若2/x+8/y=1,切x、y均为对于正数x 规定...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-22 14:55 标签： 对于正数x 规定
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）通过直线OP，OQ互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆R的方程；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程(1+k2)x2-(2x0+2ky0)x+x02+y02-8=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点R（x0，y0）在椭圆C上，证明2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立y=k1xx224+y212=1，推出x12+y12=24(1+k12)1+2k12，x22+y22=24(1+k22)1+2k22，由k1k2=-12，求出OP2+OQ2是定值．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过2k1k2+1=0，推出y21y22=14x21x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，联立x=1x=1，推出OP2+OQ2=36．即可．
解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径r=22，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|=2r=4，即x02+y02=16，①…（1分）又点R在椭圆C上，所以x=1，②…（2分）联立①②，解得x0=±22y0=±22.…（3分）所以所求圆R的方程为(x±22)2+(y±22)2=8．&…（4分）（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以y=k1x(x-x0)2+(y-y0)2=8，化简得(1+k12)x2-(2x0+2k1y0)x+x02+y02-8=0…（6分）同理(1+k22)x2-(2x0+2k2y0)x+x02+y02-8=0，…（7分）所以k1，k2是方程ξ的两个不相等的实数根，k1•k2=-b+b2-4ac2a•-b-b2-4ac2a=ca=y20-8x20-8…（8分）因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以x=1，即y20=12-12x20，所以k1k2=4-12x20x20-8=-12，即2k1k2+1=0．&&&…（10分）（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，…（11分）理由如下：法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立y=k1xx224+y212=1解得x12=241+2k12y12=24k121+2k12.…（12分）所以x12+y12=24(1+k12)1+2k12，同理，得x22+y22=24(1+k22)1+2k22，…（13分）由k1k2=-12，所以OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=24(1+k12)1+2k12+24(1+k22)1+2k22=24(1+k12)1+2k12+24(1+(-12k1)2)1+2(-12k1)2=36+72k121+2k12=36…（15分）（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有ξ，综上：OP2+OQ2=36．&…（16分）法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以2y1y2x1x2+1=0，即y21y22=14x21x22，…（12分）因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以x=1x=1，即y21=12-12x21y22=12-12x22，…（13分）所以(12-12x21)(12-12x22)=14x21x22，整理得x21+x22=24，所以y21+y22=(12-12x21)+(12-12x22)=12，所以OP2+OQ2=36．&&&…（15分）（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．&&&&&…（16分）
点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．
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xy=xy*1=xy(2/x+8/y)=2y+8x=(8x+2y)*1=(8x+2y)*(2/x+8/y)=16+4y/x+64x/y+16=32+4y/x+64x/y>=32+2√ [（4y/x)*(64x/y)]=32+32=64当且仅当4y/x=64x/y时,即x=4,y=16时等号成立.所以xy的最小值为64,无最大值.
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&提问时间： 03:52:59
最佳答案此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点
回答：级别：一级教员 16:25:18来自：天津市
解析： 。当且仅当 时取等号。
提问者对答案的评价：
回答：级别：硕士研究生 06:53:13来自：贵州省贵阳市
由a^2+b^2≥2ab得:
1=2/x +8/y ≥2√(16/xy)
所以xy≥64
仅当2/x=8/y=1/2
即,x=4,y=16时最小值成立
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（2+x）+1&#47,且1/3设x;（2+y）=1&#47、y都为正数
提问者采纳
由已知式可以得到y=(x+8)/x-1
=【（x-1）^2+10(x-1)+9】/x-1+10利用基本不等式得;x-1
=(x-1)+10+9/x-1
=(x-1)+9/x-1.xy=(x^2+8x)&#47利用分离变量来做;=2√9+10=16此时x=4，xy&gt
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