知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
【因式分解法】一般步骤：第一步：将已知化为一般形式，使方程右端为&0；第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；第三步：方程左边两个因式分别为&0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根为x1、x...”，相似的试题还有：
已知关于x的方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个不相等的实数根x1、x2，且(x1-x2)2=8，m的值为()．
已知关于x的方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个不相等的实数根x1、x2；(1)求m的取值范围；(2)若(x1-x2)2=8，求m的值．
(1)计算：．(2)已知，关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．已知关于x的方程x2+mx-3=0有一根为x=1，则代数式2-6m+9+2的值为2．【考点】；．【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0得到一个关于m的方程，求出m，再将代数式2-6m+9+2化简，将m的值代入即可．【解答】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0，得：1+m-3=0，解得m=2．∴2-6m+9+2=|m-3|+|1-m|=（3-m）+（m-1）=2．故答案为2．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，二次根式的性质与化简等知识点的理解和掌握，能根据方程解的定义得到方程1+m-3=0是解此题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：HJJ老师　难度：0.62真题：1组卷：4
解析质量好中差
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已知关于x的方程（m-1）x2+2mx-1=0有正实数根，试求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：陕西
当m-1=0，即m=1时，方程变形为2x-1=0，解得x=12；当m-1≠0，即m≠1，设方程的两实数根为x1，x2，根据题意得△=4m2-4（m-1）×（-1）≥0，即m2+m-1≥0，解得x≤-1-52或x≥-1+52；x1+x2=-2mm-1＞0，x1ox2=-1m-1＞0，∴m-1＜0，∴2m＞0，∴0＜m＜1，∴当-1+52≤x＜1时，方程有两个正实数根，综上述，m的范围为-1+52≤x≤1．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知关于x的方程（m-1）x2+2mx-1=0有正实数根，试求m的取值范围．-数..”主要考查你对&&一元二次方程根的判别式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。定理1& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；定理2& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；定理3& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；定理5& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；定理6& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。③证明字母系数方程有实数根或无实数根。④应用根的判别式判断三角形的形状。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。⑧利用根的判别式解有关抛物线（△&0）与x轴两交点间的距离的问题。
发现相似题
与“已知关于x的方程（m-1）x2+2mx-1=0有正实数根，试求m的取值范围．-数..”考查相似的试题有：
310958925307419216913591497751551156已知关于x的方程x&#178;-2mx+m+2=0, 已知关于x的方程x&#178;-2mx+m+
已知关于x的方程x&#178;-2mx+m+2=0 1、m为何值时方程两根都大于0 2、m为何值，一个跟大于1一个根小于1 匿名 已知关于x的方程x&#178;-2mx+m+2=0
一个跟大于1一个根小于1令f(x)=x^2+2mx+m+2此抛物线开口向上;0得， 则只需f(1)&lt已知关于x的方程x&#178、m为何值时方程两根都大于0
4m^2-4m-8＞0
m^2-m-2＞0（m-2）（m+1)＞0
-1＜m＜22;0即可即1+2m+m+2&-2mx+m+2=01、m为何值，一个根大于1,另一个小于1：m&lt
m&gt：2m&0解得：m&gt，则有;0x1+x2&gt：判别式&0 即、判别式&gt： (-2m)&#178;0 即：m+2&22;-1一个根大于1一个小于1;0综上解得;-4(m+2)&0 即;-4(m+2)&2 或 m&0 即1：m&gt： (-2m)&#178：m&gt、方程两根都大于0则有;0m+2-2m+1&0x1x2&0 得：(x1-1)(x2-1)&lt：x1x2-(x1+x2)+1&0 解得;3综上可得
m为何值时方程两根都大于 0(x-m)^2+m+2-m^2=0-√[-m+2-m^2]+m&0-m+2-m^2&m^22m^2+m-2&0判别式大于0m为任何实数都成立一个跟大于1一个根小于1令f(x)=x^2+2mx+m+2此抛物线开口向上，一个根大于1,另一个小于1， 则只需f(1)&0即可即1+2m+m+2&0得：m&-1
热心网友分析：（1）由韦达定理：x1+x2=-ba，x1&#8226;x2=ca，易求出x1+x2+x1&#8226;x2的值为定值（2）由关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，可得△≥0，进而求出m的取值范围，由韦达定理求出（x1+x2）&#26;x2的表达式后，分析其单调性，进而可得其最大值．解答：解：（1）由韦达定理知x1+x2=-2m，x1&#m+3--------（2分）∴x1+x2+x1&#为定值--------（1分）（2）（x1+x2）&#26;x2=-2m&#8226;（2m+3）=-4（m+34）2+94--------（1分）∵关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，∴△=4m2-4（2m+3）≥0即m2-2m-3≥0解得m≤-1，或m≥3--------（2分）又∵（x1+x2）&#26;x2=-2m&#8226;（2m+3）=-4（m+34）2+94--------（1分）在m≤-1时为增函数，m=-1时最大值为2，---（2分）在m≥3时为减函数，m=3时最大值为-54，∴（x1+x2）&#26;x2的最大值为2--------（2分）点评：本题考查的知识点是韦达定理，函数的最值，熟练掌握韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）是解答的关键．
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科目：高中数学
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．（Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m&的取值范围．（Ⅱ）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围．
科目：高中数学
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有一正一负根，则m∈（-∞，-12）．
科目：高中数学
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，m的范围是(-56，-12)．
科目：高中数学
已知a≥12，f（x）=-a2x2+ax+c．（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤34；（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x1，x2，且x1≥0，x2≥0，求实数c的取值范围．
科目：高中数学
已知关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a1=1（1）试用an表示an+1；（2）求数列的通项公式an；（3）求数列{an}的前n项和Sn．并求Sn的取值范围．
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