（2012o陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故填：等腰．
（2）当抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点（，2
），满足=2
（b＞0）．
（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB=．
=o（b＞0）．
∴A（，3），B（2，0）．
∴C（-），D（-2，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则
故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．
（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．
（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．
（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．> 【答案带解析】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，...
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．（1）抛物线的碟宽为
，抛物线y=ax2（a＞0）的碟宽为
．（2）如果抛物线y=a(x－1)2－6a（a＞0）的碟宽为6，那么a=
．（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为Fn（n=1，2，3，
），我们定义F1，F2，
，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②请判断F1，F2，，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．   
（1）4，；（2）；（3）①②y=－x+5．
试题分析：（1）根据碟宽定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为，所以抛物线的碟宽为4；（2）抛物线可以平移得到y=ax2，所以根据（1）的结论可知碟宽只与a的值有关，所以a=；（3）①根据F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，得到a1= a2=，然后由题意得F2的碟顶坐标为（1，1），所以；② F1，F2， ，Fn的碟宽的右端点在一条直...
考点分析：
考点1：二次函数
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
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在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．图1
图3（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是
．（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A=α（0°＜α＜90°），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）． 
已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围． 
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题型：解答题
难度：困难
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如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax^2+bx+c经过x轴上的点A,B
(1)求点A,B,C的坐标
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式
提问者：zhangxiaoqin123
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1、由题可得A、B在x轴上
则有CD∥x，CD=AB=4
则有点C的横坐标为（4，8）
所以抛物线中线是x=4，设其与x轴交点是E
则有AE=BE=4/2=2，则有点A、B的横坐标分别是2、6
则有A、B、C坐标是（2，0）、（6，0）、（4，8)
将三点坐标带入抛物线方程得
8=16a+4b+c
0=36a+6b+c
得抛物线方程为y=-2x^2+16x-24
回答者：teacher056
2、因为抛物线上下移动，则有对称轴不变
由题可设抛物线移动后方程是y=-2x^2+16x+c
带入D点坐标得
则有y=-2x^2+16x+8
回答者：teacher056（2006o十堰）已知抛物线C1：y=-x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为2
（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：y=-x2-2mx+n；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）y=-x2-2mx+n．（2分）
（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．（3分）
理由如下：如图：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC．（4分）
过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．
∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），
又∵点C的坐标为（0，n），
∴AE=1+n-n=1．
从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45度．
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90度．
∴△ABC为等腰直角三角形．（7分）
（3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
从而△ABC为等边三角形．（8分）
∴∠ACy=∠BCy=30度．
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，
∴点P与点C关于AD对称．
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60度．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m2+n），C（0，n），
∴AE=m2+n-n=m2，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°==2
∴|m|=，∴m=±．
故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，
此时m=±．（12分）
说明：只求出m的一个值扣（2分）．
（1）根据轴对称的性质可得：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得；
（2）根据轴对称的性质可得：AC=BC等腰三角形，借助于辅助线，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC为等腰直角三角形；
（3）首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得m=±，所以存在．已知抛物线y=ax+bx+c(a&0)过(0，4)、(2，-2)两点，如果使抛物线在x轴上截得的_百度知道
已知抛物线y=ax+bx+c(a&0)过(0，4)、(2，-2)两点，如果使抛物线在x轴上截得的
求a已知抛物线y=ax+bx+c(a&0)过(0，如果使抛物线在x轴上截得的线段最短、b、(2，4)，-2)两点、c的值
=根号下(x1+x2)&#178我主要是不懂这题为什么需要(x1-x2)²是为了什么呢，请问求(x1-x2)²-4x1x2这个公式
提问者采纳
提供的只是x1+x2，且不知哪个大，是不是无法直接进行计算呢，由这两个又如何能得到x1与x2之间距离的值呢，x1*x2
的信息你把抛物线打成直线了？如果有两点x1？那是不是就要两者相减取绝对值才是这两点间的距离，x2！这里还是看成二次函数更合适。但二次函数的根与系数的关系？那就是（x1-x2）^2=（x1+x2）^2-4*x1*x2，虽说也是抛物线。x轴上两点间的距离是什么呢，对吧
所以说就是为了求两点间的距离，(x1-x2)²是为了取绝对值对吗？还想问问是否所有不知两个大小的x1x2之间的距离都可以用绝对值下的x1-x2来计算吧？
当然可以这样来表示，你在数轴上试试啊，任意给两点，他们之间的距离怎么表示呢，如果没有数轴，只给两点，你怎么知道哪个数大哪个数小呢，只能用绝对值来表示了吧！距离永远非负的。
这个一定要搞清楚啊，圆锥曲线和直线结合后，用二次函数的韦达定理非常非常多，必须非常熟练！
不…其实还没有学过圆锥曲线… 以前只是听老师讲过这种的，不懂，现在才会=。=
哎，好的。这个能懂了就记住了
等式右边的两部分，一个和的形式，一个积的形式，是不是就是韦达定理啊？呵呵。
嗯是啊。看你擅长的领域是高考啊…初中竞赛题你会么！
初中啊，呵呵，我不行滴！
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