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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-22 18:27 标签： belle donne
Courbe algébrique
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射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程（）中，我们作代换：
遂得到个齐次多项式，它们在射影空间中定义一条曲线，此射影曲线与开集的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括中的费马曲线，其上的有理点对应到费马方程的互素整数解。
代数函数域
代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在之意义下等价于。域上的函数域是为一的有限型域扩张，换言之：存在元素使得在上，而且是。
以复数域为例，我们可以定义复系数域。变元对代数关系生成的域是一个域，代数曲线
给出它的一个几何模型。
若基非，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域并考虑其上的代数曲线，此方程定义了一个的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而
上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者上的曲线论，能提供较合适的框架。
复代数曲线与黎曼曲面
复射影曲线可以嵌入维复射影空间。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲在线由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为，则可以采手法加以研究。另一方面，则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。
于是我们有三个相互等价的：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与上的函数域。因此一维（包括位势论）、与论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。
曲线在一点的平滑性可以用判断。以下考虑嵌于中的曲线：设该曲线由个个变元的定义，若其雅可比矩阵在区在线一点满秩，则称它点光滑；反之则称为。在一点的平滑性与多项式的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。
在平面射影曲线的例子，假设曲线由齐次方程序定义，则的奇点恰为上使得为零的点，即：
在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的映射或范式解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。
曲线的包括（这是曲线的自交点）及（如仿射曲线之于原点，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线在一点的奇点性质可以透过下述方式理解：
透过平移，不妨假设。将多项式写成
其中是次。直观地想像，在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为。根据齐次性可以将之分解成
换言之，曲线在原点附近将近似于条（含重复）直线的联集。上式中相异的直线数称作分支数，正整数称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量，其中是该曲线的范式态射。数据[m, δ, r]能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到，一般双重点对应到，而一般n重点则对应到。
各奇点的不变量δP决定平面曲线的亏格：设，则有
对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设，在原点附近够小的四维球<img class="mwe-math-fallback-image-inline tex" alt="B_\epsilon := \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 内有，此时有连续映射
由于 于三维球面，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：
事实上，在ε够小时是中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：在尖点附近的奇点环圈是。
曲线的例子
域上的有理曲线是于射影直线的曲线，换言之，其函数域同构於单变元有理函数域。当代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。
具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。
任何上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点而斜率为的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于的根已知，即的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于，而且能表作在上的有理函数。y坐标的作法相同。
x + xy + y = 1
例。考虑斜椭圆，其中是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线，并带入E的等式，于是得到：
这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。
将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线
以上参数化遂表为
若取为整数，对应的是的整数解；若将代以，则此方程诠释为θ=60°时的，借此能描述所有一角为
60°且边长均为整数的三角形，例如取，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。
椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：
椭圆曲线带有唯一的结构，使得给定有理点为单比特素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零若且唯若它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于，其中的由相应的给出。
亏格大于一的曲线
对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在的情形。
Egbert Brieskorn and Horst Kn?rrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkh?user, 1986
Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
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Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
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Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988
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