微分中值定理与导数的应用
第一讲& 微分中值定理
教学目的 使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理, 拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．
教学重点 使学生深刻理解微分中值定理的实质．
教学难点 拉格朗日中值定理的证明．
教学学时 2学时
这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础． 微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．
一、罗尔定理
我们首先来观察一个图形，见图1.
设图1中曲线弧是函数的图形．这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，即在内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即．可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧的最高点的横坐标为，则．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔定理．
(2) 在开区间内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等，即，
则在内至少存在一点，使得．
为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马定理．
费马定理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 ，则．
为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．
不妨设时，．于是，对于，有，从而当时，；
由于函数在处可导，上述两式的左端当时极限皆存在，因此由极限的保号性知
所以，．类似地可证明时，的情形．
通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．
费马定理告诉我们，若函数在点可导，且函数在点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点处的导数一定为零，即．
由图1知，函数在处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．
罗尔定理的证明 由于在上连续，所以在上必定取得它的最大值和最小值．这样，只有两种可能的情形：
(1)& ．此时对于任意的，必有．故对任意的，有．因此，内任一点皆可作为我们找的．
(2) ．因为，所以和中至少有一个不等于．不妨设，则在内必有一点，使得．又因为对于任意的，有，且存在．故由费马定理知，．类似可证的情形．罗尔定理成立．
例1 不求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析 &讨论方程的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，实际上是方程的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点，使得．即为方程的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．
&对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程至多有两个实根．而由函数的表达式知，．因此，和就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程的一个实根．
解 因为在和上连续，在和内可导，且，所以由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，在内至少存在一点，使得．和都是方程的实根．
又由代数学基本定理知，方程至多有两个实根，所以方程必有且只有两个实根，它们分别位于和内．
小结 利用函数的性质讨论的根(也称为的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．
二、拉格朗日中值定理
罗尔定理中这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．
是函数的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即．不难发现在曲线弧上至少有一点，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦．
若记点的横坐标为，则曲线在点处切线的斜率为．而弦的斜率为．因此
若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日中值定理．
拉格朗日中值定理 &若函数满足
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得&
& ．& &&&&&&　　&
从图1可以看到，在罗尔定理中，由于，弦是平行于轴的，因此点处的切线不仅平行于轴，实质上也是平行于弦的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．
下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．
由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们设想构造一个与有密切联系的函数 (称为辅助函数)，使满足条件及罗尔定理的另外两个条件，并对应用罗尔定理，然后再把对所得的结论转化到上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数呢？
若记图2中弦的方程为，那么根据所构造的辅助函数需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记，则函数与有着密切的联系；第二，由于曲线弧与弦在两点相交，因此，，，即；第三，由于函数和在上都连续,在内都可导，因此在上满足罗尔定理的条件．至于对在上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．
拉格朗日中值的证明 弦的直线方程为．因此，函数
&,&& 　　　　　　　&&&&
对函数在上应用罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，即
定理得证．
由上述证明可知，函数正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数的几何意义是什么？
在图2的闭区间上任取一点，并过作与纵轴平行的直线，交弧于，交弦于，则有向线段的值恰好是我们所构造的辅助函数．其中为点的纵坐标，为点的纵坐标．
几点说明：
(1) 显然，公式对于也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．
(2) 设为区间上一点，为该区间内的另一点，则公式（１）可写成
&&&&&& ．&&&&& &&&&&&&&&&&&&
(3) 若记为，则，于是式又可写成
．&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
我们知道，若函数在处可微，则．这时可以用函数的微分来近似地代替函数增量，并且所产生的误差是比高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而式给出了自变量取得有限增量 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，式也称为有限增量公式．
拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．
作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．
我们知道，如果函数在某一区间上是一个常数，则在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．
定理& 若函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数．
证 在区间上任取两点& ，应用式即得&&
由题设知，所以，即 ．
因为是上任意两点，所以在区间上是一个常数．
这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．
下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式．
例2 &证明当时，& ．
拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中，而不知道具体等于多少？但根据在之间的取值却可以估计出的取值范围，或者说可以估计出取值的上下界．分别用取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．
用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数和相应的区间．那么怎样去找函数和相应的区间呢？注意，拉格朗日中值公式的左端是很有特点的，它恰好是函数在区间上的增量与区间的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为的形式，就不难确定函数和相应的区间了．
对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：
由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数为，相应的区间为．
如果我们对原不等式再做另外一种变形，即
则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数为，相应的区间为．
确定了所需要的函数及相应的区间后，接下来就是对函数在上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中取值的上下界了．
设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得
由于，所以 ，即
设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数在区间上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．
总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．
(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．
三、柯西中值定理
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线的弧上，处端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在该弧上至少存在一点，使曲线在点处的切线平行于弦．若我们不用来表示连续的曲线弧，而用参数方程来表示连续的曲线弧，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？
设连续的曲线弧由参数方程 表示，见图3 ，其中为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点处切线的斜率为 &，& 弦的斜率为
假定点对应于参数，那么曲线上点处的切线平行于弦可表示为&
与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西中值定理．
柯西中值定理 若函数及满足
(2) 在开区间内可导；
(3) 对任一，，
则在内至少存在一点，使得
& 　　　　　　　　　　　　　　 ． &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
证 首先我们来证明在已给条件下．
显然函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有
由于，由假定知，又，所以& ．
类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段的值的函数作为辅助函数，见图3 ．这里点的纵坐标为 ，点的纵坐标为，
由假定知，函数在上连续，在内可导，且
因此，在上满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，即
由此得 ，定理证毕．
很明显，如果取，那么，因而公式就可以写成
这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
显然公式对于也成立，式称做柯西中值公式．
最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦．当弧用表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧用表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧用参数方程& &表示，我们就得到了柯西中值定理．
罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下：下列函数在[1, e]上满足拉格朗日中值定理条件的是（ ）如图_百度知道
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若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件：(1)在[a,b]连续(2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a&c&b显然答案为B
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太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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出门在外也不愁下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理？ 要解题过程 谢谢了_百度知道
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你的回答完美的解决了我的问题，谢谢！
国足为何不射
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