△ABC的顶如图 点abc在圆o上作高AD,以垂足D为圆...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-22 10:41 标签： 如图 点abc在圆o上
和圆有关的角；与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及；角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能；111；CD,∠D的度数等于AB,∴∠AEB的度数等于(；的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,；（1）(2)；如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,；111；CD,∠D的度数等于AB,∴∠E的度数等于(CD；等于它所夹的两弧
和圆有关的角
与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系.
角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.?如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图1中所示的∠AEB即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AE、BE分别交圆于C、D两点,再连结AD,?则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A的度数等于
CD,∠D的度数等于AB,∴∠AEB的度数等于(?AB+CD).即圆内角222
的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角.
如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,?如图2所示,∠AEB即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结AD,则∠E=∠CAD-∠D,?∵∠CAD的度数等于
CD,∠D的度数等于AB,∴∠E的度数等于 (CD-AB).即圆外角的度数222
等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半.
圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。
例1 已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E是BC上一点,F?是AC的中点,求∠BEF的度数.
∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°,
∴∠AEB=40°.
∵AF?FC,∴∠ABF=
∠ABC=40°.
又∵∠AEF=∠ABF=40°.
∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°.
若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、?内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设
法转化为与圆有关的角去解决。
如图,设P为正三角形ABC外接圆⊙O的劣弧BC上一点,AP交BC于点D.
证明:PB、PC是方程x2-PAx+PA?PD=0的两个根.
延长BP,作等边△PEC,在△APC和△BFC中,
∵ AC=BC,∠CAP=∠CBF,∠PCA=∠FCB,
∴△APC≌△BFC.
∴PA=BF=BP+PF=BP+PC.
∵∠BAP=∠PCD,∠APC=∠APB,∠ABP=∠CDP,
∴△ABP∽△CDP.
∴有. PCPD
∴PB?PC=PA?PD.
∴PB、PC是方程x2-PAx+PA?PD=0的两个根. 点评
利用圆中的全等三角形,相似三角形证明几何命题,是最基石,?最重要的一种方法,应当引起重视,本题证明PA=PC+PB时还可用托勒密定理证明.证明如下:
∵四边形ABPC是圆内接四边形, ∴AB?PC=AC?PB=BC?PA
∵AB=BC=CA,∴PC+PB=PA得证.
已知,如图13-7,C为半圆上一点,AC?EC,过点C?作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F.
(1)求证:AD=CD;
,tan∠ECB=,求PB的长. 44
(1)证明:连结AC,∵AC?EC,∴∠CEA=∠CAE,∵∠CEA=∠CBA,
∴∠CBA=∠CAE,∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∵CP⊥AB,∴∠CBA=∠ACP.
∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD
∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,
∴∠DCF=∠CFD.∴AD=CD=DF=
∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=,
∴tan∠DAP==,∵DP2+PA2=DA2,
∴DP= ,PA=1,∴CD=2.
又∵∠ACB=90°,CP⊥AB,∴△APC∽△CPB.
? ,∴PB=4. PCPB
充分利用与圆有关的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解决问题.
(2001年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题)如图,?已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直,C为优弧
AMB上的点,且BC2=AB2+OB2.
求∠OAC的度数.
设⊙O的半径为r,则
为半径作圆,?
与⊙O?交于两点C,C′.连结BC,BC′,AC,AC′,延长OB交⊙O于点D.连结CD,则
=r,即BD=?2CD,∴∠CBD=30°.
∠AOB=45°, 2
∴∠OAC=180°-∠ACB-∠ABC-∠BAO=180°-45°-75°-45°=15°.
∴∠OAC′=∠OAC+∠CAC′=∠OAC+∠CBC′=15°+60°=75°. 综上可得,?∠OAC为15°或75°.
点评 以B为圆心,BC长为半径画圆交⊙O于C,C′,C点的位置确定了,?从而使条件与结论互相靠拢,为解题创造了条件.一般地,几何图形中有半径或直径这一条件,?常添加辅助线,使其构成直角三角形.
(2002年江苏省第17届数学竞赛题)如图,⊙OA为△ABC的外接圆,?∠BAC=60°,H为边AC、AB上的高BD,CE的交点,在BD上取点M,使BM=CH.
(1)求证:∠BOC=∠BHC;
(2)求证:△BOM≌△COH;
(3)求证:MH:OH的值.
(1)∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∠
BCBHC=∠DHE=360°-(90°+?90°+∠BAC)=120°,
∴∠BOC=∠BHC;
(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠BOC=120°,∴∠OBC=
(180°-120°)=30°. 2
而∠HBC=90°-∠BCA,
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°.
又∵∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-
(180°-120°)=∠HCB-30°, 2
但∠HCA=90°-?∠BAC=90°-60°=30°,
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°,
∴∠OBM=∠OCH.
又∵BM=CH,OB=OC,∴△BOM≌△COH;
(3)由(2)得OH=OM,且∠COH=∠BOM,
从而有∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°,∠OHM=在△OMH中,作OP⊥MH,P为垂足,
(180°-120°)=30°. 2
11OH2OH,由勾股定理,得(MH)2=OH2-OP2=OH2-() ;
1.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的⊙O,且AD=4cm,AB=BC=1cm,?求CD的长.
2.如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于H,求证:OA.AH=
3.如图,△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于点D,?如果点D既是AB的中点,又是AC的中点.
(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)求的值.
1.如图,在△ABC中,已知AB为⊙O的直径,AB、CD交于点P,P是OB的中点,求tanC?tanD的值.
2.如图,由△ABC的顶点A作高AD,以垂足D为圆心,AD长为半径作圆,分别交AB、AC于E、F,若AE=2,AF=3,AB=5.求AC的长.
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