曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案_中华文本库
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1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
量子力学的诞生
??,x?0,x?a V(x)??0,0?x?a?
试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有
2(n?1,2,3,?)
又据de Broglie关系
E?p2/2m??2/2m?2
h2n2?2?2n2
??2m?4a22ma2?n?1,2,3,??
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有
px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??
（2a：一来一回为一个周期）
?px?nxh/2a,
同理可得，
py?nyh/2b,
pz?nzh/2c,
nx,ny,nz?1,2,3,?
Enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnynz??2?2? 2?abc???
nx,ny,nz?1,2,3,?
1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)?
提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2p?2m[E?V(x)]
(x) n?1,2,?,
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量子力学课后习题答案 35130字 投稿：熊觇览
2004年咨询工程师考试工程咨询概论真题 一、单项选择题（共60题，每题l分。每题的备选项中，只有l个最符合题意） 1.工程咨询应重点关注社会效益的项目是（ ）。 A．房地产项目 B．环保项目 C．石化项目 D．通讯项目 答案：B 点评：公益性项目主…新闻内参机制现状及其对策 中文摘要 新闻内参是我国新闻队伍中的一支特殊“兵种”。一般意义上的新闻（公开报道）被认为是党和政府的“喉舌”，主要的职能是将党的方针、路线以及新闻事实传播给广大受众，信息往往是从上层流向普通受众；而内参则被看作是党和政府的“…2016年2月思想汇报 2016年2月思想汇报 尊敬的党组织： 转眼间新的一年马上又要过去四分之一了。随着年龄的日益增长，对于时间的飞逝变得诚惶诚恐，而岁月所带来的变迁似乎却也无从左右，很多时候也只能默默的侍从。很长时间以来，对于长辈们的教导，都逆反… 第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10?3m?0C。证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?c33??d??及??c1h?d?，ekT?1c?、d???8?hc????12d?得e?kT?1d??hc令x?，再由?0，得?.所满足的超越方程为?kTd??5hc，5?xexxe?1 hc?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3用图解法求得x?4.97，即得?mkTm?C 1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. hh?10解：????7.09?10m?7.09Ap2mE#1.3. 氦原子的动能为E?解：??hp?h2mE32kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。?h3mkT?12.63?10?10 m?12.63A其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10?23J?K?1#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。?23?1已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10J?T，求动能的量子化间隔?E，并与T?4K及T?100K的热运动能量相比较。解：（1）方法1：谐振子的能量E?可以化为p2p22??12??q222?E2?????q22?12E??2????的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?E,b?2E??2，相空间面积为??所以，能量E?nh?,n?0,1,2,?q?Asin??t???pdq??ab?2?E?E?nh,n?0,1,2,?方法2：一维谐振子的运动方程为q????q?0，其解为2??t???，动量为p??q??A??cos??t???，则相积分为 速度为 q??A?cospdq?A??22?T cos22??t???dt2?A??222?T (1?cos??t???)dt?A??T222?nh，n?0,1,2,?E?A??2?nhT?nh?，n?0,1,2,?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB?再由量子化条件pdq?nh,n?1,2,3,?，以?,p???Rv??R??BeR广义动量，所以相积分为2?22?2?vR2，得R??veB 分别表示广义坐标和相应的p?d??? p?d??2??Rv?2?eBR11?nh，n?1,2,?，由此得半径为R?n?eB，n?1,2,?。?eBR电子的动能为E??v2????22???122n???eB?n?BB ?2?eB?2动能间隔为?E??BB?9?10?23J?23热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为E?kT，所以当T?4K时，当T?100KE?4.52?10J；时，E?1.38?10?21J1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？2解：转化条件为h???ec，其中?e为电子的静止质量，而??c?，所以??h?ec，即有?max?h?ec??c?6.626?109.1?10?31?348 ?3?10?0.024A（电子的康普顿波长）。第二章 波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令?(r，t)??(r)f(t)???Et??(r)e?i?J?(???2m? ?i?2mi?2m*i??????)iiii* ?Et???Et???Et*???Et*??[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]??*?*?[?(r)??(r)??(r)??(r)]?可见J与t无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：1ikr1?ikre (2 )? 2?e (1)?1? rr从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：J1和J2只有r分量???1??1?在球坐标中 ??r0 ?e??e??rr??rsin??????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2m ? ? ???1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr[(?2?ik)?(?2?ik2mrrrrrr?k??k?r?r203mrmr*2*2i?i?111111?)]r0 J1与r同向。表示向外传播的球面波。?i?(2) J2?(?2??2m ? ?[e2mri?i?1?ikr??1??))?1reikr(e?rr?ikr(e?rr?1?ikr?)]r0 111111?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k?r??r203mrmr????可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？?dx??∴波函数不能按(x)dx?1方式归一化。???*?dx???2??其相对位置几率分布函数为 ??2?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3 一粒子在一维势场??，x?0?0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程??2d222mdx在各区域的具体形式为?(x)?U(x)?(x)?E?(x)222Ⅰ：x?0 ? Ⅱ： 0?x?a ? Ⅲ：x?a ??2??2dd22mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ①2mdx?2(x)?E?2(x) ②d222mdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令k2?d?2(x)dx2mE?222?2mE?2?2(x)?0，得d?2(x)22 dx其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④?k?2(x)?02根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤ ?2(a)??3(a) ⑥⑤ ?B?0⑥ ?Asinka?0?A?0?sinka?0?ka?n? ( n ?1, 2, 3,?) n?a∴?2(x)?Asin 由归一化条件ax?2(x)dx?1 xdx?12?得 A由?A?2a2?sinn?a ?absinm?ax?sinn?axdx?a2mn 2a2mE?2??2(x)?sinn?ax?k2?22?En???22ma对应于En的归一化的定态波函数为n ( n ? 1,2,3,?)可见E是量子化的。2i?Ent?2n??sinxe, 0?x?a??n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a?12.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??a证：?nn???Asin(x?a), x?a?a??? 0, x?a?由归一化，得1???22ndx??a?aA?sinn?aa22n?a(x?a)dx?A?A?2?a12a?a[1?cosA?222(x?a)]dxn?an?a2?x?a?A?2?a?acos(x?a)dxa ?A?a??A?a22?n?sin(x?a)?a∴归一化常数A??1 a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：?(x)??2?2?xe2122??x2?2?xe2??x22?1(x)?1(x)?4?2??x222? ?2?3 3?xe令d?1(x)dx?2?[2x?2?x]e23??x22 1x???d?1(x)?dxx???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，而d?1(x)dx322?0，得 x?0 x???2?3 ?22[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]e44??x2222223??x224? [(1?5?x?2?x)]e d?1(x)dx22x??12??24?31e?0， 可见x??1??????是所求几率最大的位置。2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ??2d222?dx?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ①?2将式中的x以(?x)代换，得 ?d2222?dx??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ②22利用U(?x)?U(x)，得 ?d2?dx?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，? ?(?x)?c?(x) ④ 由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。? ?(x)?c?(?x) ⑤ ④乘 ⑤，得 ?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x)， 可见，c2?1，所以 c??1 当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称，当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱中 ?U(x)?0, x ?a??U0??? 0 , x ? a运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为 2??d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 2 Ⅰ：??2d2?dx2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a ① Ⅱ：??2d22?dx2?2(x)?E?2(x) ?a?x?a ?22 Ⅲ：?d2?dx2?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? ③ 整理后，得Ⅰ： ??2?(U0?E)1?? ④?2?1?0 Ⅱ：. ??2? E2???2?2?0 ⑤Ⅲ：????2?(U0?E)3⑥?2?3?0 令 k2?(U0?E)1?2?2k22?2?E?2 则Ⅰ： ????k211?1?0 ⑦Ⅱ：. ??22??k2?2?0 ⑧ Ⅲ：??3??k21?1?0 ⑨ 各方程的解为?k1x1?Ae?k1x?Be?2?Csink2x?Dcosk2x ?1x3?Ee?k1x?Fe?k由波函数的有限性，有?1(??)有限 ? A?0? ? E ?03(?)有限 因此②
?1?Bek1x?k1x?3?Fe由波函数的连续性，有?1(?a)??2(?a),?Be ?k1a ??Csink2a?Dcosk2a (10)?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)?k1a?(?a),?k1Be?1?(?a)??2?k1a?2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe (12)?k1a?(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe?2整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得e?k1a(13)B?sink2aC?cosk2aD?0?0 B?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?0?k1a k1e?k1a 0?sink2aC?cosk2aD?eF?0?k1a0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1eF?0解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e?k1a?k1asink2a?k2cosk2asink2ak2cosk2a?k2cosk2asink2ak2cosk2asink2a?k1a?cosk2a?k2sink2acosk2a?k2sink2a0?ek1e?k1a?k1a00e?k1a?k1a k1e00?k1a?0k1Be??k2sink2acosk2a?k2sink2a?cosk2acosk2a?k2sink2a2?k1a0?e0?ek1e?k1a?k1a?k1esink2ak2cosk2a?k1a22? ?e?k1a[?k1k2e?k1a?k1acosk2a?k2ek2a?k2e2?k1asink2acosk2a??k1a2 ?k1k2e ?k1esinsink2acosk2a]?cosk2a?22?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2esin?k1e ?e ?e?2k1a?2k1a?k1asink2acosk2a?k2e2k2a][?2k1k2cos2k2a?k2sin2k2a?k1sin2k2a][(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a]?2k1a22∵ e22?0∴(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0即 (k2?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。方法二：接（13）式kk?Csink2a?Dcosk2a?2Ccosk2a?2Dsink2ak1k1 Csink2a?Dcosk2a??k2k1Ccosk2a?k2k1Dsink2a22k2k1k2k1?(?(cosk2a?sink2acosk2a?sink2ak2k1k2k1k2k1221k2k1?0k2?(sink2a?cosk2a)k1k2k1k2k1k2k1sink2a?cosk2a)sink2a?cosk2a)?0sink2a?cosk2a)?02sink2a?cosk2acosk2a?sink2a)(cosk2a?sink2a)((cosk2a?sink2a)(k2k1 k2ksink2acosk2a?k2k22sink2a?k2k1cos2k2a?sink2acosk2a?0(?1?221)sin2k2a?2k2k1cos2k2a?0(k2?k1)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0另一解法：(11)-(13)?2k2Dsink2a?k1e?ka(B?F)1(10)+(12)?2Dcosk2a?e(11)?(13)(10)?(12)?k1a(B?F)?k2tgk2a?k1 (a)?ik1a(11)+(13)?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e(12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a ( 11 ) ? ( 13 )? k 2 ctgk 2a ? ? k 1( 12 ) ? ( 10 ) （b）令 ??k2a，??k2a， 则? tg??? (c)或 ? ctg???? (d)??2 ?2?(k?k)?21222?U0a?22(f)合并(a)、(b)： tg2k2a?2k1k2k2?k122利用tg2k2a?2tgk2a1?tgk2a2 2-7一粒子在一维势阱?U0?0,x?aU(x)??0,x?a?中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：? Ⅱ：??22??2???U0?1?E?1 （χ≤0） ?1???E?2 （0＜χ＜2a） ?22?Ⅲ：??22????U0??33?E?3 （χ≥2a）2?(U0?E)??????1?0?12??2?E???? ???2 ?2?02???2?(U0?E)???3?0??3?2??222??1???k1?1?0 (1) k1?2?(U0?E)??22???k2?2?0 (2) k2?2?E?束缚态0＜E＜U0 ??22?2???k1??3?0 (3)3????123?Ae?k1x?Be?k1x?Csink2x?Dcosk2x ?Ee?k1x?Fe?k1x因此??1?Ae ?3?1(??)有限 ? B?0?3(?)有限 ? E ?0k1x?k1x ?Fe 由波函数的连续性，有?1(0)??2(0),?A?D (4)?(0),?k1A?k2C (5)?1?(0)??2?(2a)??3?(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k1Fe?2k1a (6)?2 ?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe?2k1a( 7 )(7)代入(6) Csin2k2a?Dcos2k2a??k2k1Ccos2k2a?k2k1Dsin2k2a利用(4)、(5)，得2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ? 0 ， ??, x?x?a，?U0, 0 ?U(x)???U, a ?x?b，1??0, b ? x ， ?k1k2A[(Asin2k2a?Acos2k2a??Acos2k2a?k1k2?k2k1)sin2k2a?2cos2k2a]?0k2k1Dsin2k2a求束缚态的能级所满足的方程。 ?A?0解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。kk?(1?2)sin2k2a?2cos2k2a?0 定态S-方程为k2k122?d?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 两边乘上(?kk)即得 ?2122?dx22(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 对各区域的具体形式为 Ⅰ：??22??1???U(x)?1?E?1 (x?0)Ⅱ：? Ⅲ：? Ⅳ：??2?22??2???U0?2?E?2 (0?x?a) ?2???U1?3?E?3 (a?x?b) ?32?2????0?E?4 (b?x) ?4对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0 ??? 而 . ?22? (U0?E)?2?2?0 ①2??? ?3??? ?42? (U1?E)??2?3?0 ②2?E?4?0 ③对于束缚态来说，有?U?E?0???k12?2?0 k1? ∴ ?2???k32?3?0 k3? ?3222? (U0?E)?2? (U1?E)?2??2?E/?22 ④ ⑤ ⑥???k?4?0 k ?4各方程的解分别为2424?2?Aek1x?Be?k1x?3?Csink2x?Dcosk2x?4?Ee?k3x?Fe?k3x由波函数的有限性，得 ?4(?)有限， ? E?0 ∴ ?4?Fe 由波函数及其一阶导数的连续，得 ?1(0)??2(0) ? B??A ∴ ?2?A(ek3x?k3x?e?k3xk3x) ?e?k3x?2(a)??3(a)?A(e?(a)??3?(a)?Ak1(e ?3)?Csink2a?Dcosk2a ⑦2k3a?e?k3a)?Ckcosk2a?Dk2sink2a ⑧?k3b?3(b)??4(b)?Csink2b?Dcosk2b?Fek1ek2ek1ak1a⑨3?(b)??4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e?kb ⑩ ?3由⑦、⑧，得?e?e?k1a?k1a?Ccosk2a?Dcosk2aCsink2a?Dcosk2a(11)由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D ( 令??eek2k3cosk2b?sink2b)C?(??k1a?k1ak2k3cosk2b?sink2b)D?0 (12)k1ak1a?e?e?k1k2，则①式变为 (?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 (cosk2b?sink2b)k3(?sink2a?cosk2a)k2(?sink2b?cosk2b)?0 k3(?cosk2a?sink2a)k2k3cosk2b?sink2b)?(?sink2a?cosk2a)?k2即 (?cosk2a?sink2a)( ?(? ?k2k3k2k3sink2b?cosk2b)?0k2k3k2k3k2k3k2k3sink2bsink2a??sink2bcosk2a?sink2bsink2a?k2k3sink2bcosk2a)?cosk2bcosk2a??sink2bsink2a?? ??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 sink2(b?a)(?? tgk 2(b?a)?(1?)?cosk2(b?a)((?k2k3?1)?0?)(k2k3??)把?代入即得tgk2(b?a)?(1?k2ek3ek1ak1a?e?e?k1a?k1a)(k2k3?k1ek2ek1ak1a?e?e?k1a?k1a)此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。(e(ek1a?e?k1a)?sink2a?k2cosk2asink2bk2cosk2b?k2cosk2a?cosk2ak2sink2acosk2b?k2sink2bk2sink2acosk2b?k2sink2b00?ek3e0?ek3e?k3a?k3a?k3a?k3ak1a?e00?k1a)k2?00?(ek1a?e?k1a)sink2bk2cosk2b??sink2a? k 1(ek1ak1a?cosk2acosk2b?k2sink2b20?ek3e?k3a?k3a?k3a?e?k1a)?sink2bk2cosk2b?k3a(e ??e?k1a（)?k2k3e?k3acosk2acosk2b?k2e2?k3asink2a c o s k2b?k2k3e ? k 1 (ek1bsink2asink2b?k2e?k3bcosk2asink2b）?k3b?e?k1b（)k2k3esink2acosk2b?k2e?k3bcosk2ac o s k2b?k3e?k3bcosk2asink2b?k2esink2asink2b））?(ek1a?e?k1ak1a)[?k2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e?k1a2?k3b?k3b?k3b?k3b?(e?ek1a?e)[k1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e2[?(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k1a2 e?0[(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e2?k3b?k3b? [?(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e2 ?[(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e [(k22?02k1a?k1k3)e2k1a?(k22 ?k1k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e? ( k 1?k3)k2?0此即为所求方程。第三章 力学量的算符表示3.1 一维谐振子处在基态?(x)? (1)势能的平均值U? (2)动能的平均值T?12p??e??x222i?t2，求：22??x； 22?；(3)动量的几率分布函数。 解：(1) U?12??2x2?1212????2??????xe12??x22dx12 ? ? (2) T??2?222?2????2122?14??2???? 141?? p22?(???22?ddx22????*^2?(x)dx ?(x)p?12?????e122??x2)e2122?x2dx? ? ? ? ??????22??2??2?22????(1??x)e??x2222??x22dx2??x22?[?e???dx??22????xedx]?2??[2??????2?23] ?2?14?2?2??? 12?22?2?4???4????? 或 T?E?U????14???14??(3) c(p)???*p(x)?(x)dx ?12??????1222?x??ee?i?Pxdx?1??1222?????e2?xe?iPx?dx?2?1???12ip2p2(x?)??2?2?2?22?dx????e21?p?122(x?ip2??2?2?2??2?edx?????e2)1??p2 e?22?p2?2?2?1?2?2 2?????e2 动量几率分布函数为2 ?p?(p)?c(p)2?1?2?2 ???e#3.2.氢原子处在基态?(r,?,?)?1e?r/a0，求：a30(1)r的平均值； (2)势能?e2r的平均值； (3)最可几半径； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)??r(r,?,?)2d??1??a3??2??r/a02 ? re?2rsin? drd? d??4a3??3?2r/a0 radr ?43!a3?3?402a0?2????a?0?e2(2)U?(??2??1?2r/a0r)??e2?a3?0?0? r2sin? drd? d? re??e2?2??2r/a0?a3?0?0? e?rsin? drd? d? 4e2??a3???2r/a0 er dr0??4e21e2a32??0??2?a??a?0?0? (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为?(r)dr???2?22 ? [?(r,?,?)]rsin? drd? d??42r/a0a3e?r2dr (4)动能的平均值；?(r)?d?(r)dr?4a304a30e?2r/a02r(2?2a0r)re?2r/a0 令d?(r)dr?0， ? r1?0, r2??, r3?a0当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置2d?(r)dr22?4a3 (2??28a0r?4a20r)e2?2r/a0 d?(r)dr2r?a0??8a30e?0∴ r?a0是最可几半径。 ^? (4)T12?^p?2????22?2?0??22T?????22?130???? 1 ?a0dr)e3e?r/a0?(e?r/a0)rsin? drd? d?222???? ?2?? ?a1a0e?r/a01drr22[r2ddr(e?r/a0)]rsin? drd? d???4?23 2?a(?? (2r?2?r/a0a0a02dr?2?(2?)? 42442?a02?a0??(r)?(r,?,?)d? (5) c(p)???*p4?a02c(p)?1(2??)3/2??1 a2?30e?r/a0rdr?e ?22??i?prcos?sin? d???i?prco?s2? d??(2??)3/2a3 ? re?r/a0dr?e ?d(?cos?)??(2??)2?3/2a3 ??? re?2?r/a0dri?iprpre?i?prco?s ?(2??)2?3/2a1i?3 ?ip?2 re?r/a0(e??e?i?pr)dr ?(2??)2?3/2?a3 ip[(1(1a0p?1a03?p)?i?] p)2?12a?ip?(2a0?)223/24ipa0?(1a022230?)243032a0?24422?2a??a0(a0p??) ??22?(a0p??) 动量几率分布函数 ?(p)?c(p)2?8a0?223524?(a0p??) #3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 Je??e? m? rsin?证：电子的电流密度为2n?m ??i?Je??eJ??e(?2?n?m??*n?m??*n?m??n?m)?在球极坐标中为???1??1???er ?e??e??rr??rsin???式中er、e?、e?为单位矢量????i?1?Je??eJ??e[?n?m(er?e?2??rr ??1?*? ? n?m(er?e??rr??ie??[er(?2?*n?m???????????e???e?11??rsin???rsin???n?m)?)?*n?m n?m]?n?m ?r?*n?m??*n?m??r???)?en?m?(??n?m1?r??1*n?m??1?r????n?m)?e?(1rsin????*n?m?rsin??*n?m??? ?n?m)]??中的r和?部分是实数。 ?ie?∴ Je??(?imn?m2?rsin?n?m2?im2n?m?)e? ??e?m?rsin?2n?m?e?可见，Jer?Je??0 Je???e?m?rsin?3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为??????????me?2?me?2?c(SI)2n?m M?Mz (CGS)原子磁矩与角动量之比为MLze?? )?2? ( SI??? ??e ( C GS)??2?c z这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积） ?? ??e?me?m?rsin?dS2n?m2dS??(rsin?)??rsin?2n?m??e?m?(2)氢原子的磁矩为 M??rsin?22n?mdrd? (dS?rdrd?)?dM?2??? ?? ??e?m??0?2n?m2rsin? drd??? ?? ??e?me?m2?e?m2??2?2??? 2n?m2rsin? drd???? ?? 2n?m2rsin? drd?d?(SI) e?m2?c在CGS单位制中 M???原子磁矩与角动量之比为MzMzMee??? ( SI ) ?? (C GS) LzLz2?Lz2?c3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z^?1L^2???d 哈米顿算符 HZ2I2Id?222L22I，L为角动量，求与此对应的量子体系^与t无关，属定态问题) , 其本征方程为 (H??2d222 2Id??(?)?E?(?) d?(?)2IE 2???(?)2d??d?(?)d?22令 m2?2IE?2，则im??m?(?)?02取其解为 ?(?)?Ae 即 ei2m?(m可正可负可为零)im(??2?)由波函数的单值性，应有 ?(??2?)??(?)?em?22?eim? ?1, ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Em?2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为(m= 0，±1，±2，…)?m?Aeim?, A为归一化常数，由归一化条件1 ? ?2? ??md??A*m2?2? d??A2?2 ?A?12? ∴ 转子的归一化波函数为 ?m? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。12?eim? ^?1L^2 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H2I^与t无关，属定态问题，其本征方程为 1L^2Y(?,?)?EY(?,?) H2I^的本征函数，E为其本征值) (式中Y(?,?)设为H^2Y(?,?)?2IEY(?,?) L^2Y(?,?)???2Y(?,?) 令 2IE???2，则有 L^2的本征方程，其本征值为 此即为角动量LL2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Y?m(?,?)?N?mP? ∴ 转子的定态能量为 E??3.6 设t=0时，粒子的状态为2?(x)?A[sinkx?m(cos?)eim? ?(??1)?22I可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。12 coskx]12求此时粒子的平均动量和平均动能。2coskx]?A[1(1?cos2kx)?解：?(x)?A[sinkx?122? ? ?A2A2[1?cos2kx?coskx] [1?12coskx](ei2kx?e12?i2kx)??1212(eikx?e?12?ikx)]?12A2??22[ei0x?ei2kxe?i2kxeikxe?ikx]?12??22 可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k? 动能pn2?的可能值为0A22k?22?A 22k?22?A2 k?2?22 k?2? )?2?? 111112( )?A?? 28888上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得对应的几率?n应为 (A2A21???nn?(A42?4?A216)?2???A22?2??∴ A?1/? ∴ 动量p的平均值为??npn?nA2 ?0?2k??16pn2?2???2k??A216?2???k??A216?2???k??A2 ?2???016T?p22???n2?22?n ?18?2?k?2?22?0?22k??2?18?2?5k?8? 3.7 一维运动粒子的状态是?Axe??x, 当x?0?(x)??? 0, 当x?0其中??0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由1? ?????(x)dx?32?? Axe22?2?xdx14?∴A?2?3/2A2?(x)?2?3/2xe?2?x (x?0)?(x)?0 (x?0) c(p)?????12??3e?ikx?(x)dx?(xe12???0)1/2?2?3/2?????xe?(??ik)x?(x)dx?( ?(2?32??))1/2[??(??ik)x??ikx2?1/21??ik1(??i???e?(??ik)xdx2?1/22??(??ik)??(2?32??)p?3 )2动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)2?2?31(??2???p?22?)22??31(???p)2222? (2) ?????^?(x)dx??i??(x)p?3???*??4?xe3??xddx(e??x)dx??i?4??? ??i?4??? ??i?4??(3x(1??x)e2?2?xdx3???(x??x)e?14?2?2?xdx14?2)?03.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为?2n?six, 0 ?x?a??(x)?a a? 0 , x ?0, x ?a?En?n??2?a2222(n?1， 2， 3， ?)2动量的几率分布函数为?(E)?Cn Cn?? a?????(x)?(x)dx?*?2 sinn?ax?(x)dx先把?(x)归一化，由归一化条件， 1????(x)dx?a02?a03Ax(a?x)dx?A?x)dx222?a x(a?2ax?x)dx222?A2?(a2x2?2ax ?A(24a53?a52?a55)?A30a5a530 ∴A? ∴ Cn? ??215a3n?ax?x(a?x)dx?aa2a ?30a5sin232an?[a?xsixdx?0a?a n?2xsixdx]ax?an?xcos2[?22an?xcosn?an?ax?x?2aa232n?33sinn?an?ax]n?ax?2an?2a xsinn?3cos ?415n?33[1?(?1)]2n∴ ?(E)?Cnn??960，n?1， 3， 5， ????n6?6? 0，n?2, 4, 6, ???24066[1?(?1)]n2E?????^?(x)dx??(x)Ha?a ?(x)d22^2p2??(x)dx? ? ??30a2 5x(x?a)?[?a?22?dx30?2x(x?a)]dx(a330??a5?25? x(x?a)dx??a52?a33)?a23.9.设氢原子处于状态?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?)求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 E2???es2222?n角动量平方有确定值为???es8?22(n?2)L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2???其相应的几率分别为13，44其平均值为133LZ??0??????4443.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为??, r?a;U(r)??0, r?a?求粒子的能级和定态函数。解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数??0 (r?a)由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为 ??21d2?rdr2(r2d?dr)?E?令 U(r)?rE?, k ?du222?E?2，得dr其通解为?ku?0u(r)?Acoskr?Bsinkr2 ???(r)?Arcoskr?Brsinkr 波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则 A = 0Bsinkr ∴ ?(r)?r由波函数的连续性条件，有 ?(a)?0 ? ∵B?0 ∴ka?n? (n?1,2,?) k?n? a∴ En?n?22?a222?Basinka?0 n?sir ra其中B为归一化，由归一化条件得?(r)?? B1??d??a2?? d??2?a0(r)rsin? dr 222?4???Bsin n?ardr?2? aB∴ B?12? a∴ 归一化的波函数n?sir1a#2? ar ?(r)?3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2?? 解： p?0p?2? T?x?254k?22????Ax[sin22kx?122coskx]dx?02x?2????Ax[sin2222kx?212coskx]dx??222(?x)?(?p)?(x?x)?(p?p)??3.12.粒子处于状态 ?(x)?(12??22)1/2ixexpp0x?] 2?4?2式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2??解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得 1? ?2????12??2?x2?22edx?12??2????? (x2?2)2ed(x2?2)12??2?(12??2)1/2 ∴??12?/∴ 是归一化的i?2x] ?(x)?expp0x??2② 动量平均值为??????*(?i??ddx)?dx??i????x2???e?i?p0x??2x2(i?p0?? x)e i?p0x??2x2dx??i????(i?2p0?? x)edx??x2?p0?e?????xdx?i? ??xe???dx?p0③ (?x)2?(?p)2?? ?x2?????*x?dx?12?12?xe??x2?????xe??x2dx （奇被积函数）??????xe2 ??x2dx?????12????e??x2dx?? p???22 d22?????*dx? dx???2????e?i?p0x??x2d2idx2e?p0x??x2dx2??(?? ??(??22p0?p0?2)?i2??p0?xe??22???xdx???22????xe2??xdx)?0?(???)212??(?2??p0)22(?x)2?x2?x?(?p)?p?p?(22212?2 ?2??p0)?p0?222?22? ?14?22(?x)?(?p)?212???2?第四章 态和力学量的表象4.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和Lx的矩阵元。 解：(Lx)p?p?(12??)32?e?i??p??r?^z?zp^y)e(yp)3i??p?r?d??i??p?r?( ?(12???e??i??p??r(ypz?zpy)ed?12??)3?e?i??p??r?(?i?)(pz??pz??py1?py)3??pz)ei??p?r?d??(?i?)(pz ?i?(py(Lx)p?p?2??py?py??py)(2???ei???p?p?）?r?d???pz?pz??)?(p?p?)??*?p??2?d? (x)Lx?p12??12??))3?( ?( ?(?e?e??i??p??r^z?zp^y)e(yp2?i??p?rd?i??p?r?3?i??p??r?^z?zp^y)(yp^z?zp^y)e(ypd?12??)3?e?i??p?r?^z?zp^y)(i?)(py(yp??py)(12??3??pzi??p??r??pz??py)ei??p?r?d??(i?)(py??pz?pz)?e?^z?zp^y)e(ypi??p?r?d????(py ???(py22??pz??pz?pz?pz??py??py)(212??)3?ei???p?p?）?r?d???2)?(p?p?)4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢：un(x)? 能量：En? 对角元：xmm?2asin22n?a22x??n2?aa 2?2a xsinm?a2axdx?(sina2 x)?x?(sinn?a)dx当时，m?n xmn??1a?am?a ?a (m?n)?(m?n)???x?cox?cox?dxaa??(m?n)?ax(m?n)?cox?six]a(m?n)?a0aa21?a??[2a?(m?n)??2? [aa222(m?n)??(m?n)?ax(m?n)?cox?sinx]?a(m?n)?a0?????2?(?1)2m?n??11?1??22?(m?n)(m?n)????a24mn(m?n)22?(?1)m?n?1?a2m?dn?* ^un(x)dx??i??pmn??um(x)psinx?sinxdx0aadxa2n??am?n???isinx?cosxdx2?0aaa n??a?(m?n)?(m?n)????isinx?sinx?dx 2?0?aaa??a??a(m?n)?a(m?n)? ?in??cosx?cosx? 2?a?(m?n)?a(m?n)?a?0?n??a?11 m?n??i2?(?1)?1?]?? a??(m?n)(m?n)? i2mn? m?n??(?1)?1?22 (m?n)a cos(m?n)ucos(m?n)usinmucosnudu????C ?2(m?n)2(m?n)4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为? 即 ? 两边乘以2??1212???22ddp2222C(p,t)?p22?C(p,t)?EC(p,t) p2???22ddpC(p,t)?(E?2?)C(p,t)?0，得11ddp22?C(p,t)?(2E???p2???)C(p,t)?0?????d???????跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为?En?(n?1)??1/22Nn?(1/2n)式中 Nn1i?2n!??p?Et为归一化因子，即 2?C(p,t)?NneHn(?p)e222n令??1p?? p, ??1 ??2Ed2C(p,t)?(???)C(p,t)?024.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： ^?H12?^?p212??x??22?2?222??x?12??x22 *^?(x)dxHpp????p(x)Hp1?2??2?i12??(p?)2??2??i?222i?e?px(???2??x?12??x)e22?p?xdx??i??e?(p??p)xdx?12??212????i??xe2?(p??p)xdx2p?1??(p??p)???2?22()e?2?2????i?p?1??2?2i(p??p)xdx 22p?12?2???(p??p)???()22?2i?p???1i?????e?(p??p)xdx ^和L^的矩阵分别为 ^和L^的共同表象中，算符L4.5 设已知在LxyZ2 22p122???(p??p)?????(p??p)22?2?p?Lx?0????12??01010??1? Ly?0???02???i2??0?i0i0???i? 0??求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。 解：Lx的久期方程为???2???20?2???0???????032 ?20??1?0，?2??，?3??? ^的本征值为0，?，?? ∴Lx^的本征方程 Lx?0???12??01010??a1??1??a2?0???a3??a1??????a??2? ???a??3??a1???^的本征函数L^2和L^共同表象中的矩阵 其中???a2?设为LZx???a3?当?1?0时，有 ?0???12??01010??a1??1??a2?0???a3??0???????0? ??0?????a2??0???????a1?a3???0? ?a3??a1，a2?02???0??a2???∴ ? ?a1?????0? ??a?1??由归一化条件?a1????**1??0?0?(a1,0,?a1)?0??2a1??a?1??1取 a1?22 ? ?1??2??0?1???2????^的本征值0 。 ?对应于Lx????当?2??时，有 ?0???12??01010??a1??1??a2?0???a3??a1????????a2? ??a???3??1?a2???2??a2?2a1?a1??1?????(a1?a3)???a2???a2?2a3 ??2????a?aa31??1??3??a2??2???a1???∴ ????2a1????a1???由归一化条件*1?(a1,?a1???**2a1,a1)?2a1??4a1???a??1?2 取 a1?12 ????^?对应于Lx的本征值? ?????1??2?1∴归一化的?????2?1??2当?2???时，有?0???12??01010??a1??1??a2?0???a3??a1???????a??2? ???a3????1???a1?2??a2??2a1??a1??1??????(a1?a3)????a2???a2??2a3?2????a?a1?1???a3???3??a2???2?∴ ????a1??????2a1? ???a??1?由归一化条件?a1???2***1?(a1,?2a1,a1)??2a1??4a1???a??1?取 a1?12 ?1????2??1?^∴归一化的???????对应于Lx的本征值??2???1????2?^表象的变换矩阵为 ^2和L^的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx????S???????12012121212??2?1???2?1??2?1??SLxS ∴对角化的矩阵为L?x?????? L?x?2???????????2?????12121201212??1??2??01????12??1??0?2?12012101??0????1???0??????121212120121121212??2?1???2?1??2?101212011????0??1????2??1??????2????2?1???2?1??2?00??0?0?????020????02??0?2??0??0 按照与上同样的方法可得^的本征值为0，?，?? Ly0?00??0? ????^的归一化的本征函数为 Ly? ?1??2??0??1??2???? ???????1???2???i???? ??2??1?????2????1???2???i?????2???1?????2?^表象的变换矩阵为 ^2和L^的共同表象变到L 从LyZ????S??????^利用S可使L12012?12i21212??i212??1????2??1??S???2????1????20?i2i21??2?1??? 2?1???2?y对角化0??00???? Ly?SLyS??0?0??00?????4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为???????J ?t?i?∴ J?(???*??*??)2??i?而 ??J???(???*??*??)2?? ? ∴ i?i??(??)*i?2?(???*??*??)221i?^?*??*T^?) (?T???t^???T^?*) ?(?*T?t写成矩阵形式为i???t??t^???T^?*) ?(?*T??^^?(??)??T???T? i? ??^?^*(??)??T??(?T?)?T?T*?0第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知 ^??U(r)?U(r) H0其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即U（r）??ze24??0rZe2 U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域，U(r)??4??0r? 在r?r0区域，U(r)可由下式得出， U(r)??e?Edrr1Ze4Ze?3???r?r, (r?r0)3?4??r24?r334??0r0?003E??? Ze (r?r)02?4??r0?U(r)??e?Edr?e?Edrrr0r0??? ??Ze2234??0r0Ze3?r0rrdr?2Ze4??2 ?2?1r2r0drZe238??0r0(r?r)?20Ze4??0r0??8??0r0(3r0?r) (r?r0)2222?ZeZe22?(3r0?r)?(r?r0)^??U(r)?U(r)??8??r3H4??r ?0000? 0 (r?r)0?^???H^ 由于r0很小，所以H(0)???22???U0(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态2?(0)1?(Z330?a)1/2?Za0re）(0)*E1(1)???1?^??(0)d? H1r0?Z33?a0?2Za023? [?Ze238??0r0(3r?r)?2 2Ze2?2Za0r4??0r]e4?rdr2r∴r??a0，故e4?1。3∴ E(1)1??Ze2??0a0r0?r0 (3rr?r)dr?502024Ze23423??0a0?r0 rdr?? ? ?Ze4230242332??0a0r02(r?r055)?Ze42??0a0r02Ze4210??0a2Zes5a03r0r0??5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在?中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取?的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为^? H^ 取H(0)???1^2?D???L?D?cos? 2I2I^2L1^2^???D?cos?，则 L, H2I^?H^(0)?H^? H^?视为微扰，用微扰法求得此问题。 由于电场较小，又把H?^ H(0)的本征值为E?(())?12I(0)??(??1)? ?Y?m(?,?)2本征函数为 ?^ H(0)0）的基态能量为E（?0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0E0(2)?? E?H??0(0) 2(0)??E *(0)^(0)*?0??? H?H??0d???Y?m(?D?cos?)Y00sin? d? d? ???D??Y?*(co?s Y00)sin? d? d? m ??D??Y?*m ?? ??(2) 4?3Y1014?sin? d? d?D?3D?32?Y*?0Y10sin? d? d???1 ????3/2E???' H??0E0(0)'D?22?2I2i??p?r??E?(0)3?(??1)???12??13?2D?I22*^?kd??(其中Fmk???mF12??)1?a3 ?e?(??e??r2i)e?r/a0d?取电子电离后的动量方向为Z方向， ??取?、p所在平面为xoz面，则有 ??r??xx??yy??zz?(?sin?)(rsin?cos?)?(?cos?)(rcos?) ?? rsin?sin?cos??? cos?rcos? Fmk?(12??12????)3/21a)3/230?e2iee?i?p rcos?(? rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?r/a0d?Fmk?(?13?a02i?i?p rcos??r/a0 ? ?? ?2? e(?rsin?sin?cos??? rcos?cos?)ersin?drd? d?2^?的作用，微扰矩阵元为5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H??H21??a，H11??H22??b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 H12解：由微扰公式得? En(1)?HnnEn(2)??m'?HmnE(0)n2(0)m?E2 (1)(1)??b E02??b 得 E01?H11?H22E(2)01??m'?1HmE01?E0m'?a2E01?E02?a2 E(2)02??m?1Hm2E02?E0ma22E02?E01 ∴ 能量的二级修正值为 E1?E01?b? E2?E02?b?E01?E02aE02?E01 5.4设在t?0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为?sin? t，?及? 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 ??min?hvmin?E??E1? vmin??es2??3442 ?3.3?1015?es246.62?102?h②t?0时，氢原子处于基态，其波函数为1?r/a0e ?k? 3a0?13.6?1.6?10?19Hz在t时刻， ?m?(12??)3/2ei??p?r? ????e??ri? t?i? t^?(t)?e??rsin?t?(e?e) 微扰 H2i^(ei? t?e?i? t) ?F??e??r^? 其中F 2i在t时刻跃迁到电离态的几率为Wk?m?am(t) am(t)?1i?2?t ?ei?mktdt? Hmk??Fmki?i(???)ti(???)tFmkemk?1emk?1[?] ????mk???mk?? ?t(ei(?mk??)t??ei(?mk??)t?)dt?对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， am(t)?Fmke?i(?mk??)t?1?mk?? Wk?m?am(t) ?4Fmk22?Fmk?22(ei(?mk??)t?1)(ei(?mk??)t2?1)(?mk??) sin2212(?mk??)t2?(?mk??)12??)3/2 i???p?r?*^?kd??(其中Fmk???mF1?a3 ?e(??e??r2i)e?r取电子电离后的动量方向为Z方向， ??取?、p所在平面为xoz面，则有 ??r??xx??yy??zz?(?sin?)(rsin?cos?)?(?cos?)(rcos?) ?? rsin?sin?cos??? cos?rcos? Fmk?(12??12????)3/21e30?a)3/22ie?e?i?p rcos?(? rsin?sin?cos??Fmk?(?13?a02i?i?p rcos??r/a0? ?? ?2? e(?rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?rsin?drd? d?2?(12??)3/21?a30???2i e?2? e?i?p rcos?(?cos? rcos?sin?)e?3?r/a0drd? d??(e?cos?i2??2a?3 ?12??re3)3/21e?cos?30?i?p ra[??ipr(e2ii2?? re?2223?r/a0dr[?e i?p r??i?p rco?scos?sin? d????r/a0 ?e1?p r)?pr(e?i?e?p r)]dr?e?cos?i2??2a3 16pia0?(1a02?p?22 )3??16pe?cos?(a0?)2 227/238?(ap??)2 ∴ Wk?m?4Fmksin2212(?mk??)t2752?(?mk??)222222sin212??(12??)3/2128pe?cos?a0?(?mk??)t2?(a0p??)3026(?mk??)3 ?r/a01?a???2i e??2? e?i?p rcos?(?cos? rcos?sin?)e?drd? d??(12??)3/21e?cos?3 a2i2?? re3?r/a0dr[?e ??i?p rco?scos?sin? d??e?cos?i2??2a?30?? re3?r/a0[??ipr(e?i?p ri?e1?p r)??222pr(e?i?p ri?e?p r)]dr?e?cos?i2??2a3016pia0?(1a20?p?22 )3??16pe?cos?(a0?)2 227/238?(ap??)2 ∴ Wk?m?4Fmksin2212(?mk??)t2752?(?mk??)222222sin212?128pe?cos?a0?(?mk??)t2?(a0p??)26(?mk??) 5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 ???t?0?0, 当??0e?t/?, 当 t?0(?为大于零的参数) 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：对于2p态，??1，m可取0, ?1三值，其相应的状态为 ?210 ?211 ?21?1 氢原子处在2p态的几率也就是从?100跃迁到? 由 am(t)?1i?210、 ?211、?21?1的几率之和。?t ?ei?mktdt? Hmk?*^??e?(t)rcos^??d? (H?1,?) 100?10H??*? (取方向为Z轴方向) RYe?(t)rcos? RYd??32? ?e?(t)R21rR10dr?e?(t)f?? Y10Y00cos?sin?d? d?*?? 2?? Y10*13Y10sin?d? d? ?13 e?(t)ff??? R21(r)R10(r)rdr?12a0)3/2*3256816)3/2a0re4?32a0r?(?114 23a0?(1a0?? dr6a?4！?2355a0?*2105256816a0?,100?? H210?^??d??1e?(t)f H1003e?(t)2563816a0?1282432e?(t)a0?*?1,1 H2?e?(t)??211rcos??100 ?3?100d?2?02??e?(t)?R21rR10dr?0?0?? *Y11cos?Y00sin? d? d? *?e?(t)?R21r3R10dr? = 0*^??d? ??1,100??21 H21100??1H ?? Y1113Y10sin? d? d??e?(t)?R21rR10dr?0?0?3? ?2?02?*Y1?1cos?Y00sin? d? d? *?e?(t)?R21r3R10dr?? ? Y1?113Y10sin? d? d?= 0由上述结果可知，W100?211?0， W100?21?1?0 ∴ W1s?2p?W100?210?W100?211?W100?21?1 ?W10??0210 ?2?21?2?t2 ?1,0100H2e2i?21t?dt?2(128243)(ea0?0)2?t ei?21t?e?t?/?dt?ei?21t?t2??11?2?2(128243)ea0?02222 ?21?12?2当t??时，?1s?2p?2?42(12824314)ea0?02222?)?3? es8?34221?21?2其中?21?1?(E2?E1)?? es2?33(1??3 es8?a05.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 4es?mk?2解： Amk?rmk 33?c由选择定则????1，知2s?1s是禁戒的 故只需计算2p?1s的几率2?21?E2?E1?(1?2??而 r212?es2?24143)?3?es8?243 ?x21?y21?z21 2p有三个状态，即 ?210, ?211, ?21?1 ? (1)先计算z的矩阵元 z?rcos(z)21m,100??? R21(r)R10(r)rdr???1mcos? Y00d?**3*?f?Y1m13Y00d??f13?m0 ?(z)121,0100?f3 (z)211,100?0(z)21?1,100?0(2)计算x的矩阵元 x?rsin?cos??r?i?2sin?(ei??e)(x)1*321m,100?????Y*i??i?2 R21(r)R10(r)rdr1msin? (e?e)Y00d??12f?23?Y*1m(?Y11 ?Y1?1)d? ?m?1) ?(x)21,0100?0 (x)f (x)121?1,100?6f(3)计算y的矩阵元 y?rsin?sin??12irsin?(ei??e?i?)(y)1?*3*i?21m,100?2i?0R21(r)R10(r)rdr??Y1msin?(e?e?i?) Y00d? ?12if?23(??m1??m?1)?1i6f(??m1??m?1)?(y)21,0100?0(y)i211,100?6f(y)i21?1,100?6f?r?22p?1?(2?f2f2s6?2?6?13f2)?f2 (4)计算f f???* R21(r)R10(r)r3dr?256816a013 ?()3/223/24?2ar 2a?(103a0a) ?? redr ? f21159146a02a0?4！?2355a?5 256816a0?a0237423 ?23A2p?1s4es?21??r2133?c4es3?c872323?es8?143234? ? ? ??1A21?(33)?22s3215932a022387??es?c103610(??? e)9?123??es?c?1.91?10ss?0.52?10 s?5.23?10?10?95.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解：J2p?1s?N2pA2p?1s???21 ?N2p? ?N2p? ?N2p? ?N2p?3.1?10 若 N2p?10?9?9235687? esc?231061433? e??2s 8?42356??es?ces31048??21?10.2eV23?c?a20W，则 J21?3.1W25.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解： Amk?rmk??xmk2 *xmk???mx?kdx由 x?k? xmk?1?*m[k2k?1?k?12k?1]??1?ndx??mn k2?[m,k?1?k?12m,k?1]?m?k?1时， xmk?0 即选择定则为?m?m?k??1第七章 自旋与全同粒子 7.1.证明：?^x?^y?^z?i证：由对易关系?^x?^y??^y?^x?2i?^z 及反对易关系?^x?^y??^y?^x?0 ， 得 ?^x?^y?i?^z 上式两边乘?^z，得^x?^y?^z?i?^z2 ∵ ?^z2?1 ?∴ ?^x?^y?^z?i7.2 求在自旋态?12^和S^的测不准关系： (Sz)中，Sxy(?Sx)2(?Sy)2??^、S^的矩阵表示分别为 ^表象中?(S)、S解：在Sxzyz12001??1?^???^????? ?(Sz)?? S??Syx??0???2?i2?10???∴ 在?(Sz)态中12?i??0??S2x 1???0???0??2?11??1??2???0???0?4???12Sx??Sx??1212??0?(1 0 )??2?11??1????0???0 0???? ^?1?(1 0)?????1S?222?1?2x22?22 (?Sx)?Sx?Sx?4??0?i???02?^2?? Sy??S??(1 0)y?i???02??2?i^、S^的对易关系 讨论：由S1212??0?^?Sy??1S??(1 0)1y?2?i?i??1??2???0???0?4????i??1?????0???0??0?2(?Sy)?S22y?Sy??24(?Sx)(?Sy)?22?416xy^，S^]?i?S^① [Sxyz 要求(?Sx)(?Sy)?22?Sz422 在?(Sz)态中，Sz?12?22 ?4∴ (?Sx)(?Sy)?可见①式符合上式的要求^7.3.求Sx???0??2?1?2??216 ?i???的本征值和所属的本征函数。 0?1?0^?????及Sy??0?2??i^的久期方程为 解：Sx?? ?2?2?2?0 ??()?0????22^的本征值为??。 ∴ Sx21设对应于本征值的本征函数为 ?1/2???b?? 2?1???a??^???1/2 ，得 由本征方程 Sx1/22由归一化条件 ?1?/2?1/2?1，得 ??0?2??11??a1???a1????b???2??b??0???1??1??b1??a1?? ??a?????b?? ? b1?a1?1??1?a**?1?(a1,a1)??a???1?1?即 2a12?1∴ a1??12b1 ?12 对应于本征值的本征函数为 ?1/2?21?1???1?? 2??设对应于本征值??2的本征函数为 ??1/2??? ??a2???b?2??? ??a2?^由本征方程 Sx??1/2????1/2??b2?2设对应于本征值???的本征函数为 ??1/2?? ??2?b2???? ??b2???a2?? ??a??????b???b2??a22??2??12?a2??a2?^由本征方程 Sx??1/2????1/2??b2?2由归一化条件，得 即 2a22?1∴ a2??212b2?? 对应于本征值?的本征函数为 ??1/2?????1 ?1?1????1?? 2??a**?2?(a,?a) 22???a2^的本征值为?同理可求得Sy?2。其相应的本征函数分别为??127.4 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影^?S^cos^cos^cos??S??S? Snxyz1?1???i??2?????121?1????i??2??本征值和所属的本征函数。^有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？S^的平均值 在这些本征态中，测量Szz是多少？ 01?0???0?i???1^????????Scos??cos??^的矩阵元为 ^ 表象，Sn?10??i??0?1??cos?解：在Sn02?2?2?z??? cos?cos??icos????Sn????cos??icos???cos?2 ??其相应的久期方程为??cos???(cos??icos?)22 ?0??(cos??icos?)?cos???22即22??2222??cos??(cos??cos?)?0442222 (利用cos??cos??cos??1)?2?0 ???4????2?^所以Sn的本征值为?。 2设对应于Sn??cos?cos??icos???a???a? ?????????????? 2??cos??cos??icos???b?2?b?由归一化条件，得 a?2?**??1????(a,b)??a?b ??1212的本征函数的矩阵表示为?(Sn)???b??，则 2??12?a??a(cos??icos?)?bcos??bcos??icos?1?cos?2b?cos??icos?1?cos?22取 a?1?cos?2，得 b?2?b?cos??icos?a2?a22?11?cos?a?1 2(1?c??cos??1?1(Sn)???cos??icos?2??2(1?cos?)??2 ???????(Sn)?121?cos??1?cos??icos???0???22(1?cos?)??1?cos?2?0???1??????1?2cos??icos?2(1?cos?)??12^的可能值为 ? 可见， Sz相应的几率为 1?cos?2 ?2cos??cos?2(1?cos?)22?1?cos?2Sz??1?cos?22??1?cos?22??2cos?同理可求得 对应于Sn??的本征函数为??? 222^的可能值为 在此态中，Sz 2?1?cos??2??1(Sn)??2?cos??icos???2(1?cos?)???????相应的几率为1?cos? 1?cos? Sz???2cos??1?R21(r)Y11(?,?)??? 7.5设氢的状态是 ???23??R21(r)Y10(?,?)???2??^^和自旋角动量z分量S①求轨道角动量z分量Lzz的平均值；?e?e?^^^②求总磁矩 M??L?S2??的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：ψ可改写成 1??0?313 ?1R(r)Y(?,?)???????R(r)Y(?,?)?R(r)Y(?,?)?(S)?R21(r)Y10(?,?)?1(Sz)1z????? 012222????22^的可能值为 ? 0 从ψ的表达式中可看出Lz相应的几率为14 34 ?Lz??4^的可能值为 ? ?? Sz?1?3?222Sz??CiSzi??????相应的几率Ci为44eee?e?e?1Mz??Lz?Sz?????(?)???MB 2??2?4?42?447.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为?i，?j，则体系可能的状态为 ?2??j(q1)?j(q2)?j(q3)?1??i(q1)?i(q2)?i(q3) 11 ?3?[?i(q1)?i(q2)?j(q3)??i(q1)?i(q3)?j(q2)?4?[?j(q1)?j(q2)?i(q3)??j(q1)?j(q3)?i(q2)33 ??i(q2)?i(q3)?j(q1)]??j(q2)?j(q3)?i(q1)] 7.7 证明?解：?S(1)?(1)S,?S,?S(1)?(2)(3)和?A组成的正交归一系????S(1)??S?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)][?1/2(S1z)?1/2(S2z)]??1/2(S2z)?1/2(S1z)?1/2(S1z)?1/2(S2z)??1/2(S2z)?1/2(S2z)= 1?S(2)?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)][??1/2(S1z)??1/2(S2z)]???1/2(S2z)?1/2(S1z)??1/2(S1z)??1/2(S2z)??1 (1)?(3)???[?1/2(S2z)?1/2(S1z)?1/2(S1z)??1/2(S2z)??S?S2 ???[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)] ??1/2(S2z)?1/2(S1z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)] 1 ??[?1/2(S2z)??1/2(S2z)?0]= 0 2同理可证其它的正交归一关系。(3)?(3)1??S?S?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]? 2 ?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]1 1???[?1/2(S1z)??1/2(S2z)][?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)][?1/2(S2z)??1/2(S1z)] 22 11???[?(S)?(S)][?(S)?(S)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)][?1/2(S2z)??1/2(S1z)]1/22z?1/21z1/21z?1/21z 2211??0?0??1 22= 01??[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?27.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)?态时，两电子组成体系的波函数。12??r。如果电子之间的库22仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程22222 ?????122???(r)?U(r)?(r)?E?(r)?(??)?(r)???r?(r)?E?(r) 2222?2??x?y?z2 ?(r)?X(x)Y(y)Z(z)考虑到 r2?x2?y2?z2，令 ??22??x(?22??22?y??22?z)XYZ?12??(x?y?z)XYZ?EXYZ2222 (??21?X22222?X?x??12??x)?(???z)?E2222?21?Y222?Y?x?12??y)?222?(??21?Z22?Z?x1?Y22?12?(?1?X222?X?x(??212??x)?Ex222(?2?Y?x?12??y)?Ey122??x222E?Ex?Ey?Ez?1?Z22?Z?x?12??z)?Ez122??z222?Xn(x)?NneHn(?x)Ym(y)?Nme122??y2Hm(?y)Z?(z)?N?eH?(?z)?nm?(r)?NnNmN?e122?r2Hn(?x)Hm(?y)H?(?z)Enm??(n?m???3)??2??1/2其中 Nn?2n!n， ????? 对于基态n?m???0，H0?1??0??000(r)?(??)3/2e122??r2对于沿χ方向的第一激发态n?1，m???0， H（x)?2? x 115/2??r2? ?1??100(r)?xe23/42?1141?(r?r)????S(r1,r2)?[?0(r1)?1(r2)??1(r1?0(r2))] ?3/2[x2e2?x1e22?14?(r?r)??3/2(x2?x1)e2? 1?A(r1,r2)?[?0(r1)?1(r2)??0(r2)?1(r1)] 222221222(r1?r2)22]2212214 222??(r?r12)2213/2 而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即 ?S(1)、?S(2)、?S(3)和?A???(x?x)e综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态：?1??S(r1,r2)?A三重态：(1)??2??A(r1,r2)?S?(2)??3??A(r1,r2)?S?(3)???(r,r)?4A12S? 第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10?3m?0C。 证明：由普朗克黑体辐射公式： 8?h?c 3 3 ??d??及?? c 1 h? d?， ekT?1 c ? 、d???8?hc ??? ?1 2 d…业务学习考核制度 1、业务学习 1）医护人员要加强业务学习，刻苦钻研业务，不断提高政治和业务技术水平。除参加医院统一组织的业务学习外，每周二产科、每周五妇科业务学习，并做好学习记录。 2）每年年初要根据实际情况，制定各级医护人员年度学习计划。根据计划…年度七年级英语教学工作总结 本学期，我担任七(2)班英语教学工作，在工作中从各方面严格要求自己，结合本校的实际条件和学生的实际情况，认认真真工作，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。 希望通过反思和总结本学期的教育教学工作，汲取…上海市市情 一、概况 上海市简称“沪”，别称“申”。上海是中国第一大城市，世界第八大城市，中国中央四个直辖市之一。有超过2000万人口居住和生活在上海及其附近地区。上海位于中国的华东地区，地处长江和黄浦江入海汇合处，是长江三角洲冲积平原的一部分。 上…就爱阅读网友整理上传,为您提供最全的知识大全,期待您的分享，转载请注明出处。
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