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如图（1），已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图（2），连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
主讲：吴杰
【思路分析】
（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积.
【解析过程】
（1）连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB=CA，又∵CD=CA，∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，∴∠ABD=90°，∴∠ABE=90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵AE=10，AC=4，∴根据勾股定理得：CE=2 ，∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π-×4×2 =12.5π-4
（1）连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB=CA，又∵CD=CA，∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，∴∠ABD=90°，∴∠ABE=90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵AE=10，AC=4，∴根据勾股定理得：CE=2 ，∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π-×4×2 =12.5π-4,即阴影部分的面积12.5π-4.
本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握.
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京ICP备号 京公网安备如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5&br&(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长&br&(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长&br&&strong&&img style=&vertical-align:middle& width=&360& height=&133& id=&图片 10& src=&/kocla//a8c8c28013a8cde0c6
试题及解析
学段：初中
学科：数学
浏览：70358
如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长
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（1）若点P是弧AB的中点，PA的长为（2）若点P是弧BC的中点，PA的长为
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解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是AB的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴PA=．（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因为AB为直径∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴，又∵AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=，∴AN=OA+ON=9∴在RT△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在RT△ANP中 有PA=∴PA=3．
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答案不给力如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则=（　　）
连接AE、CE，作AD∥CE，交BE于D．∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1，根据平行线的性质得∠ADE=∠E=45°．∴△ADE是等腰直角三角形，则AD=，BD=AD=．所以BE=+1．再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，则EF==﹣1，BF=2．所以=．故选D．
下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③若点A在y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等时，则点A在第一象限；④半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB的距离为2的点共有四个。正确命题有（　▲　）
，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
已知两圆的半径R，r分别为方程x2-3x+2=0的两根，这两圆的圆心距为3，则这两圆的位置关系是（　　）
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＞＞＞如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点..
如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F。
（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长。
题型：解答题难度：中档来源：广西自治区中考真题
解：（1）连结AC，如图∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC又∠BDC=∠BAC 在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB ∴∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC∴ CF=BF。（2）作CG⊥AD于点G∵C是弧BD的中点∴ ∠CAG=∠BAC ，即AC是∠BAD的角平分线∴CE=CG，AE=AG在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE=DG∴AE=AB-BE=AG=AD+DG 即6-BE=2+DG ∴2BE=4，即BE=2 又△BCE∽△BAC∴（舍去负值）∴。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点..”主要考查你对&&圆心角，圆周角，弧和弦，全等三角形的性质，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆心角，圆周角，弧和弦全等三角形的性质相似三角形的性质
圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。&&弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。
计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑥在同圆或等圆中，圆周角相等&=&弧相等&=&弦相等。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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与“如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点..”考查相似的试题有：
919152216341923920213131155193176058（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF·EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值。


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