【急】数学：如图,已知在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ.AQ,BP相交于点O,求∠BOQ的度数.
水水好萌1182
∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵AP=CQ∴△APB≌△CQA&(ASA)∴∠CAQ=∠ABP∵∠OPA=∠APB∴△OPA∽△APB&∴∠AOP=∠BAP=∠BAC=60°∴∠BOQ=∠AOP=60°(对顶角)
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解: 首先证明 △ABQ全等于△BCP
则有∠AQB=∠BPC=∠OQB
因为∠PCB+∠PBC+∠BPC=180度
∠BOQ+∠OBQ+∠OQB=180度
其中 ∠PBC与∠OBQ为同一角
则∠BOQ=∠PCB=60度
如下图：因为：AP=CQ&∠ACQ=∠BAP&AC=BA所以：三角形BAP与三角形ACQ全等所以∠ABP=∠CAQ所以∠BOQ=∠ABP+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=60度(因为是等边三角形)
60度先证三角形AQC全等于三角形BPA从而得角QAC=角PBA又角BAC=角QAC+角QAB 所以角PBA+角QAB=角BAC=60度所以角AOP=角PBA+角QAB=60度再由对角相等得角BOQ=60度
:∵△ABC是等边△
∴∠PAB=∠C=60度 AC=AB 在△APB与△CQA中 AP=CQ ∠PAB=∠C AB=CA ∴△APB≌△CQA ∴∠PBA=∠CAQ ∵∠CAQ+∠QAB=60度 ∴∠QAB+∠PBA=60度 ∵∠BOQ是△OAB的外角 ∴∠BOQ=∠QAB+∠PBA=60度
如图∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵AP=CQ∴△APB≌△CQA (ASA)∴∠CAQ=∠ABP∵∠OPA=∠APB∴△OPA∽△APB ∴∠AOP=∠BAP=∠BAC=60°∴∠BOQ=∠AOP=60°(对顶角)
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如图1中所示，点P，Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌△CAP．(2)当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图2中所示，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，PC交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
主讲：张明军
【思路分析】
（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．
【解析过程】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB=CA，∠ABQ=∠CAP，AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB=CA，∠ABQ=∠CAP，AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
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＞＞＞等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB..
等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）△EPF为等边三角形.&&&&&&&&&&&&&&&&&&4分（2）设BP=x，则CP＝6－x.由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.△ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y.∴.自变量x的取值范围为3＜x＜6. &&&&&&&&&&&&&&8分（3）可证△EBP∽△PCF.∴ .设BP=x，则&. 解得&.∴ PE的长为4或.&&&&&&&&&&&&&&&&&12分（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；（2）根据△ABC的面积 △BEP的面积 △CFP的面积=四边形AEPF面积求解（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP=x，则CP="6" x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可
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据魔方格专家权威分析，试题“等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB..”主要考查你对&&相似图形，比例的性质，平行线分线段成比例，相似多边形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似图形比例的性质平行线分线段成比例相似多边形的性质
相似图形：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么称这两个图形相似。相似比：相似多边形对应边的比。注：（1）相似比是有顺序的；（2）全等三角形是相似比为1的两个相似三角形。主要性质：1.对应内角相等2.两个图形对应边成比例如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正方形，正三角形都相似长方形是长和高对应成比例3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似图形基本法则:1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。分别叫做这个线段比的前项后项。2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d；那么（a±kb)/b=(c±kd)/d；那么a/b±ka=c/d±kc6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（√5-1）/2叫做黄金比。8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做&a&相似多边形。11.相似多边形的比叫做相似比。12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。若三角形ABC与三角形DEF相似，记作：△ ABC∽△DEF，把对应顶点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件：① 两角对应相等的两个三角形相似。② 三边对应成比例的两个三角形相似。③ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。14.相似多边形的性质：① 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的算术平方根）。15.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。16.位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比和周长比等于位似比，且面积比等于位似比的平方对应角相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。17. 相似具有方向性与传递性。18.位似是特殊的相似。比例：在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比例是不是相等。比例性质：比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。是代数学中常用的比例性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。比例性质释义：1.合比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。证明：2.分比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。证明：3.合分比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。证明：令，则，4.等比性质：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等。例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。证明：令，则重要定理:比例尺:是表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺。用公式表示为：比例尺=图上距离/实地距离。1.数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50，000，000或写成：1/50，000，000。2.线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。3.文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3.一般的，如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项。 比例的美术术语：比例通常指物体之间形的大小、宽窄、高低的关系；另外比例也会在构图中用到，例如你在画一幅素描静物就要注意所有静物占用画面的大小关系。在画素描的过程中要想把形画准就要注意比例了。把握比例的几个技巧：1.横着比：当你要画某一个物体的位置时就以此做一条贯穿整个画面的横线，看到所有在这条线上的物体。2.竖着比：做一条贯穿画面的垂线，注意观察所有在这条线上的物体。3.多看物体、少看画面：为的是形成观察的意识，抛弃大脑中的原始概念。看物体5秒，看画面2秒，眼睛要在画面和物体之间反复的观察比较。4.总的说就是放长线、看整体、多比较。把这些想象成经线纬线一样会比较简单；初学者要多画辅助线，等功底深厚了你会发现你画面中的辅助线会越来越少，而你心里假象的辅助线会越来越多。在构图中要注意的比例关系技巧：一般被画物占画面百分之八十左右，看上去饱满。人物相关比例：1.三庭五眼：发际线-鼻底-下巴为三庭，这三段之间每段的距离大约相等；耳根-外眼角-内眼角-内眼角-外眼角-耳根为五眼，它们之间距离大约相等。2.站七坐五蹲三半：一个站着的成年人身高大约等于他七个头长（站七），当他座上时就等于五个头长（坐五），蹲着时刚好是三个半头长（三头）。3.小孩的头部比例较大，站着时一般为三到四个头高。4.张开双臂，两个中指之间的长度大约等于这个人的身高。5.手臂的长度为两个头长（腋窝-胳膊肘-手腕各位为一个头长）。6.手掌为三分之二头长。7.当举起胳膊时胳膊肘刚好到头顶。8.肩宽为两个头宽。9.脚掌为一个头长。10.男人肩比胯宽，而女人跨比肩宽。还有很多，可以在生活中多总结，多观察。这些都是标准人体比例，可以帮助初学者入门；也是艺术家创作英雄楷模人物绘画雕塑等艺术作品时的指导，例如米开朗基罗的大卫是七个半头高。在现实生活中有形形色色的人，在进行人物素描时就应当个别观察，抓住特征。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）判定:如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似相似多边形的性质：相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
发现相似题
与“等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB..”考查相似的试题有：
720771671490690023117016696924699068如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交_百度知道[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论．（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：______；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；&h1-h2+h3=h；&h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h．&&&&&&&&&&&&&&&（2）图②中，h1+h2+h3=h．证明：∵h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（3）证明：如图，连接AP、BP、CP，S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，∴BC×AM=AB×PD+AC×PE+BC×PF，∵AB=BC=AC，∴PD+PE+PF=AM，即h1+h2+h3=h；（4）连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，则RQ∥SF，∵RS∥BC，∴四边形RQFS是平行四边形，∴RS=QF=n，∵梯形RBCS是等腰梯形，∴BQ=FC=（m-n），∵∠B=∠C=60°，∴BR=CS=2BQ=（m-n），∴S梯形BCRS=S△BRP+S△BCP+S△CSP+S△RPS，∴o（m-n）oh1+omoh2+o（m-n）oh3+onoh4=（m+n）h∴（m-n）h1+mh2+（m-n）h3+nh4=（m+n）h，m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h，∴图（4）与图（6）中的等式有当n=0时，图形（6）的等式就变成图形（4）的等式，故答案为：m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h．
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（1）图②-⑤中的关系依次是h1+h2+h3=h；&h1-h2+h3=h；&h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h．&（2）解直角三角形得出h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，求出h1+h2+h3=ACsin60°，即可得出答案；（3）根据三角形面积公式和等边三角形性质得出BC×AM=AB×PD+AC×PE+BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；（4）连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根据面积公式求出即可．
本题考点：
四边形综合题．
考点点评：
本题考查了三角形面积，平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，由一定的难度．
看不见图啊
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