如何证明辅助函数证明不等式R到R y=x^3-x是满...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-23 20:58 标签： 辅助函数证明不等式
设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x&1时，f（x）&0；（3）f（3）=-1，（Ⅰ）求f（1）、的值；（Ⅱ）如果不等式f（x）+f（2-x）&2成立，求x的取值范围．（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）&2有解，求正数k的取值范围．
（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且，得．（II）设0&x1&x2&+∞，由条件（1）可得2)-f(x1)=f(x2x1)，因2x1&1，由（2）知2x1)&0，所以f（x2）&f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数．由条件（1）及（I）的结果得：其中0&x&2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：，由此解得x的范围是．（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）&2可化为且0&x&2，得，此不等式有解，等价于min，在0&x&2的范围内，易知x（2-x）max=1，故即为所求范围．
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（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（xoy）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．（III）把f（kx）+f（2-x）根据条件转化为f[kx（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．
扫描下载二维码某同学在研究函数y=f（x）（x≥1，x∈R）的性质，他已经正确地证明了函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），并且当1≤x≤3时，f（x）=1-|x-2|，这样对任意x≥1，他都可以求f（x）的值了．则（1）f（8）=1；（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45．【考点】．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】（1）当3≤x≤9时，f（）=1-|-2|，得到f（）=，再根据f（3x）=3f（x），得到f（8）=3f（）=1．（2）根据题意，求出当3≤x≤9时的表达式，同理求出当9≤x≤27时、当27≤x≤81时和当81≤x≤243时的表达式，从而得到f（99）=-54，然后解方程f（x）=-54，即可得到集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素．【解答】解：（1）∵当1≤x≤3时，f（x）=1-|x-2|，∴当3≤x≤9时，f（）=1-|-2|，可得f（）=1-|-2|=，又∵对任意x≥1，都有f（3x）=3f（x），∴f（8）=3f（）=1（2）根据题意，得当3≤x≤9时，f（x）=3f（）=3-|3x-6|；当9≤x≤27时，f（）=3-|3o-6|=3-|x-6|，此时f（x）=3f（）=9-|3x-18|；&当27≤x≤81时，f（）=9-|3o-18|=9-|x-18|，此时f（x）=3f（）=27-|3x-54|；&当81≤x≤243时，f（）=27-|3o-54|=27-|x-54|，此时f（x）=3f（）=81-|3x-162|．由此可得f（99）=81-|3×99-162|=-54接下来解方程f（x）=-54：当27≤x≤81时，27-|3x-54|=-54，得3x-54=±81，所以x=45（舍负）；当9≤x≤27时，9-|3x-18|=-54，得3x-18=±63，找不到符合条件的x；&当3≤x≤9时，3-|3x-6|=-54，得3x-6=±57，找不到符合条件的x．因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45故答案为：1&&& 45【点评】本题以一个特殊函数为例，叫我们讨论方程的最小正数解，着重考查了函数的定义、分段函数和方程根的分布等知识，属于基础题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：ywg2058老师　难度：0.32真题：1组卷：43
解析质量好中差
&&&&，V2.22434求证:函数y=x3在R上为奇函数且为增函数证明(x1)的3次方-(x2)的3次方＞0的过程详细点.
gvLZ80WK39
证明：定义域是R,f(x)=x²f(-x)=(-x)³=-x³∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数任意取m＞n,则f(m)-f(n)=m³-n³=(m-n)(m²+mn+n²)=(m-n)[(m+n/2)²+(3/4)n²]∵m-n＞0,(m+n/2)²≥0,n²≥0∴f(m)-f(n)≥0∴f(m)≥f(n)∴f(x)=x³在R上是增函数得证
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设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=-1，（I）求f（1）、f(19)的值；（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(19)=f(1)=0，得f(19)=2．（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(x2x1)，因x2x1＞1，由（2）知f(x2x1)＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数．由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(19)其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：x(2-x)＞190＜x＜2，由此解得x的范围是(1-223，1+223)．（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞19且0＜x＜2，得k＞19x(2-x)，此不等式有解，等价于k＞[19x(2-x)]min，在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）max=1，故k＞19即为所求范围．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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分段函数与抽象函数
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..”考查相似的试题有：
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