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求助，震荡间断点有原函数的问题
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这个函数，导函数在x=0那点是震荡间断点。而且不连续。
可是，他的原函数连续且可导。既然原函数连续，那么原函数在x=0的导数应该=导函数在x=0这点的左极限=导函数在x=0这点的右极限=导函数在x=0这点的极限
也就是说我疑惑为什么有的震荡间断点会有原函数？定义不是说在区间任意一个x，原函数的导数值等于导函数的值？既然导函数都不存在了，那不矛盾了么。。
跪求啊。。纠结了好长时间了。
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& & 导函数不连续，但是导函数补充定义了。
补充了之后，仍是震荡间断点啊。x=0那点导数是由定义求出来的啊
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上面错了，原函数在x=0的导数等于左导数和右导数，并不等于你说的那些，因为导函数在x=0处不连续
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左右导数均存在且相等，说明在此函数在这点可导，且导数值等为左右导数的值，但是这说明不了导函数在这一点连续。
定义不是说在区间任意一个x，原函数的导数值等于导函数的值，这说的是连续区间吧，请注意这个F(X)，说它在整个区间上可导，是因为补充定义以后他连续了，也就是说在X=0的一个邻域内无论左右，向X靠近的时候函数值是无限接近这个补充的值，所以认为他是连续的，但是由于这个点不在F(X)的整体表示上出现，那在这点的导数也就没有一个明确的规则，只能靠左右导数相等而推出一个值，但由于导函数表示的切线斜率的一组变化方向，这对于光滑的曲线来说，这个F(X)间断点肯定不能保证使其导函数左右极限相等
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在x=x0，如果左导数和导函数的左极限同时存在，那么一定相等，但完全有可能只存在一个或者两者都不存在，右导数和导函数的右极限同理。。。f(x)可导≠f'(x)连续
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& & 不是你说的这个问题啊，我意思是说，既然是原函数，原函数在定义域上连续，那么导函数的才符合我说的：原函数在x=0的导数应该=导函数在x=0这点的左极限=导函数在x=0这点的右极限=导函数在x=0这点的极限
&&原函数连续是前提啊
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& & 这个貌似书上是说在区间上的任意一个x。。虽然F（x）是补充的,但f(x)也是补充的（用导数定义补充的啊）
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& &原函数一定是连续且可导的啊，不然怎么叫原函数？难不成你认为原函数可以是不连续的？
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介个，他说的意思是任意一点的导数值等于导函数在这点的值吧？？如果F(X)是可导的，那依据定义就是F(X)在区间之内处处可导，这个对的，因为如果导函数存在间断。那导函数的间断点是用原函数左右导数的定义而给导函数的相应的补充一个值，那这必是相等的了，如果对于导函数来说左右导数存在但是不相等，那是不存在原函数的，因为按照导数的定义“原函数”在这点不可导，但是如果是第二类间断点的话就不能反推出“原函数”在这点不可导，有点类似于反常积分的概念，在某点无定义不能说明在这点的邻域内就积不出值
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& & 原函数连续，原函数在x=0的导数=导函数在x=0这点的左极限=导函数在x=0这点的右极限=导函数在x=0这点的极限
这是全书上的原话吧
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& &&&原函数连续，原函数在x=0的导数=导函数在x=0这点的左极限=导函数在x=0这点的右极限=导函数在x=0这点的极限
主要是有原函数连续这个条件啊，要是原函数不连续，你说的哪些都对。。
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……你的意思是想从导函数存在第二类间断点直接推导出原函数可能存在吗？也就是原函数在这点是可导的？介个，为什么资料上都用反正法呢，因为正推需要用一个叫布达定理的东东，远远超出我们的讨论范围了……，而且我记得这个东东好像也要分好多种情况讨论，所以，楼主还是不要太抠了，只要直观的想一起如果圆的两侧切线有两条是是垂直于x轴的，按切线的定义这是无意义的，但这个圆确实是处处连续的
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& &全书上有这句原话？？？你发一下页码给我看看
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原函数连续，原函数在x=0的导数=导函数在x=0这点的左极限=导函数在x=0这点的右极限=导函数在x=0这点的极限???
全书上哪有这句话？你要清楚导函数的左极限和左导数是不同的概念
原函数在x=0的导数=原函数在x=0的左导数=原函数在x=0的右导数。这才是对的
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& & p53页评注。。。
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& & p53页评注吧。。。导数是导数，导函数是导函数，这个我知道啊
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你说这个？他是说在导函数连续的条件下，求导数可以用导函数的极限来求，现在导函数不连续，不能用
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& &你说的评注是指这句话么？“或在连续的条件下求导函数的极限”？？？你似乎以为这个“连续”是指原函数连续？那你就完全理解错了，它这里说的“连续”显然是指导函数连续。
& &另外必须强调一点，原函数在任何时候都是连续（并且可导）的，如果不满足这点根本就不能叫做原函数，或者说原函数不存在
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Powered by Discuz!连续函数和间断函数加减乘除后是连续函数还是间断函数问题连续函数与连续函数的加减乘仍是连续函数,除法不一定间断函数与间断函数的加减乘除都不一定连续函数与间断函数的加减乘除也都不一定上述说法正确吗?也就是说上述12种情况都正确吗?
梦魇My3304
你的第一二句对的,第三句错的连续函数与间断函数的加减一定是间断的,可以用反证法得到（若连续,设f连续,g间断,则g=(f+g)-f连续,矛盾.）连续函数与间断函数的乘除是不一定的,例如一个恒为0,另一个随便,那么乘除都为0.
你说的最后一条：
一个恒为0，另一个在某点没有定义，那应该也是间断的吧？
这是间断的，我这样说只是说明有连续的情况
懂了 谢谢~
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扫描下载二维码是否黎曼可积？如何证明有无原函数？
y=xsin（1/x）在【0，1】 黎曼可积，有原函数。证：由于x趋于0，y有极限0，故y可视为【0，1】上的连续函数当然黎曼可积，当然有原函数看见这种同类问题较多，不妨总结一下。1.黎曼可积性有界闭区间[a,b]上函数黎曼可积的 充分必要条件是函数有界，且几乎处处连续（不连续点集为Lebesgue零测集）一般的n元函数的黎曼可积性要借助Jordan可测集的概念。上集合被称为Jordan可测集，如果有界且为Lebesgue零测集.对E上函数f(x),对E任何一个Jordan划分（即E划分为有限个两两互不重叠（即两两相交为Lebesgue零测集）的Jordan可测集，Jordan划分的长度用的直径最大者表示）任取记，为Lebesgue测度此时f在E上黎曼可积是指：存在，其值记为f在E上的Riemann积分.同样可以证明，Jordan可测集E上的有界函数f黎曼可积的充分必要条件是f在E上的不连续点集为Lebesgue零测集注意可能存在无界的E上黎曼可积函数，不过E性质较好时不存在。如在假定E和任一以E中点为中心的半径任意的球的交集都有Lebesgue正测度时（如E为开集）时，f在E上黎曼可积的必要条件是其有界，故充要条件为f有界，且几乎处处连续而无界集上Riemann积分，定义常用有界集上的黎曼积分去逼近取极限得到。2.原函数注：我们谈论一个有界闭区间的函数的在端点处的导数时，指的是对应的单侧导数。原函数的定义为：已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。对于有界闭区间[a,b]上连续函数，令，则其处处可导，为f(x)的原函数一般地，怎样的f(x)在[a,b]上有原函数的问题不定，是一个open problem.因为原函数的要求太强了，举个例子,均连续，只要,f在[-1,1]上就没有原函数，尽管它只有一个间断点，且在[-1,1]上黎曼可积也就是黎曼可积或者间断点有限推不出f一定有原函数因为单侧导数可能会使讨论变复杂，我们来考虑有界开区间(a,b)上函数f(x)有原函数的条件.若①f不必连续，也不必Rieman可积如,0处在0处的值定义为0，不难知F在(-1,1)上处处可导（0处请用导数定义验证！）求得导数，f在(-1,1)处有原函数F，但当时，故f在0处不连续，而且无界，不可能Riemann可积！②f有原函数的一个常见的必要条件：f一定具有介值性，即对c,d∈（a，b），f一定能取到介于f（c），f（d）中的一切值。这是因为数学分析中的Darboux定理：若函数g(x)在包含[a,b]的一个开区间上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.然后对于F(x)使用即可。形象地来说，f的图像不能突然跳跃（不能有第一类间断点）这就否决了一大堆函数的原函数的存在性,如其值在0处突然有跳跃，故不可能有原函数其值在0处突然有跳跃，故不可能有原函数③可以描述性的看出，一个函数f如果有原函数，那么其应该与连续函数很”相近”，上面表明f有连续函数的介值性，但其究竟有“多么”连续？上面给出了一个反例，表明其可以有不连续点，但是看来我们只给出了一个有且仅有一个不连续点的f，事实上，有原函数的函数可以更病态：如,在0处的值定义为0不难验证其在R上可导（0处请用定义验证！），其导数记为f(x)，但是f在0处不连续，但在0附近有界我们取,为[0,1]上所有有理数，Y定义域为(-1,1)则由F(x)在(-2,2)有界，这个级数一致收敛，又由于F(x)连续，故Y(x)连续两边求导（利用f(x)在(-2,2)有界，导函数级数也一致收敛，不难验证交换求和与求导其可行性）,所以Y‘(x)有原函数Y(x)但是由f在0处不连续，我们知道Y'(x)在[0,1]上所有有理数处均不连续，这是有原函数的函数有可数个不连续点的例子。④其实一个函数有原函数的必要条件就是一个函数能够成为另一个函数的导数的必要条件，也就是一个任意函数的导数的性质f如果有原函数，其也总会有一定的性质，比如处处不连续就做不到。如在这个问题中，有很多不错的答案稍微翻译一下，就是：如果f(x)在[a,b]上有原函数，那么其不连续点集一定是第一纲集，也就是说其不连续点集是可数个无处稠密集的并集（无处稠密集E的定义即其闭包没有内点，也就是）反过来如果给定任何一个无处稠密的闭集E，存在一g(x)有原函数，但是g(x)的不连续点就是这个第一纲集（见《实分析中的反例》（汪林））我们可以取E为有正lebesgue测度的集合，从而也可以得到有正测度多的不连续点的有原函数的函数，这就更病态了。不过第一纲集的余集一定稠密（见实分析），于是f的连续点集一定为稠密的⑤回忆实分析中的一个结论，定义在开集上的函数的连续点集一定是可数个开集的交(集)如果把[a,b]换成(a,b)，我们可以得到f(x)的连续点集为稠密的集，不连续点集为第一纲的集(可数个闭集的并)仿照上面的证明，我们可以对任何一个(a,b)中第一纲的集构造出一个连续函数f，f的不连续集恰为这个集合。因此这个结论是最优的。⑥从可测性等角度来看，如果f(x)有原函数F(x)由于为连续函数的极限故f(x)也是Lebesgue可测的但是不一定Lebesgue可积（如上面举的，f(x)都无界了）注：事实上，有这么两个事实：一些高度病态的函数，也可以有原函数；一些高度病态的函数，其可以是Riemann不可积的，但其有原函数。所以寻找一般函数有没有原函数的判定是很困难的。（至少在我仅有的大学知识来看，还没见到一个实变中较广的判定）总结一下：为R上一有界区间上的函数，那么——微积分知识层面——如果连续，那么f(x)一定有原函数如果Riemann可积，也不一定有原函数如果无界，也不一定没有原函数如果只有有限个间断点，也不一定有原函数如果有原函数，那么其一定具有介值性——实分析知识层面——如果有原函数，其不连续点集一定为第一纲的，其连续点集一定在区间内稠密特别地，如果有原函数，不能处处不连续。特别地，Dirchlet函数没有原函数如果在上有原函数，那么其不连续点集一定为第一纲的集(可数个闭集的并)；任何一个(a,b)中第一纲的集E，存在一个(a,b)上的函数，的不连续点集恰为这个集合E。如果有原函数，其一定是Lebesgue可测的，但是不一定Lebesgue可积3.原函数的定义放宽现代观点来看，我们大多考虑Lebesgue积分，其大多性质好于Riemann积分由于Lebesgue零测集对Lebesgue积分和可测性都没有贡献于是我们考虑几乎处处成立的概念：性质P几乎处处成立是指，在考虑范围内不成立的点集为Lebesgue零测集原函数的定义如果放宽为：已知函数是一个定义在某区间的函数，如果存在几乎处处可导函数，使得在区间上几乎处处有这个时候有一个较好的判定条件：如果在上Lebesgue可积(当然蕴含Riemann可积的情况)，那么令(Lebesgue积分)则几乎处处有:并且在上绝对连续(absolutely continuous，简称AC)这个条件是Lebesgue积分定理(G.B.Folland - Real Analysis Page 106)的一部分：为的函数，m为Lebesgue测度则下三条等价：在上 AC,对某在上 几乎处处可导,并且最后，至于想继续深究的，可以学习测度论相关知识,了解一下Henstock–Kurzweil integral，正如
所说，有一个更细的充分条件： HK可积+平均连续原函数存在
有界且几乎处处连续(对这题是处处连续)从而黎曼可积，从而HK可积，连续性又推出平均连续性，HK可积+平均连续=存在原函数。
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社交帐号登录【答案】分析：（I）用导数的几何意义求解．（II）先建立m（x）=f（x）+g（x），再求导研究单调性，确定极值，再加上端点求得最大值．（III）按照（II）的思路求得“绝对和”，再由和[0，2]分类讨论．解答：解：（I）∵g′（x）=3x2-6ax，g（x）地点（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，∴g′（1）=3-6a=1，a=（II）m（x）=2x3-x2+2，m′（x）=6x2-2x=6x（x-）由m′（x）=6x2-2x=6x（x-）＞0，得x＜0或x＞由m′（x）=6x2-2x=6x（x-）＜0，得0＜x＜又∵x∈[0，2]|m（2）|＞|m（0）|＞|m（）|∴f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为12（III）记m（x）=f（x）+g（x），则m（x）=2x3-3ax2+2m′（x）=6x（x-a）∵a＞＞0∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a又∵x∈[0，2]，且a＞（1）当＜a＜2时，m（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增．又∵m（0）=2，m（a）=2-a2＜0，则|m（2）|＜|m（a）|此时有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤∴（i）当，|m（0）|＞|m（a）|故“绝对和”为h（a）=m（0）=2（ii）当，|m（0）|＜|m（a）|故“绝对值和”为h（a）=m（a）=a2-2（2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上单调递减|m（2）|＞|m（0）|故“绝对和”为h（a）=m2）=12a-18≥6＞2由（1）（2）得a的取值范围是&点评：本题主要考查导数的几何意义，用导数法求函数的最大值以及用新定义来研究最大值的应用．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．（1）试求函数f（x）=x2与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．（2）设hm（x）=-4x+m及f（x）=x2都是定义在闭区间[1，3]上，记hm（x）与f（x）的“绝对和”为Dm，如果D（m）的最小值是D（m0），则称f（x）可用m0(x)“替代”，试求m0的值，使f（x）可用m0(x)“替代”．
科目：高中数学
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．（Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为，且h（a）=2，试求a的取值范围．
科目：高中数学
定义：两个连续函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在[a，b]上的绝对值差．（1）求两连续函数f（x）=2x3+x-5与g（x）=x3-2x2+5x-10在闭区间[-3，2]上的绝对差；（2）若两连续函数f（x）=ln（x2+1）+2k与g（x）=x+k在闭区间[-1，1]上绝对差为2，求k的值．
科目：高中数学
题型：解答题
定义：两个连续函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在[a，b]上的绝对值差．（1）求两连续函数f（x）=2x3+x-5与g（x）=x3-2x2+5x-10在闭区间[-3，2]上的绝对差；（2）若两连续函数f（x）=ln（x2+1）+2k与g（x）=x+k在闭区间[-1，1]上绝对差为2，求k的值．
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题型：解答题
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．（I）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；（II）在（I）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为，且h（a）=2，试求a的取值范围．
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