§6.2对数函数和对数；预备知识；(指数函数的概念及图象；(幂的运算法则；重点；(对数函数、常用对数和自然对数的概念；(幂与对数的互化；(换底公式；(用计算器求常用对数、自然对数和一般对数；(积、商、幂的对数运算法则；难点；(对数函数的概念；(利用对数运算公式作运算；学习要求；(理解对数函数和对数的概念；(熟悉常用对数、自然对数的记号；(掌握用计算器求常用对
§6.2 对数函数和对数
(指数函数的概念及图象
(幂的运算法则
(对数函数、常用对数和自然对数的概念
(幂与对数的互化
(用计算器求常用对数、自然对数和一般对数
(积、商、幂的对数运算法则
(对数函数的概念
(利用对数运算公式作运算
(理解对数函数和对数的概念
(熟悉常用对数、自然对数的记号
(掌握用计算器求常用对数、自然对数和一般对数的方法
(了解对数的几个基本等式，并会用于计算
(了解积、商、幂的对数的运算公式，并能用于简单的对数运算
(了解换底公式，并能根据需要作对数的换底
本节讨论指数函数y=ax的反函数DD对数函数，并给出计算对数函数值DD对数的方法．
1.对数函数的概念
(1)对数函数
一只抽气泵每次可以抽调原有空气的二分之一．设原有空气量为1，则第一次抽气后余下空气为；第二次抽气后余下空气为(=()2；第三次抽气后余下空气为(()2=()3．依此类推，第x次抽气后余下空气为
y=()x, x(N
y=0.5x, x(N
这是一个以a=0.5为底的指数函数．现在想知道，抽到第几次后，剩余原有空气量的？即要求x，使0.5x=．因此这是求指数函数(1)的反函数问题．
在第三章和第五章，你已经熟悉了一般
的指数函数y=ax，它要求底数a&0, a(1；定
义域D为R ；值域M为 (0, +()．指数函数
反映的是当指数改变时，幂ax的改变规律，
即指数x与幂 ax?之间的对应法则．因为指数
函数当a&1时是单调上升的，当0&a&1时是
单调下降的 (见图6-13)．因此反函数是存在
的，反函数反映的是当幂ax?改变时，指数x的改变规律，即幂到指数的对应法则．
讲到函数，总希望能有一个表达运算的式子，来表示自变量与因变量之间的对应规律．但有时候你未必能如愿．例如指数函数y=4x，给了一个y&0，反函数的函数值是很明确的，就是使4x=y的那个x，但是你不可能从4 x=y解出x成为y的一个数学式．于是我们用一个特定的函数记号 “log４”来表示(log是英文logarithm的缩写，其中文解释就是对数的意思)，并且给它一个特定的名称，称为以4为底的对数函数．因此指数函数y=4x的直接反函数是对数函数x=log4y, (y&0)，对调x,y后的常规反函数则是对数函数 y=log4x, (x&0)，读作 “log 4底x”．很明显，这里的记号“log４”相当与一般反函数记号“f-1()”．
一般地，指数函数y=ax (a&0,a(1,x(R)的反函数是以a为底的对数函数，即y=logax (x&0)，读作 “log a 底x”，函数值正好是使a为底的幂等于x时的指数值，即a y=x．
回到开始的抽气泵问题(1)上来．用对数函数的概念，要想抽到剩余原有空气量的，需要抽气次数x为
x=log 0.5 y，
这个式子表示的是，在y=0.5x中，当y变化时，x将如何变化．
例1 求 (1) y=2x；
(2)y=10x；
(3)y=；(4)y=a3x, (a&0,a(1)
的反函数．
解 (1)y=2x的反函数是 y=log 2x
(2)y=10x的反函数是 y=log 10x
(3)y=的反函数是
(4)因为a3x=(a3)x，所以y=a3x的反函数是
1. 求下列函数的反函数：
(1) y=5x； (2)； (3)y=0.3x；
(4)y=, (a&0,a(1)．
(2)对数函数的两个基本等式
根据反函数定义，若
把x=a y反代入(6-2-1)，得y=log aa y, (y(R)
log aa x=x, (x(R)
特别地，当x=1，得到
logaa=1, (a&0)
当x=0，得到
loga1=0, (a&0)
(6-2-2),(6-2-3)是基本等式，必须熟记；(6-2-4),(6-2-5)是两个基本结果，也必须牢记．
例2 求下列对数函数的函数值：
(1)log44100；
(3)log0.99991；
(4)log0.．
(1)据基本等式(6-2-3)，log
(2)据基本等式(6-2-3)，=-5
(3)据公式(6-2-5)，log0.99991=0
(4)据公式(6-2-4)，log0.=1
(1)log5520＝
； log0.30.3-2=
, (a&0且a(1)；
(2)log1616=
； log0.80.8=
求下列对数函数的函数值：
(1)log28；(2)log101000；(3)log100.1；(4)；(5)
解 应用(6-2-3)
(1)log28=log223=3
(2) log101000=log10103=3
(3)log100.1=log
1. 求下列对数函数的函数值：
(1)log5125；
(2)log； (3)log21024；
(5)； (6)log2；
(8) log2．
求下列指数函数的函数值：
(1)y=1.2x, x=log1. 25；
(2)y=10-x, x=log10；
(3)y=9x, x=log3a；
(4)y=2x, x=．
(1)以x=log1.25代入指数，据 (6-2-2)得
(2)以x=log10代入指数，据 (6-2-2)得
(3)以x=log3a代入指数，据 (6-2-2)得
(4)以x=代入指数，据 (6-2-2)得
y=[]-1=6-1=
1. 求下列指数函数的函数值：
(1)y=45x, x=log45；
(2)y=()x, x=log10；
(3)y=9x, x=；
(4)y=()x, x=．
2. 对数函数的函数值DD对数
对数函数y=logax当x=b时的函数值logab，称为以a为底b的对数(读作 log
a 底 b)，并且称b为真数．如例3中，log 28是以2为底8的对数，8是真数；log 101000是以10为
底1000的对数，1000是真数；log 100.1是以10为底0.1的对数，0.1是真数；是以为底8的对数，8是真数．
根据指数函数与对数函数互为反函数的关系，很容易在它们的值DD幂与对数之间互相转化：
(a, b&0, a(1, c(R)
因此，可以化幂为对数形式，也可以化对数为幂．
例5 把下列幂化为对数或把对数化为幂：
(1)43=64； (2)； (3)=-4．
解 (1) 43=64
1. 把下列幂化为对数或把对数化为幂：
(1)25=32；
(2)()-3=8；
(3)33=27；
(4)log5125=3；(5)=-6； (6)log66=1．
在例2、例3中我们已经求了几个对数函数的函数值，也就是对数，但情况都比较特殊DD真数都是底的整数次幂，而且指数也较小，你一眼就能看出来．对一般给定的非1正数a和b&0，要求对数log ab，就是要求出一个数c(R，使ac=b，这就不那么容易了．为此必须解决对数求法问题．
先考虑两个特殊底的对数函数，这两种特殊底的对数函数，可以用计算器得到它们的函数值．
(2)常用对数和自然对数
①常用对数
以10为底的对数函数log 10x，在计算中最常遇到，因此被称为常用对数函数．为了区别于其它的底，用一个特殊的函数记号 “lg”来表示它，即y=lgx就是y=log10x．lgx当x=b时的函数值lgb称为b的常用对数．如lg1000表示对数log101000，即1000的常用对数；lg3表示对数log 103，即3的常用对数．
常用对数可以用计算器求得近似值．在许多计算器上，求常用对数的功能键是log 键，求lg b时的按键次序是：
键入b，再按 log 键
显示屏上立即显示对数值lg b．
求下列常用对数(保留4个有效数字)：
(2)lg 1000；
(3)lg 0.5；
(4)lg 4.83．
显示 0.，所以
lg 3(0.4771 ( 即 10 0.4771( 3)．
这里的“(”，不仅仅是因为我们取了四个有效数字，即使把显示屏上显示的数全部写上，仍然只能写“(”而不能写 “=”(即lg3(0.)．计算器明明显示了lg3的值，为什么不能用“=”呢？这是因为除了真数是底的有理次幂等少数特殊情况外，对数都是无理数，例如lg3的精确的值是
lg3=0.6624350...，
计算器上显示的也仅仅是它的近似值．今后在没有必要突出近似值的地方，我们一般把“(”就写成“=”，但你必须明白其实一般并不是真正的等于而是近似值．
下面按题目要求，列表给出解题结果．
lg 3=0.4771
lg 0.5=-0.3010
lg 4.83=0.6839
(上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为
30.3=.；100.．)
1. 求下列常用对数：
(3)lg0.3；
(4)lg48.3；
(5)lg483．
②自然对数
你记得在第三章讲到指数函数时，曾介绍过一个特殊的y=ex吗？在计算器上还专门有一个功能键，用来计算它的函数值．在那里我们也曾经提醒过你，e与圆周率(，是数学上非常有用的两个常数，e也是无理数且
对(的探究可谓历史久远，古代中国、希腊和印度等国的数学家，都对它作了深入的研究；而数e的发现和研究，还是16世纪之后的事情．之后人们发现这个无理数在工程、物理、建筑等领域非常有用，于是指数函数y=ex受到了重视，它的反函数y=log ex也受到了重视．如同以10为底的对数函数一样，人们为它规定了一个特殊的函数符号“ln”，用ln x来表示logex (即y=ln x就是log ex)，称为自然对数函数，其函数值也就随之被称为自然对数．在计算器上问世后，也配置了一个功能键 ln ，专门用来计算自然对数．
在计算器上求自然对数的操作顺序，与求常用对数相同，只是改log为ln 键．
例7 求下列自然对数(结果保留4个有效数字)：
(1)ln3； (2)ln8.5； (3)ln10．
解 列表给出结果：
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