22.（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形B°ECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.
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1.75亿学生的选择
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
落落为君0209
（1）在Rt△ADE中，由AE=6，cosA==，得：AD=10，（1分）由勾股定理得DE=2-AE2=2-62=8（2分）∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．（4分）（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC得：=，即=，BC=24，（5分）得：tan∠DBC===（6分）方法二：由（1）得AC=18，又cosA==，得AB=30，由勾股定理得BC=24（5分）得：tan∠DBC=．（6分）
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（1）由DE⊥AB，AE=6，cosA=，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=．
本题考点：
解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．
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＞＞＞如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB..
如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6，求DE的长。
题型：解答题难度：中档来源：北京期末题
解：在中，，，又，，，又，，，。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB..”主要考查你对&&相似三角形的性质，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质勾股定理
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
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1.75亿学生的选择
如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．（1）求证：GD=DC．（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（1）证明：∵ED⊥AC，∠C=30°，F是EC的中点，∴DF=FC，∠C=∠FDC=30°，∴∠GFD=60°，又GD⊥DF，∴∠CGD=∠C=30°，∴GD=DC．（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AC=4，∴∠A=60°，AB=2，又∠HDA=∠C+∠CGD=60°，∴AH=HD=AD，∵AD=x，AC=4，HG=y，∴GD=CD=4-x，①若DH交线段AB的延长线于点H（如图1）有HG+GD=AD，∴y+4-x=x，∴y=2x-4（2≤x＜4），②若DH交线段AB于点H（如图2）有GD-GH=AD，∴4-x-y=x，∴y=4-2x（1≤x＜2），答：y关于x的函数解析式是y=2x-4（2≤x＜4）或 y=4-2x（1≤x＜2）．
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（1）根据直角三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CGD=∠C，根据等腰三角形的判定即可求出答案；（2）根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠A=60°，AB=2，推出AH=HD=AD，求出GD=CD=4-x，①若DH交线段AB的延长线于点H，求出y+4-x=x，②若DH交线段AB于点H，求出4-x-y=x，整理后即可得到答案．
本题考点：
含30度角的直角三角形；根据实际问题列一次函数关系式；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
考点点评：
本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的斜边上的中线性质，含30度角的直角三角形的性质，根据实际问题列一次函数解析式，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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1.75亿学生的选择
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°-∠EDC．求证： （1）∠1=∠2；（2）ED=BC+BD．
证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°-∠EDC，∴∠BAD+90°=90°-∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．
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（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，然后求出∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，可得AB垂直平分DF，根据AD=AF，根据等边对等角求出∠2=∠F，可得∠BAD=∠DAF，从而得到∠DAF=∠EDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠F，从而得证；（2）利用“角边角”证明△AED和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得ED=CF，然后整理即可得证．
本题考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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