【水星】1/1^2+1/2^2+1/3^2+..+1/n^2+..的22种解法_数学吧_百度贴吧
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【水星】1/1^2+1/2^2+1/3^2+..+1/n^2+..的22种解法收藏
本来是想发到这里的，但是贴吧的Latex排版实在是太dt了，所以就传一个链接了，到我的博客，欢迎大家来访！
一下就沉了
如何计算这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利（Pietro Mengoli）提出的，而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题。他得出著名的结果：解决这个问题的方法在近代不断涌现。这里我从各处摘抄到一些方法，列举在此，仅供大家参考。如有错误，请向我指出，谢谢首先，我们需要知道这个问题的等价形式,将这个数列除以4，我们自然得到从而我们只需证明而以下某些证明会用到这一点
证明1：欧拉的证明欧拉的证明是十分聪明的。他只是将幂级数同有限的多项式联系到了一起，就得到了答案。首先注意到从而但是sin(x)/x的根集为故我们可以假定（PS：欧拉似乎没有证明这个无穷积，直到100年后魏尔斯特拉斯得到了他著名的“魏尔斯特拉斯分解定理”（Weierstrass factorization theorem，详情可见wiki相应条目）。利用这个方法得到函数时要特别小心，我以前看到的一个反例（）就可以说明这个问题)从而我们对这个无穷乘积的x^2项进行研究，可以知道所以就有了答案
证明2：一个初等的证明以下证明第一次来自Ioannis Papadimitriou于1973年在American Math Monthly 80(4):424-425页发表的。Apostol在同一份杂志425-430发表了用这个方法计算ζ(2n)的方法这似乎是这个问题最“初等”的一个证明了，只需要知道三角函数相应知识就能够完成。我们先证明一个恒等式：Lemma：令则证明：由于很显然，令n=2m+1,我们有为多项式的根。从而利用韦达定理我们就完成了引理的证明。由于三角不等式sinx&x&tanx在(0,pi/2)成立,我们有，对于w[m],2w[m]..代入有所以应用上面引理，就可以得到令m趋于无穷大，结论自然就成立了。
证明3：数学分析的证明这个证明来自Apostol在1983年的“Mathematical Intelligencer”,只需要简单的高数知识。注意到恒等式利用单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem)，立即得到通过换元(u,v)=((x+y)/2,(y-x)/2)，就有S为点(0,0),(1/2,-1/2),(1,0),(1/2,1/2)构成的正方形，由正方形对称性有利用恒等式arctan(u/sqrt(1-u^2))=arcsinu,arctan((1-u)/sqrt(1-u^2))=pi/4-(1/2)arcsinu得到
证明4:数学分析的证明(Calabi, Beukers & Kock.)同样利用上一问的结论,不过这次我们计算的是：做代换从而有雅可比行列式即为从而其中也就是等式成立！
证明5:复分析的证明这个证明在很多复分析书上都有。我们同样可以利用留数计算该结果,考虑,积分路径P[n]为在中心为原点的长形如图实轴交点为±(n+1/2),复轴交点为±n,若z=x+iy,就有，从而很容易就能知道|cot(πz)|&2对每根积分曲线成立,于此同时，|z|&=n成立，就有成立，在n区域无穷大，该函数趋于0而每一点的留数，计算有就可以得到
证明6:复数积分的证明本证明由Dennis C.Russell给出。考虑积分 利用cos的欧拉公式，也就是就有积分得知再利用ln(1+x)的泰勒展开从而积分就有但e^(i*pi)=-1,变为故如前面式子有由于左边是实数，右边是纯虚数，从而只能两边都为0，即这还给了我们一个副产品，就是
证明7:泰勒公式证明(Boo Rim Choe 在1987 American Mathematical Monthly上发表)利用反三角函数arcsinx的泰勒展开,对于|x|&=1成立，令x=sint有(1)对|t|&=pi/2成立，但是由于积分所以在(1)两边积分就有证毕
证明8:复分析证明PS：个人这个证明感觉相当漂亮，基本没怎么算(T. Marshall 在American Math Monthly,2010)对于令这个和是对于每一个log的分支加起来，在D中的所有点，存在领域使得它的每一个分支都解析，由于这个级数在z=-1以外一致收敛，所以R(z)在D上解析从而这里有几个Claim:1.z-&0则级数每一项都趋于0，从而0是可取奇点2.R的唯一奇点是在1的二阶奇点，是由于logz的主分支造成的，有3.R(1/z)=R(z)由于 1.和 3.有 R在扩充复平面上为亚纯函数，从而为有理函数，由2知道R(z)分母为(z-1)^2,由于R(0)=R(∞)=0,所以分子就是az,那么2说明a=1,就是说现在令得到也就是说，代入w=1/2
证明9:傅立叶分析证明教科书上最普遍的证明考虑函数将其傅立叶展开,计算得知显而易见，代入f(0)得到答案
证明10:傅立叶分析证明考虑函数,将其傅立叶展开利用Parseval等式其中a[n]为e^(i*pi*n)系数，有那么就知道
证明11:傅立叶分析证明 考虑在实轴上一致收敛，对于在,我们有这个和被控制，从而在[ε,2π-ε]一致有界，Dirichlet判别知道一致收敛所以对于同样区域的函数就得到
证明12:泊松公式证明 (Richard Troll)由泊松求和公式其中为傅立叶变换。若我们设，f的傅立叶变换为也就是说则就是
证明13:概率论证明 (Luigi Pace 发表于2011 American Math Monthly) 设X[1],X[2]是独立同半区域柯西分布，也就是它们的分布函数都是令随机变量Y=X[1]/X[2],,那么Y的概率密度函数p[Y],定义在y&0有由于X[1],X[2]独立同分布，即P(Y&1)=P(X[1]&X[2])=1/2,即也就是说
证明14:积分+函数方程证明 (H Haruki,S Haruki在1983年 American Mathematical Monthly发表)由于只需要算出这个积分值即可，我们令要求的是a=0的情况不过我们可以证明利用等式我们知道中间是令t=x^2代换掉的。解函数方程(1),求导两次知f''(a/2)+f''(pi-a/2)=f(a)/2由于f''在闭区间[0,2pi]上面连续，所以必然有最大值M，最小值m，那么有设f''(a[0])=M,则由于M是最大值，只能f''(a[0]/2)=M,f''(pi-a[0]/2)=M,一直迭代下去，我们有lim[n-&infty] f''(a[o]/2^n)=M,即f''(0)=M,同理有f''(0)=m,即M=m成立，那么f''为常值函数，f为二次函数。再计算二次函数系数代入式子(1)，以及计算f'(pi/2)，我们知道，代入a=0,即
证明15:三角恒等式的初等证明(Josef Hofbauer发表于2002年American Mathematical Monthly)从而就有又由于对x在(0,pi/2)成立令,对对不等式求和，就变为令n趋于无穷得到答案
证明16:三角多项式的证明(Kortram发表于1996年 Mathematics Magazine)对于奇数n=2m+1,我们知道,其中F[n]是n次多项式，那么F[n]零点为sin(j*pi/n)(-m&=j&=m),而且lim(y-&0) F[n](y)/y=n即从而比较两边泰勒展开的x^3系数，有于是固定整数M令m&M，则有利用sinx&2x/pi在x属于(0,pi/2)成立令n趋于无穷在令M趋于无穷
证明17:积分证明(Matsuoka发表于1961年American Mathematical Montly考虑积分我们有Wallis公式：那么对于n&0，分部积分有从而有得到将这个式子从1加到n，就有由于J[0]=pi^3/24,只需要证明后面一下为0即可，通用x&pi/2*sinx在[0,pi/2]成立，即就是说
证明18:Fejér核的证明(Stark在1969年American Mathematical Monthly上的证明)对于Fejér核有如下等式故而有如果我们令n=2N(n为偶数)，那么利用sin(x/2)&x/pi对(0,pi)成立也即
证明19:Gregory定理证明证明来自Borwein & Borwein的著作"Pi and the AGM"以下公式是著名的Gregory定理：我们令我们需要证明即可若n不等于m，就有那么其中很容易可见c[-n,N]=-c[n,N],从而c[0,N]=0,对于n&0那么可知c[n,N]&=1/(N-n+1),故而即成立！
证明20:数论的证明(本证明来自华罗庚的数论,个人感觉是最神奇的证明)需要用到整数能被表示为四个平方的和。令r(n)为使n=x^2+y^2+z^2+t^2成立的四元组(x,y,z,t)的个数，那么最平凡是r(0)=1,而有公式对n&0成立，令,很容易可以看出,R(N)渐进于半径为sqrt(N)的四维球体积，也就是，另外其中同时我们又有在x-&infty成立，即得到
证明21:类似的初等证明首先我们要证明这个等式是由于注意到就立即可得令x=cot^2θ,变为有根对j=1,2...n成立，即韦达定理得到答案在由于1/θ&cotθ&1/θ-θ/3&0对0&θ&pi/2成立，即对于解θ[k]做和，就有从而有就是我们想要的
证明22:伯努利数的证明 函数为伯努力数B[k]的生成函数，B为亚纯，在1/(2pi*i*n)上为极点，利用Mittag-Leffler定理可以展开为后者可展开为几何级数是由于在重排级数的同时，奇数项消去了而偶数项留下了，所以我们就得到如下式子：也就是要求计算那么
其实还有些做法还没有收录，也许以后会更新。。
可否加精一个？
顶下就走了
证明补充：欧拉1741年的证明有时候会误解欧拉没有给出真正的证明（在
提醒前我是这么认为了），实际上他给出过真正严谨的证明，也就是要证明：而由于我们知道z^n-a^n的分解令z=1+x/N,a=1-x/N,有考虑1次项x的系数，我们有C[N]=2,对所有N成立，令N趋于无穷大，左边趋于e^x-e^(-x),右边是利用Taylor展开cos(y)~1-y^2/2,得到右边为(1+x^2/(k^2*pi^2)) 就得到了第一个公式
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或哥们，你刚发的那个帖子里不是有这个题了吗？为何又发一遍？
<div id="review_contents_/(2(1+2))=1，一开始都以为是9
<div id="review_contents_，如果是1的话，应该有个中括号
这乘号省略的。。。&&||=&=太纠结了
之前看过了...是9吧=&=...居然算错了...当时还以为很简单...=&=!
看过了，就是用计算器得出的结果不一样，其实是由于计算器在编程的时候对符号运算的优先级导致的。
等于1&2（1+2）就是2*（1+2）
等于9&先算除&再算乘&&6除2再乘3等于9
其实，我也想弄个专版来讨论一下这题目……回复：有意思吧&哥们，你刚发的那个帖子里不是有这个题了吗？为何又发一遍？
究竟是等于&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？&&&其实这道题就是验证天朝童鞋数学水平高低的。首先：小学没毕业的算出的是9，其次：初中至少毕业的算出的是1&&为什么这么说呢，很简单&&（）里面的数1+2是多少&只有不是弱智的都知道是3&但是1+2是多少&也是一个问题吧&&那么1+2=X成立&&于是&&&就是就有&&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？可以写成6/2X=1&或者6/2X=9&&所以说&说答案1的算出X=3=1+2&&答案说9的算出X=1/3&=1+2至于算出不是1和9的&数学水平就更高了&.
<div id="review_contents_/23
如果答案是‘9’，正确的算式写法‘(6÷2)×(1+2)=？’，如果答案是‘1’，正确的算式写法‘6÷[2×(1+2)]=？’。”请问郭其俊校长&6÷2×（1+2）=？这么列出来就不等于9了是吗？？&如果等于9那么你告诉我&前面的&6÷2&为什么要加小括号？&&难道不是先算乘除&在算加减法吗？&加上小括号没有错&不过这题要是像你这样出出来&&我会认为出题的这位老师&脑袋有病&多此一举&难道所有人都是小学生吗？&&假如&1+1=？这题出现在国考考试卷中&你认为有多少人会在这题上用很多的时间去考虑？&小学生我想不会考虑的写上2这个答案。。&要是换做成年人，大不部分人都会想&这题出现在国考考试卷里有问题吧。。。角度不看到的问题就不同。。。说白了&中国教育就有问题。。为什么这题&在国外就不会引起分歧呢？因为乘号在有括号或者字母的时候是可以省略的。。。&
<div id="review_contents_÷2（1+2）=？&&，这题是不能用小学的知识解，首先“去括号”，去括号：2x1+2x2，算出来后，就是6，再是6÷6，就等于1，这个是初一的知识。。。。。不能不知道啊。。。。
这题在国内也没用分歧。。只是有些人不会，在那叫，读好书，对谁都好
等于四又四分之一吧
既然是错题，那干嘛还要分正确不正确
<div id="review_contents_(1+2)可以理解为2为底数（1+2）为指数吗？回复：xingyun&究竟是等于&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？&&&其实这道题就是验证天朝童鞋数学水平高低的。首先：小学没毕业的算出的是9，其次 ...
是⑨，不是一。中间省略乘号了，凤凰台给出的正确答案是⑨。
据多方科学家分析&等于9的是小学文化水平&等于1的是初中以上的文化水平&&得出这道题不严谨&是大学以上水平
据多方科学家分析&等于9的是小学文化水平&等于1的是初中以上的文化水平&&得出这道题不严谨&是大学以上水平回复：有意思吧&哥们，你刚发的那个帖子里不是有这个题了吗？为何又发一遍？
我知道，这太简单了，6除于2等于3，括号里也是3，可是，是3加3呢，还是3减3呢
一看就知道一个个没有上课认真上课！国内的数学计算算法得出的答案是等于1的！不要再讨论了！凤凰台我没看！不是等于1都是胡扯！作者先入为主，不严谨！去翻翻数学课本！“6÷2(1+2)=？”在国内数学来说正确的写法是6÷（2(1+2)）但是咱们国内的数学简写成6÷2(1+2)。然后就是先去括号的原则！也就是算术题中有括号，优先计算括号算法！6÷2(1+2)&第一步是6÷2(3)第二步是去括号&6÷（2*3）&第三步6÷6&第四步得出&1！好好学习！翻翻数学课本去！这么简单的题目都有什么好讨论的！小学的水平！没文化真可怕！还在那里发帖子说正确答案是9！X*Z(X+Y)=X*(ZX+YX)这方程是不是很熟悉！一群文盲误人子弟！
一时激动打错了!纠正一下自己！X*Z(X+Y)=X*(ZX+YZ)回复：还好还好&一看就知道一个个没有上课认真上课！国内的数学计算算法得出的答案是等于1的！不要再讨论了！凤凰台我没看！不是等于1都是胡扯！作者先入为主，不严谨！去翻翻数学课本！“6÷2 ...
这个好难啊
先算乘除后算加减，有括号的先算括号内的，不是这样教的吗！那么正确答案就是9。6÷2(1+2)=9
先算過号&后算除再到剩6除2（2+1）回复：吴小刀&等于9&先算除&再算乘&&6除2再乘3等于9
<div id="review_contents_(1+2)&明显&2跟括号之前&是省略了一个乘号&&那么这道题&就是&6÷2(1+2)=6÷2*(1+2)=6÷2*3=9回复：xingyun&究竟是等于&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？&&&其实这道题就是验证天朝童鞋数学水平高低的。首先：小学没毕业的算出的是9，其次 ...
搞笑，你既然认为中间隐藏了乘号，那就是6÷2*3，请问，为什么不是从左到右的算呢。回复：还好还好&一看就知道一个个没有上课认真上课！国内的数学计算算法得出的答案是等于1的！不要再讨论了！凤凰台我没看！不是等于1都是胡扯！作者先入为主，不严谨！去翻翻数学课本！“6÷2 ...
你给的公式是乘法的当然可以这样乘喽，除法的话，除非是分子分母的关系才能那样除，到底是谁没文化。回复：还好还好&一看就知道一个个没有上课认真上课！国内的数学计算算法得出的答案是等于1的！不要再讨论了！凤凰台我没看！不是等于1都是胡扯！作者先入为主，不严谨！去翻翻数学课本！“6÷2 ...
<div id="review_contents_*2(1+2)既然2后面省略了乘号那么2(1+2)他就是一个整体有什么好争议的！回复：面包&渣渣&9，如果是1的话，应该有个中括号
<div id="review_contents_*2(1+2)既然2后面省略了乘号那么2(1+2)他就是一个整体有什么好争议的！00回复：苹果核&这乘号省略的。。。&&||=&=太纠结了
<div id="review_contents_*2(1+2)既然2后面省略了乘号那么2(1+2)他就是一个整体有什么好争议的！.回复：有意思吧&哥们，你刚发的那个帖子里不是有这个题了吗？为何又发一遍？
这里你明显有个错误，在方程式里面，6/2x，这些带除号的，都是写成分数的，分数自带小括号这个你不懂么？第二，就算是6÷2×x,请你复习一下小学公式，自己小学都没学好，除号和乘号同在，哪个在前先算哪个，有括号就先算有括号的，公式里有自带括号么，方程式里，是分数才自带括号的回复：xingyun&究竟是等于&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？&&&其实这道题就是验证天朝童鞋数学水平高低的。首先：小学没毕业的算出的是9，其次 ...
老师只是想更清楚表达这道公式是先算哪一边而已，如果不加那个小括号，和原来的公式不还是一样，为什么还有人算错？回复：李野&如果答案是‘9’，正确的算式写法‘(6÷2)×(1+2)=？’，如果答案是‘1’，正确的算式写法‘6÷[2×(1+2)]=？’。”请问郭其俊校长&6÷2×（1 ...
前面有个除号，你怎么去括号，前面又不是加号或者减号回复：霸气&6÷2（1+2）=？&&，这题是不能用小学的知识解，首先“去括号”，去括号：2x1+2x2，算出来后，就是6，再是6÷6，就等于1，这个是初一的知识。。。。。不 ...
初一的知识你都弄错了，还好意思说别人，前面是乘除号是不能去括号的，除非有个中括号罩着回复：霸气&6÷2（1+2）=？&&，这题是不能用小学的知识解，首先“去括号”，去括号：2x1+2x2，算出来后，就是6，再是6÷6，就等于1，这个是初一的知识。。。。。不 ...
我不知道为什么得出9的，就是小学的文化水平了，能给我解释下么回复：专家解答&据多方科学家分析&等于9的是小学文化水平&等于1的是初中以上的文化水平&&得出这道题不严谨&是大学以上水平
－&－额，你貌似有个很明显的错误好不好，首先这道题就说了不严谨，可是，为什么么是6÷（2(1+2)）。在原本公式里没有自带中括号的吧？是你自己要说下中括号的，为什么省略了乘号，就要加括号？你以为后面是字母？而且X*Z(X+Y)=X*(ZX+YZ)，这个公式是对，可是原本公式里不是乘号，是除号，除号在前，后面不能拆括号，这个你懂么？回复：还好还好&一看就知道一个个没有上课认真上课！国内的数学计算算法得出的答案是等于1的！不要再讨论了！凤凰台我没看！不是等于1都是胡扯！作者先入为主，不严谨！去翻翻数学课本！“6÷2 ...
<div id="review_contents_÷2xx=1+2谁告诉我这个的答案
是1是9全是错，正确还是6/23，因为数字与数字不带符号那是一个整体数，应该是6除以23完全正确
文中提到的正确的算式写法‘6÷[2×(1+2)]=？’我觉得这个表达方式没错，但是这个中括号是可以省略的，因为原本‘6÷2×(1+2)=？’所表达的意义跟所谓的正确的算式写法‘6÷[2×(1+2)]=？’是一个意思，而且小学老师已经说过了，6/2（2+1）=？其实就是6/(2*(1+2)),为什么呢？因为小学数学老师当时所说的运算顺序，先乘除后加减，首先要运算小括号里面的结果，也就是1+2的结果=3，然后再处理小括号跟其他数字的运算结果，也就是2（1+2）=？，数字2与小括号的关系是乘积的话，那么乘号可以省略不写，其他运算符号必须照写，所以必须先运算2（1+2）=6，然后再运算6/6=1，所以结果是1。&&&&与其说得那么复杂，那么把公式写的更易懂一点，写成分子式，这里没法打出来卧槽，6在分子线上面，而2（1+2）在分子线下面，所以2（1+2）运算结果为6，然后被6除商，所以6/1=1，那你说6分之6是不是1？？？？&&&&你截图的Casio计算机所计算的结果是有误的，因为计算机对你的公式只会先把括号内的公式看做是个赋值独立运算出一个值来，然后按照你运算符号的先后次序逐一运算，所以得出9，别以为这是对的，这东西只能糊弄小学基础没打好的人，出来社会太久了把所学的都还给老师了。&&&&别说凤凰台什么学者在瞎扯淡，只是没人当众驳斥他而已。
这种题目需要难倒这么多人吗？
按出题人的逻辑，我就想问下222=?,是2*2*2=8？还是2*22=44，好吧，其实就是222
这和数字水平真没什么关系，只是缺省了一个符号，使很多人在惯性思维作用下产生的误导。括号中的计算结果（1+2）对结果不会有影响，我们可以先做出来。如果题目换成6÷2×3，这题还有人会做错吗？小学生都知道从左到右计算吧。所以，无论从哪种角度来说，答案是1都是错的。回复：xingyun&究竟是等于&6/2(1+2)=1还是6/2(1+2)=9？&&&其实这道题就是验证天朝童鞋数学水平高低的。首先：小学没毕业的算出的是9，其次 ...
六分之二十三啊
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原来你们打怪兽的时候那么搞笑！约会的时候也没辣么浪漫奢侈，宝宝终于心里平衡了！
浏览：105408 / 评论：7
各位小伙伴们，双节好呀，在吃粽子的时候，可以发几张好图给我们哈！
浏览：12376 / 评论：34
本文已获得漫画作者东东同学的授权，请各位同学放心使用。 看了一下，该漫画中的段子应该是出自&善了个哉的囍游记& ，不过以漫画的形式展现，我想另有一番滋味吧。
浏览：550135 / 评论：99
←_← 如来吾祖啊！大师兄和二师兄居然在卖师傅的肉！
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现在流行什么？日本女的浮游还是台北女的扑街？我相信很多人第一次看到日本浮游女的照片都惊讶得想知道这是如何拍摄的，然后就会怀疑是不是PS后期处理的，因为那些动作正常却停留
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1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100是多少=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100=1-1/100=99/100;很高兴为您解答,skyhunter002为您答疑解惑如果本题有什么不明白可以追问,
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代入上面的规律=1-1/2+1/2-1/3+....................-1/99+1/99-1/100 = 1-1/00=99/100其实就是变相的考察列项公式再不会你百度一下 列项公式
发现的规律是 ：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100=1-1/100=99/100
规律：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（即连续两个自然数的积的倒数，等于这这两个数倒数的差） 裂项相减法：每一项都可以化成两个分数的差1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/98*99+1/99*100＝(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/98-1/99)+(1/99-1/100)＝1...
扫描下载二维码找规律.1/1*2+1/2*3+1/3*4.直到1/99*100 我需要准确答案.这道题应该属于裂相相加法.预习所以我不会解.加急!
头像控84500
1/1*2+1/2*3+1/3*4.+1/99*100=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/99-1/100=1+(1/2-1/2)+(1/3-1/3)+.+(1/99-1/99)-1/100=1-1/100=99/100注：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
什么意思？老师。。
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