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例谈中考压轴题的存在性问题
东莞市清溪中学 杨东科
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东莞市清溪中学 杨东科
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巧解平行四边形存在性问题（二次函数压轴题）
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巧解平行四边形存在性问题（二次函数压轴题）
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{description}&>&&>&2015年二次函数压轴题专题全面复习(含答案)
2015年二次函数压轴题专题全面复习(含答案) 13635字 投稿：罗籋籌
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2015年二次函数压轴题专题全面复习
题型一、存在性问题
1、（2014o长汀县模拟）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
2、（2014o汕尾）如图，已知抛物线y=x﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2
3、（2014o铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标． 2
4、（2014o湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由． 2
题型二、相似三角形问题
1、（2015o虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、
2（3，﹣1），二次函数y=﹣x的图象为C1．
（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过点A，求抛物线C2的表达式；
（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过点A、B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线C3的表达式以及点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C3对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．
2、（2014o钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，
4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 2
3、（2014o衡阳）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？ 2
题型三、面积问题
1、(2014o深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F， ①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
2、（2014o重庆）如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ2为直角三角形，求点Q的坐标．
3、（2014o兰州）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的2坐标．
4、（2014o南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k2
的值；若不存在，请说明理由．
题型四、线段问题
1、（2014o南平）如图，已知抛物线y=﹣
+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形； ②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
2、（2014o重庆）如图，抛物线y=﹣x﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．
3、（2014o郴州）已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若2
不存在，请说明理由．
4、（2014o遂宁）已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM． （ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五、比例及定值问题
1、（2014o龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求
2、（2014o鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C1：y=ax+bx+c（a≠0）的函数表达式． （2）设点D（0，
），若F是抛物线C1：y=ax+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长
取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究
是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2=﹣（x﹣h），h＞1．若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．
3、（2014o黄石）如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10． （1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
（3）直线y=k（x﹣3）﹣求证：
与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣
为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），
则M，N两点间的距离为|MN|=
题型六、动点及关系式问题 1、（2014o吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为
；若P：y=﹣x﹣3x+4，则l表示的函数解析式为
． （2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）； （3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．
2、（2014o抚顺）如图，抛物线y=ax+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S． （1）求抛物线的解析式； （2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值； ②求S与t的函数关系式；
（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形2
和平行四边形时所对应的t值．
3、（2014o攀枝花）如图，抛物线y=ax﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．
（1）请直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；
（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围． 2
题型七、二次函数与圆
1、（2014o百色）已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于
A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
2、（2014o宿迁）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标． 2
3、（2014o张家界）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过2C点，直线l垂直x轴于B点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mon的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
压轴题题答案
专题一、存在性问题
1．（2014o长汀县模拟）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，则﹣x﹣1=0，
解得x=﹣1，
所以，点A的坐标为（﹣1，0），
2设抛物线解析式为y=ax+bx+c，
∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
2所以，抛物线解析式为y=x﹣2x﹣3；
（2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
2∴设点P（x，﹣x﹣1），则点E的坐标为（x，x﹣2x﹣3），
2PE=（﹣x﹣1）﹣（x﹣2x﹣3），
2=﹣x﹣1﹣x+2x+3，
2=﹣x+x+2，
=﹣（x﹣）+， 2
所以，点D的坐标为（2，﹣3），
∵P是线段AD上的一个动点，
∴﹣1＜x＜2，
∴当x=时，PE有最大值，最大值为；
（3）∵y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，
∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，
y=﹣1﹣1=﹣2，
∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），
∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，
∵四边形GFEP为平行四边形，
2∴﹣x+x+2=2，
解得x1=0，x2=1（舍去），
此时，y=﹣1，
∴点P的坐标为（0，﹣1），
故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）存在．理由如下：
①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，
∴HD∥AQ，
∴点H的纵坐标与点D相同，是﹣3，
2此时，x﹣2x﹣3=﹣3，
2整理得，x﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2（舍去），
∴HD=2﹣0=2，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
﹣1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，
∴点Q的坐标为（﹣3，0）或（1，0）；
②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，
∵点D的纵坐标为﹣3，
∴点H的纵坐标为3，
∴x﹣2x﹣3=3，
2整理得，x﹣2x﹣6=0，
解得x1=1﹣，x2=1+，
∵点A的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，
2﹣（﹣1）=2+1=3，
根据平行四边形的性质，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，
∴点Q的坐标为（4﹣，0）或（4+，0），
综上所述，存在点Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+
Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形． ，0），使A、D、H、
2、4、（2014o汕尾）如图，已知抛物线y=x﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2
解：（1）∵y=x﹣x﹣3，
∴当y=0时，x﹣x﹣3=0，
解得x1=﹣2，x2=4．
当x=0，y=﹣3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y=x﹣x﹣3，
∴对称轴为直线x==1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称， ∵C点坐标为（0，﹣3），
∴M点坐标为（2，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．
当y=3时，x﹣x﹣3=3，
解得x1=1+，x2=1﹣，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（﹣2，0）．
∵P1A=6，BC=2，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），
∴直线AB的解析式为y=x﹣6，
∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，
将C点坐标（0，﹣3）代入，得n=﹣3，
∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．
∵点P2在抛物线y=x﹣x﹣3上，
∴x﹣x﹣3=x﹣3，
化简得：x﹣6x=0，
解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，
∴P2（6，6）．
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．
23、（2014o铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，
0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）． 2
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+3；
（2）①根据题意设E′（2t，t），
∴t=﹣×4t+×t+3，解得：t=2，t=﹣3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直线AB为y=﹣x+3，
把x=2代入得y=﹣×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直线DE′的解析式为y=x﹣2， 22
∴H（，），
∴S△DGH=×2×（
∴t为2时点E′恰好在抛物线上，此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为；
②如图，当AD为对角线时，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，
则DE′=AE′，
∴E′和P关于x轴对称，
∴P（4，﹣2）
所以点P的坐标为（4，﹣2）；
当AD是边时；∵AD=6﹣t，菱形AE'DP
∴E'P=AD=6﹣t
∴DE'=6﹣t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE=t+t=2t
22∴2t=（6﹣2t）
∴t1=6+3，t2=6﹣3，
∵P（2t+6﹣t，t）
∴P（t+6，t）
∴P（12+3，6+3）或（12﹣3，6+3）
综上，P（4，﹣2）或P（12+3，6+3）或（12﹣3）．
解：（1）当y=0时，有，
解得：x1=4，x2=﹣1，
∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．
（2）∵⊙Q与x轴相切，且与
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，
交于D、E两点，
∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0）， ∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）
∵E点在二次函数
（3）存在．
①如图1， 或的图象上， ， （不合题意，舍去）．
当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG，
∴△ACO≌△CFG，
∴CG=AO=4，
∴m=OG=2+4=6；
反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，
易得yC﹣yF′=CG=4，
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．
当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，
∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠FAP，
∴△ACO≌△∠FAP，
∴FP=AO=4，
∴m=FP=4；
反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，
易得yA﹣yF′=FP=4，
∴m=0﹣4=﹣4．
当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′， 分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA，
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴△CDF≌△AEF，
∴CD=AE，DF=EF，
∴四边形OEFD为正方形，
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，
∴4=2+2oCD，
∴m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，
∴∠HF′C=∠GF′A，
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，
∴△HF′C≌△GF′A，
∴HF′=GF′，CH=AG，
∴四边形OHF′G为正方形，
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，
∵y=﹣x+x+2=﹣（x﹣）+
∴y的最大值为．
． 22， ∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜
∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．
综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3
4、（2014o湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由． 2
解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
2把A、C两点的坐标代入y=﹣x+bx+c得，
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
2由①得抛物线的解析式为y=﹣x﹣4x+4，
∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∴BC=AC=2，
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴=， ，2）或（2，2）
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴A点坐标为（﹣c，c），
∴顶点横坐标=c，b=c，
2BC，AC=OC， ∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）+coc+c，
∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，
∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．
专题二、相似三角形问题
1、3、（2015o虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（3，﹣1），二次函数y=﹣x的图象为C1．
（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过点A，求抛物线C2的表达式；
（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过点A、B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线C3的表达式以及点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C3对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标． 2
2、（2014o钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，
4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 2
3、（2014o衡阳）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，
2故抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx+2mx﹣3m．
（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x+4x﹣6，则P（x，2x+4x﹣6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
∴y=﹣2x﹣6． 如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．
∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x+4x﹣6）=﹣2x﹣6x． S=S△PFA+S△PFC=PFoAE+PFoOE=PFoOA=（﹣2x﹣6x）×3 ∴S=﹣3x﹣9x=﹣3（x+）+
故S与x之间的关系式为S=﹣3x﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为
（3）∵y=mx+2mx﹣3m=m（x+1）﹣4m， ∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）． 如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2； 过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．
由勾股定理得：
AC=OC+OA=9m+9； 2222
CD=CF+DF=m+1； 2222
AD=DE+AE=16m+4． ∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形， ∴△ACD必为直角三角形． i）若点A为直角顶点，则AC+AD=CD，
即：（9m+9）+（16m+4）=m+1，
整理得：m=﹣，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD+CD=AC，
即：（16m+4）+（m+1）=9m+9， 整理得：m=， ∵m＞0，∴m=
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2△BOC的三边长为：OB=1，OC=
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC+CD=AD，
即：（9m+9）+（m+1）=16m+4，
整理得：m=1， ∵m＞0，∴m=1． 此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=． ∵
∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似． 题型三、面积问题答案 1、（2014o深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F， ①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标； ②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
2、3、（2014o重庆）如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长； （3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
3、（2014o兰州）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
、（2014o南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
2015年二次函数压轴题专题全面复习题型一、存在性问题1、（2014o长汀县模拟）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解…
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