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点燃蜡烛，按照与时间成正比例关系变短，长为21cm的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分后变短ycm．求：（1）用x表示函数y的解析式；（2）自变量的取值范围；（3）此蜡烛几分钟燃烧完？（4）画出此函数的图象．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设y=kx（k≠0），由题意，得3.6=6k，解得k=0.6，则用x表示函数y的解析式为y=0.6x；（2）当x=0时，y=0，当y=21时，x=35则自变量的取值范围是：0≤x≤35；（3）当y=21时，0.6x=21，x=35，所以点燃35分钟后可燃烧光；（4）如图，由x的取值范围：0≤x≤35；列表为：
21图象是一条线段．描点并连线为：
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据魔方格专家权威分析，试题“点燃蜡烛，按照与时间成正比例关系变短，长为21cm的蜡烛，已知点..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求一次函数的解析式及一次函数的应用
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
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一次函数课件
一次函数一次函数及其图象一次函数的定义从北京到广州的包裹邮费为每千克3.5元，每件另加手续费0.20元。那么总邮费y（元）与包裹质量x（千克）之间的函数关系式为：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&。汽车离开A站4km以后，以40km/时匀速前进了t时，那么汽车离开A站的距离s（km）与时间t（时）之间的函数关系为：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&。y＝3.5x+0.2&&(x≥0)s＝40t+4&&(t≥0)一次函数的一般形式：y＝kx＋b&（k≠0）确定一个一次函数，&&&&&&&就是要确定k与b的值待定系数法之第三次体验已知y＋b与x＋a成正比例关系，a、b为常数，判断y与x成什么函数关系。汽车从A站经B站以匀速v0千米/分开往C站，已知离开B站9分时，汽车离A站10千米；又行驶一刻钟，离开A站20千米；如果再行驶半小时，汽车离开A站多少千米？先判断是什么函数关系，再利用待定系数法求出具体关系式，最后代入自变量的值求函数值。一次函数的两种变种一次函数：y＝kx＋b（k≠0）如果b＝0，函数变形为y＝kx正比例函数是一次函数的特例如果k＝0，函数变形为y＝b常函数，不属于一次函数图象是过原点和（1，k）点的直线图象是过（0，b）点且与x轴平行的直线一次函数的图象是什么？一次函数的图象在同一坐标系中画出y＝2x、y＝2x＋1、y＝2x－1的图象，观察这两个图象的关系。一次函数y＝kx＋b的图象是平行于直线y＝kx的一条直线b&0，把y＝kx向上平移b个单位b&0，把y＝kx向下平移b个单位把一次函数y＝kx＋b的图象叫做直线y＝kx＋b一次函数的图象对于一次函数y＝kx＋b的图象而言，k和b分别有什么作用？k决定图象直线的倾斜情况，叫斜率。b决定图象直线与y轴的交点，叫直线在y轴上的截距（纵截距）你现在能判断怎样的两条一次函数图象是平行的呢？一次函数图象和两坐标轴的交点是什么？以后画一次函数图象怎样下手？练习：待定系数法点燃一支蜡烛，按照与时间成正比例变短，点燃6分钟后长为17.4cm，点燃21分钟后，长为8.4cm。设蜡烛点燃x分钟后的长度为ycm，求y与x之间的函数关系式；并求此蜡烛烧完时是点燃后几分钟？练习：一次函数的图象已知函数y＝2x－4（1）画出它的图象；（2）指出它在y轴上的截距；（3）求出当y＝－6时，x的值；（4）求直线y＝2x－4与两坐标轴围成的三角形的面积。若直线y＝kx＋b（&k≠0）与y轴交点坐标为A（0，－4），且它与坐标轴围成的三角形面积是4（平方单位），试求k、b的值。一次函数的一般形式嘻嘻，不准考难题！已知一次函数y＝(a-2)x+3a2-12，求：（1）a为何值时
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19.2 一次函数
一、内容和内容解析
正比例函数的概念．
2．内容解析
一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一般一次函数打好基础，了解研究函数的基本套路和方法，积累研究一般一次函数乃至其他各种函数的基本经验．
对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，这是理解正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反映在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征.
本节课主要是通过对生活中大量实际问题的分析，写出变量间的函数关系式，观察比较概括出这些函数关系式具有的共同特征，根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念，再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析，根据已知条件写出正比例函数的解析式.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：正比例函数的概念.
二、目标和目标解析
（1）经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念；
（2）能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想．
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题的分析，知道自变量和对应函数成正比例的特征，能概括抽象出正比例函数的概念．
达成目标（2）的标志是：能根据实际问题中的已知条件确定变量间的正比例函数关系式，将实际问题抽象为函数模型，体会函数建模思想.
三、教学问题诊断分析
正比例函数是是初中学生接触到的第一种初等函数，由于函数概念比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分析过程中，需进一步强化对函数概念的理解：即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应；对正比例函数概念的理解关键是对正比例函数基本特征的认识，要通过大量实例分析，写出变量间的函数关系式，观察比较发现这些函数具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念．对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程学生有一定难度．
因此本节课的教学难点是：对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程．
四、教学过程设计
1.情境引入，初步感知
上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数――一次函数，本节课先研究特殊的一次函数――正比例函数.
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？&&&
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？
师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．
设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．
对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？
设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．
对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：
追问1　这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．
设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．
追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？
追问3 &对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？
师生活动: 追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．
设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．
对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？
师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．
设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法．
2.类比思考，概括共性
问题2　思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长l随半径的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．
师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．
设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．
追问：这些函数解析式有哪些共同特征？
师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．
设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．
3.归纳抽象，建立概念
问题3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？
师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成y=kx（k是常数，k≠0）的形式．
设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为k≠0．
追问1：函数y=kx（k是常数，k≠0）中，对于自变量x和函数y的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？
设计意图：强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例函数的两个变量具有正比例关系，为给正比例函数下定义埋下伏笔．
追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？
师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义．
4．辨析应用　深化认知
问题4 （1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；
（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？
（3）完成教科书第87页练习2．
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．
设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．
5.反思小结
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）正比例函数概念中对比例系数k有怎样的限制条件？
（3）学习正比例函数的概念经历了怎样的过程？
6．布置作业
教科书第98页习题19.2第1题（不画函数图象）
补充习题：
1.已知y是x的正比例函数，且当x=2时，y=8．
（1）写出函数解析式；
（2）当y=6时，求x的值.
2.已知y是z的正比例函数，z是x的正比例函数，试说明y是x的正比例函数.
五、目标检测设计
1. 下列函数中，表示y是x正比例函数的是（　）.
A．y =－6x&&&&&& B．y =－6（x＋1）&&&&& C．y =－&&&&&& D．y =－6x2
设计意图：考查对正比例函数概念的理解．
2.下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　）.
A．圆的面积S随半径r的变化而变化&&&&&&&&&&& &&&
B．正方形的周长C随边长a的变化而变化&&&&&&
C．蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随放水时间t（单位：min）的变化而变化&&&&&&&&& &&&&
D．面积为20的三角形的一边a随这边上高h的变化而变化
设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型的能力和对正比例函数概念的理解．
3.& 已知函数y=（m－2）x＋m2－4表示y是x的正比例函数，则m的值是&& &&&&，这个函数的解析式为&& &&&&&&&．
设计意图：考查对正比例函数概念的理解．
4. 某大楼电梯从1层（地面）直达3层用了20s，若电梯运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需时间为&& &&&&&&．
设计意图：考查运用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．
5. 已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后被燃烧的长度为ycm，请解答下列问题：
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）指出自变量的取值范围；
（3）当蜡烛燃烧的20分钟后，蜡烛剩下的长度是多少？
设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型并用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．
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