an=(2n+1）/2^n,求sn

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-22 17:01 标签：
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已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明：Sn2n＞2n-3．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟
（Ⅰ）∵an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N*），∴an2n=an-12n-1+1，即an2n-an-12n-1=1（n≥2，且n∈N*），…（3分）所以，数列{an2n}是等差数列，公差d=1，首项12，…（5分）于是an2n=12+(n-1)d=12+(n-1)o1=n-12，∴an=(n-12)o2n．…（7分）（Ⅱ）∵Sn=12o2+32o22+52o23+…+（n-12）o2n，①∴2Sn=12o22+32o23+52o24+…+(n-12)o2n+1，②…（9分）①-②，得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-12)o2n+1=2+22+23+…+2n-(n-12)o2n+1-1=2(1-2n)1-2-(n-12)o2n+1-1=（3-2n）o2n-3，…（12分）∴Sn=(2n-3)o2n+3＞（2n-3）o2n，∴Sn2n＞2n-3．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}..”考查相似的试题有：
485479751077785448474337409966526756数列{an} 中， an=2^n+2n+1, 求Sn_百度知道若an=(2n-1)2的n次方 求sn
sn=1*2^1+3*2^2+……+（2n-1）*2^n 2sn=1*2^2+3*2^3+……+（2n-1）*2^（n+1） 两式相减（即错位相减）得sn-2sn=1*2^1+2*2^2+2*2^3+……+2*2^n-（2n-1）*2^（n+1）-sn = -2+2*（2^1+2^2+2^3+……+2^n）-（2n-1）*2^（n+1）=-2+ 2*2（1-2^n）/（1-2）-（2n-1）*2^（n+1）=接下来你自己算吧
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Sn=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+n/2^nSn/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+n/2^(n+1)Sn/2=Sn-Sn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n/2^(n+1)Sn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)-n/2^n=(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^n=2-1/2^(n-1)-n/2^n
可不可以在化简了啊？
我算到你的这一步了，，
不过我又接着算了两部
得到了Sn=2-（1/2）^n
这个答案对不？？
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这要用到错位相减法 。s=1*2+ 2*2^2+ 3*2^3+ 4*2^4+……+n*2^n 给此式左右乘以2得： 2s= 1*2^2+ 2*2^3+ 3*2^4+4*2^5+……+（n-1）*2^n+n*2^(n+1) 第一个式子减第二个式子，得 -s=2+2^2+2^3+2^4+……2 ^n）-n*2 ^(n+1)
=2*（1-2 ^n）/（...
不好意思 那就乘个1/2 才相减 记住 等比数列作分子就乘公比 等比数列作分母就乘公比分之一
相乘就乘个公比
这是差比数列，那么我们可以这样看：Sn=1/2^1+2/2^2+3/3^3……n/2^n
1/2*Sn=1/2^2+2/2^3+3/3^4……n/2^(n+1)
(b)错位相减 (a)-（b）=1/2^1+1/2^2+1/2^3+……1...
扫描下载二维码an=(2n+1）/2^n,求sn
令Tn=2×1/2^1+2×2/2^2+...+2n/2^nTn=1/2^0+2/2^1+...+n/2^(n-1)Tn/2=1/2^1+2/2^2+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^nTn-Tn/2=Tn/2=1/2^0+1/2^1+...+1/2^(n-1)-n/2^n=(2^n-1)/(2-1)-n/2^n=2^n-1-n/2^nTn=2^(n+1)-2n/2^n -2Sn=a1+a2+...+an=(2×1/2^1+2×2/2^2+...+2n/2^n)+(1/2^1+1/2^2+...+1/2^n)=Tn+(1/2)[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2^(n+1)-2n/2^n-2+1-1/2^n=2^(n+1)-(2n+1)/2^n -1
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