教授跪求政府搬钢厂f(x)=(2mx-m^2 1)/...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-14 01:18 标签： 教授跪求政府搬钢厂
已知函数f(x)=(2mx-m^2+1)/(x^2+1)(x∈R）求当m>0时,求函数f(x)的单调区间与极值
f(x)=(x^2+1)/(2mx-m^2+1),(x€r)f(x)导函数f'(x)=[(x^2+1)'(2mx-m^2+1)-(x^2+1)(2mx-m^2+1)']/(2mx-m^2+1)^2=[2x×(2mx-m^2+1)-(x^2+1)×2m]/(2mx-m^2+1)^2=[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2令f'(x)=0,则[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2=0,mx^2-(m^2-1)x-m=0b^2-4ac=[-(m^2-1)]^2-4m×(-m)=m^4-2m^2+1+4m^2=(m+1)^2∴x={-[-(m^2-1)]±√(m+1)^2}/2m∵m>0∴x=(m+1)/2 或x=(m^2-m-2)/2m又∵(m+1)/2-(m^2-m-2)/2m=(m+1)/m＞0∴(m+1)/2＞(m^2-m-2)/2m当f'(x)＞0时,x＜(m^2-m-2)/2m,x＞(m+1)/2当f'(x)＜0时,(m^2-m-2)/2m＜x＜(m+1)/2f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表x | (-∞,(m^2-m-2)/2m) | (m^2-m-2)/2m | ((m^2-m-2)/2m,(m+1)/2) | (m+1)/2 | ((m+1)/2,+∞)f'(x) | + | 0 | - | 0 | +f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增∴当x€(-∞,(m^2-m-2)/2m)时,f(x)单调递增当x€((m^2-m-2)/2m,(m+1)/2),f(x)单调递减当x€((m+1)/2,+∞)时,f(x)单调递增∴f(x) 单调递增区间为[-∞,(m^2-m-2)/2m]或[(m+1)/2,+∞)]f(x)单调递减区间为[^2-m-2)/2m,(m+1)/2]当x=(m^2-m-2)/2m有极大值f((m^2-m-2)/2m)= -(m^4-2m^3+4m+4)/(4m^3+4m^2)当x=(m+1)/2有极小值f((m+1)/2))=(m^2+2m+5)/(m+1)
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f'(x)=[2m(x^2+1)-2x(2mx-m^2+1)]/(x^2+1)^2=-2[mx^2-(m^2-1)x-m]/(x^2+1)^2=-2m(x-m)(x+1/m)/(x^2+1)^2,m>0,∴-1/m<x0,f(x)↑；xm时f'(x)<0,f(x)↓。f(x)的极小值=f(-1/m)=-(m^2+1)/(1/m^2+1)=-m^2,f(x)的极大值=f（m)=1.
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m=1f(x)=2x/(x^2+1)f'(x)=(2x^2+2-4x^2)/(x^2+1)^2=(2-2x^2)/(x^2+1)^2k=f'(x)|(x-2)=-6/25x=2 f(2)=4/5切线方程：y-4/5=-6/25(x-2)6x+25y-32=0
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我是帅哥7xP
不需要分对称轴讨论因为f(x)是一个凹函数,即只有最小值（即截取一段曲线,两个端点中必有一个是最大值）,可知讨论讨论端点即可当x∈[-1,2]时,恒有f(x)<0所以f(2)<0,并且f(-1)<0f(-1)=-m0f(2)=5m+3<0,得出m<-3/5所得m的取值范围无交集,或交集为空集所以实数m的取值范围为空集
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我算出来也是这样的。
答案是空集是对的。f(x)=x^2+2mx+m-1函数形式是抛物线，当这条抛物线在x∈[-1,2]时恒有恒有f(x)<0，则必然存在f(-1)=（-1）^2+2m*（-1）+m-1<0，且f(2)=2^2+2m*2+m-10,解第二个不等式有m<-3/5,故m为空集。
△>0恒成立
且曲线开口向上，又f(1)=3m<0即m<0同时又必须有f(-1)=-m0矛盾，所以无解
当x∈[-1,2]时,恒有f(x)<0所以f(2)<0,并且f(-1)<0f(-1)=-m0f(2)=5m+3<0,得出m<-3/5所得m的取值范围无交集，或交集为空集所以实数m的取值范围为空集
对称轴在 x=m 处，函数开口向上，当x∈[-1,2]时,f(x)<0，则f(x)=0时，方程两根x1和 x2一定在区间[-1,2]外，即，x12用求根公式带入解不等式即可。
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