图象所在的象限随的变化趋势在刚才所画直角坐标系中分别画出，图象如下所示。1,3象限随的增大而增大1,3象限随的增大而增大1,3象限随的增大而增大2,4象限随的增大而减小2,4象限随的增大而减小2,4象限随的增大而减小 引导学生观察正比例的图象的变化并归纳出它的性质： 当时，图象在1,3象限，随的增大而增大； 当时，图象在2,4象限，随的增大而减小。类比联想、探索性质 首先学习例3：在同一直角坐标系中画出与的图象。在画图的过程中利用表格(如下)：解析式与轴的交点与轴的交点 归纳出一次函数为过和两点的直线。 然后提出问题2：讨论一次函数中，对函数图象有何影响？ 在解决问题2时，首先抓住正比例函数是一次函数的特殊情况，让学生了解这一关系并从中直接得出一次函数性质。 先固定的值，让的值连续变化，观察图象的变化，归纳出一次函数的性质： 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小。 再固定的值，让的值连续变化，观察图象的变化，归纳出的变化引起图象变化规律：一次函数图象与轴的交点为。练习反馈、巩固性质书上练习：A.B小结归纳，揭示规律 先由学生归纳，再由老师总结，培养学生的归纳能力。 （1）正比例函数的图象的画法：过原点与点的直线即所求的图象； （2）一次函数图象的画法：在轴上取点，在轴上取点，过这两点的直线即所求的图象； （3）正比例函数与一次函数的性质。 2.2.2 二次函数的性质与图象【教学目标】1、 让学生学会画函数的图象，并能通过图象和解析式，正确地说出开口方向，对称轴以及顶点坐标，图象性质.2、 通过探索让学生经历二次函数性质探究的过程，理解二次函数的性质及它与函数的关系。3、在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想.重点：理解二次函数的性质，难点：二次函数的增区间和减区间。【概念探究】1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、的性质与图象有哪些影响？3、分析二次函数的性质时，需要对其解析式进项变形，主要用什么方法？4、基本知识填空：（1）、函数_____________________叫二次函数，它的定义域是_________________.（2）、若时，二次函数是一条____________的抛物线，（3）、二次函数的顶点坐标为_______________,对称轴为_______;当时，抛物线的开口_____________,在________________上是增函数，在____________上是减函数；当时，抛物线的开口_____________,在________________上是增函数，在____________上是减函数.【例题解析】例1、已知关于x的不等式k（1）若不等式的解集为{x|x-2},求k的值；（2）若不等式的解集为R,求k的值；（3）若不等式的解集为,求k的值；（4）若不等式的解集为{x|2<x<3},求k的值；例1、解析：（1）由题设知：k=（2）由题设知：k=（3）由题设知：k<（3）由题设知：k例2、已知f(x)=若f(x)的最小值为h(x)，写出h(t)的表达式。例2、解：【课堂检测】1.如果函数的图像与直线的交点恰为3个，则k的值为（
D.0或12.若函数的定义域为R，则m的取值范围是（
D.3.如果函数的图像在轴上方，则的定义域为（
）A.｛x||x|1｝
C. ｛x|x－1且x1｝4.设的最大值是，当有最小值时，t的值为（
D.5.已知函数，则不等式的解集是_____________6.已知函数的定义域为R，且记的最小值为，则当m变化时，函数的值域为__________________参考答案：1.C2.C3.C4.D5.6.【课堂小结】1．你能说出函数具有哪些性质? 2.2.3 待定系数法教学目标： 1．掌握用待定系数法求解析式的方法；了解待定系数法及其应用； 2．设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；3．培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．4．通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；5．通过合作学习，培养学生团结协作的品质．重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式．教学过程：1．知识再现：正比例函数、一次函数、二次函数的解析式？正比例函数、一次函数、二次函数的解析式中各有几个需要确定的系数？2．概念探究阅读课本61页到例1的上方，完成下列问题1、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过____________求___________来确定_____________的方法，叫待定系数法．2、正比例函数的一般形式为_____________________,一次函数的一般形式为___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.3、________________4、二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且过（0，0）点，则函数解析式为_____________3．例题解析阅读课本例1与例2，独立完成下列问题例 1．已知是一次函数，且，求例2． 正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为？例 3．已知二次函数f(x），f（0）=-5,f(-1)=-4,f(2)=5,求这个函数.练习：求下列二次函数的解析式①经过三点（3，0），（0，-3），（-2，5）②顶点(4,2),(2,0)在图像上③的顶点在上4．归纳总结运用待定系数法解题步骤：第一步：设出适当含有待定系数的解析式；第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组；第三步：解方程组，或消去待定系数，进而解决问题.给定哪些条件，才能求出一个具体的二次函数.概念深化
二次函数在待定系数法中的设法：设法1：已知顶点坐标（m,n）,可设y=a,再利用一个独立条件，求a.设法2：已知对称轴x=m,设利用两个独立条件求a,b.设法3：二次函数图像与x轴有两个交点时，设再利用一个独立条件求a.5．课堂检测1.已知为一次函数，且，则（
D.8x+72.已知二次函数的图像的对称轴是x=1，并且通过点A（－1，7），则a，b的值分别是（
D.－2，－43.已知，则a,b的值分别为（
D.－2，－34.已知，则a,b,c的值分别为5.已知，则＝____________________；6.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程有两个相等的根，求参考答案：1. A ；2 .B ；3. A ；4.
3 ；5 .；6. y=或y=．2.3 函数的应用一、 教学目标： 1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题. 2．感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性. 3．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、 教学重点与难点： 重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 难点：将实际问题转变为数学模型.三、 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.四、 教学设想 （一）创设情景，揭示课题 引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题："今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个"鸡兔同笼"问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了"独脚鸡"和"双脚兔". 这样，"独脚鸡"和"双脚兔"脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23. 比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答"鸡兔同笼"问题. （二）结合实例，探求新知 例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程. 探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样； 2）所涉及的变量的关系如何？ 3）写出本例的解答过程. 老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义. 学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析. 例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法： 1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？ 2）本例涉及到几个函数模型？ 3）如何理解"更省钱？"； 4）写出具体的解答过程. 在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等 . 课堂练习1
某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 引导学生探索过程如下： 1）本例涉及到哪些数量关系？ 2）应如何选取变量，其取值范围又如何？ 3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？ 4）"总收入最高"的数学含义如何理解？ 根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析. [略解：] 设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30 设客房租金总上收入元，则有： =（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30） 由二次函数性质可知当=10时，=8000. 所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元. 课堂练习2
要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价. （三）归纳整理，发展思维. 引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：1） 合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. （四） 布置作业函数的零点一．教学目标知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件。（3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。情感态度与价值观: 使学生再次领略"数形"的有机结合，渗透由抽象到具体的思想,理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。二．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 难点：探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用三．教学设计创设情境画函数的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程的根的关系。 [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系。 生：独立画图，独立思考。绘制函数、的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程、的根的关系。 [师生互动] 师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
组织探究对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点(zero point)． 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． [师生互动] 师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思想方法生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法．
意义构建 函数零点的求法： 求函数的零点：○1 （代数法）求方程的实数根；○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． [师生互动] 师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。 生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法,即求解函数对应的方程； 第二：几何法，画出函数图像，找出零点。 二次函数零点个数的判定方法：判别式一元二次方程二次函数有两个不相等的实根有两个零点有两个相等的实根（重根）有一个二重的零点或有二阶零点没有实根没有零点 [师生互动] 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。
探索研究 （Ⅰ）观察二次函数的图象①在区间上有零点______；______，_______,_____0（或）．②在区间上有零点______；·____0（或）．结论：二次函数零点的性质（1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号.（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. （Ⅱ）观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0（或）．②在区间上______(有/无)零点；·_____0（或）．③在区间上______(有/无)零点；·_____0（或）.结论：零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内至少存在一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注意：（1）此性质成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；（2）零点并不一定是唯一的，但一定存在；（3）是函数在区间内有零点的充分条件。但是若函数是一次、二次函数时，则是函数在区间内有零点的充要条件。 [师生互动]师：引导学生结合教师所提出的问题及函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。 例题研究 例题1：求函数的零点，并指出，时，的取值范围. 解：由得， ∴函数的零点为-3，1. =,画出图象， 由图象观察可得：当时， 当或时，，∴函数的零点为-3 ，1 时，的取值范围是 时，的取值范围是. 例题2：求函数的零点，并画出它的图象. ∵ ∴函数的零点为-1,1,2三个零点把轴分成四个区间：，，，列表描点连线x-1.5-1-0.500.511.522.5y-4.3801.8821.130-0.6302.63说明：求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象，可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点。因式分解的方法主要有：提取公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等.[师生互动]师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数． 练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）； （2）； （3）； （4） 2．求出下列函数的零点，并画出函数的草图： （1）； （2）； （3）； （4）． [师生互动]师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数，并再次明确学习目标生：认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用，并总结出确定函数零点的一般步骤。
作业反馈1． 教材P77练习A第1、2题；2． 求下列函数的零点：（1）；（2）．2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法--二分法教学目标：1． 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；2． 了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．3． 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：重点
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学过程环节教学内容设计师生双边互动创设情境 材料一：二分查找(binary-search) （第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（
）个单元。 Ａ．1000
Ｄ．500 材料二：高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．组织探究 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间，，验证·，给定精度； 2．求区间，的中点； 3．计算：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件"·"、"精度"、"区间中点"及""的意义．环节 呈现教学材料师生互动设计组织探 究 ○1 若=，则就是函数的零点； ○2 若·<，则令=（此时零点）； ○3 若·<，则令=（此时零点）； 4．判断是否达到精度； 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．生：结合引例"二分查找"理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法． 例题解析： 例1．求函数的一个正数零点（精确到）． 分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答． 解：（略）． 注意： ○1 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ○2 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）． 解：（略）． 思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．环节 呈现教学材料师生互动设计探究与发现1） 函数零点的性质从"数"的角度看：即是使的实数； 从"形"的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点． 2） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．师：引导学生从"数"和"形"两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．尝试练习1） 教材P74练习1、2题；2） 教材P75习题2.4（A组）第2、4题；3） 求方程的解的个数及其大致所在区间；4） 探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．课后作业1） 教材P75习题2.4（A组）第5题、（B组）第1题；2） 提高作业：○1 已知函数．（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法； 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？第二章《函数》综合复习学习目标：（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化. （2）进一步提升学生的集合思想与函数思想. 重点： 构建知识体系 难点： 整合基本数学知识、数学思想和数学方法. 教学过程：一、知识结构图二、基本知识点回顾1、函数的三要素;2、映射与函数的关系：
概念的推广， 函数是
的特殊映射.3、函数单调性的判定方法;4、 函数奇偶性的判定方法：首先判定（
）是否关于原点对称 若是
若不是三、典型例题;例1、下列函数中哪个与函数y=x相等？（
） （1）；
（2）； （3）；
（4） 。例2、 求下列函数的定义域： （1）y =+； （2）y =深化题：（1）已知函数f (2x-1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域； （2）已知函数f (x)的定义域为[-1，3]，求f (2x-1)定义域. 例3、
求下列函数的值域： （1）y = x2 -2x，x[0，3]； （2）y = x +，x[0，+∞]； （3）y = x +； （4）y = |x+1| + |x- 2|.例4、
已知函数f (x)的解析式为： . （1）求f ()，f ()，f (-1)的值； （2）画出这个函数的图象； （3）求f (x)的最大值.例5、试讨论函数f (x) =，x(-1，1)的单调性(其中a≠0).课后作业：1、设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,则f(7)等于2、.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（
）函数，且最
。3、求下列函数的定义域： （１）； （２）4、设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式．5、f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。6、求二次函数f(x)=x－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值
