会双边拉普拉斯变换换要有什么基础知识?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-21 06:53 标签： 双边拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换要点总结[1]
　　第九章：
　　The Laplace transform（拉普拉斯变换）
　　拉普拉斯变换也是一种频域分析。作为傅立叶变换的一种扩充，比傅立叶变换具有更广泛的应用。
　　9-1：The Laplace transform（拉普拉斯变换）
　　拉普拉斯变换的引入：
　　前面已经讲过，LTI系统对于指数信号exp(st)有响应为：
　　exp(st)→H(s).exp(st)
　　其中，H(s)由h(t)确定。具体公式为P655 9-2。
　　显然这个式子一般只对某些s值成立。而对另一些s值，9-2式不收敛。
　　这里，称9－2式为h(t)的拉普拉斯变换。使得9-2收敛的s值称为H(s)的收敛域(region of convergence),简称ROC。
　　更一般地，对任何信号连续x(t)，由公式P655公式9－3确认的函数X(s)称为其拉普拉斯变换。二者的变换关系记做：
　　x(t)←L→X(s)。
　　显然对于某一个确定的x(t)，只有在一定范围内的s才能使得9－3收敛成立。这个s的范围称为收敛域。
　　我们可以看出，拉普拉斯变换其实是傅立叶变换的扩充。
　　令s=σ+jω。则傅立叶变换可以看作σ＝0（即s=jω）情况下的拉普拉斯变换；
　　而信号x(t)的拉普拉斯变换可以看作x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。
　　从例题9－1，9－2可以看出，有时候两个完全不同的信号x1(t)和x2(t)，他们的拉普拉斯变换的表达式X1(s)和X2(s)可能会从形式上完全相同，但它们的收敛域会不同。
　　为了更好分析复指数s的取值范围，我们构建一个复平面称为s域。水平轴称为σ轴，垂直轴称为jω轴，s域上每一个点表示一个s值。
　　可以表示为如下形式：
　　X(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)都是关于s的多项式，则称X(s)为有理的（rational）。只要x(t)是实指数或者复指数信号的线性组合则X(s)一定是有理的。将X(s)化简约分后，使得N(s)=0的s值称为X(s)的零点（zero），使得D(s)＝0的s值称为X(s)的极点（pole）。在s域上零点用О表示，极点用Χ表示，形成的图称为零极点图。
　　9-2：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯变换的收敛域）
　　本节专门研究拉普拉斯变换的收敛域，主要是根据信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)和本身特性分析收敛域的情况。
　　性质1：X(s)的ROC由平行于jω轴的带状区域组成。
　　由于x(t)的拉普拉斯变换等效于x(t).exp(－σt)的傅立叶变换，显然使拉普拉斯变换收敛的条件即是x(t).exp(-σt)的傅立叶变换收敛，这只和σ的值有关。因此X(s)的收敛域必然是平行于jω轴的带状区域。
　　性质2：对有理拉普拉斯变换而言，ROC内不能包涵任何极点。
　　极点是使得X(s)的分母为0的s值，当然不能包含在收敛域内。
　　性质3：如果X(t)是有限持续期(finite duration)并且绝对可积(absolutely integrable)，则收敛域是整个s平面。
　　显然，对于一个有始有终的信号，又是绝对可积，使得无论s为何值，H(s)均是有限值。
　　性质4：如果x(t)是右边信号（right sided），也就是说有始无终，则其ROC是s域的某一右半平面（right-half plane）。（换言之，若对于σ=σ0的s在收敛域内，则对于一切σ&σ0的s都在其中）
　　该性质容易理解。因为x(t)的拉普拉斯变换等于x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。如果对某个σ0有傅立叶变换收敛，则当σ值变大，-σ变小，当t趋向正无穷大时，整个积分肯定也是收敛的。
　　性质5：如果x(t)是左边信号（left sided），也就是有终无始，则其ROC是s域的某一左半平面(left-half plane)。
　　同理，因为如果对某一σ0拉普拉斯变换收敛，则当σ变小时，对于从负无穷大到某一t0的积分肯定依然是收敛的。
　　性质6：如果x(t)是一个双边信号（two-sided），也就是无始无终，则可以把它看作一个右边信号x1(t)和左边信号x2(t)的和，则x(t)的ROC是x1(t)的收敛域和x2(t)地收敛域的公共部分。它要么是一个左右两边都有边界的带状区域，要么根本不存在。
　　性质7：如果x(t)的拉普拉斯变换是有理的，则它的ROC边界要么由极点确定，要么延伸到无穷远处。
　　性质8：假设一个x(t)的拉普拉斯变换是有理的。如果x(t)是右边信号，则其收敛域在其最右边极点的右边；如果x(t)是左边信号，则其收敛域在其最左边极点的左边；如果x(t)是双边信号，则收敛域在其某两个极点之间的垂直带状区域，或者根本不存在。
　　性质7和8是根据前面的推导出来的。
　　这8大性质其实很多都很容易想到，但把它们固化为性质，对于我们解决实际问题和进一步分析很有好处的。[1] &[] &[] & 下载
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